《抛物线及其标准方程》教学设计
陕西师范大学附属中学
教材：陕西省普通高中课本 数学 高二年级 选修2-1（北京师范大学出版社） 一、教材分析
本章是选修2-1的第三章《圆锥曲线与方程》，教材内容的顺序是：椭圆—抛物线—双曲线—曲线与方程.我的认识有两点：（1）先学圆锥曲线，再学曲线与方程，这样的顺序更有利于学生的学习，符合学生从特殊到一般，具体到抽象的认知规律.在圆锥曲线的学习过程中，不断的渗透曲线与方程的思想，为学生理解并掌握“曲线与方程”这一概念奠定了基础.（2）椭圆学习后先学抛物线，一方面因为课程标准和考试大纲对椭圆与抛物线的要求都是掌握，而对双曲线的要求是了解.另一方面是因为椭圆与抛物线相比双曲线来说更为常见，更熟悉.
本节包括抛物线的定义，标准方程和应用三个部分，分为两课时完成.本节课是第一课时，是在学生原有认知的基础上从几何与代数两个角度去认识抛物线.教材在抛物线的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识抛物线，再从画法中提炼出抛物线的几何特征，由此抽象概括出抛物线的定义，最后是抛物线定义的简单应用.这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解.教材在本节内容中只研究了顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程，以思考交流的形式让学生自己去归纳抛物线标准方程的另外三种形式.这样的处理给学生提供了一次探究和交流的机会.有利于学生对抛物线标准方程的理解，有利于学生思维能力的提高和学习兴趣的培养.
通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法.
二、学情分析
抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 这节课的授课对象是我校高二的学生，他们的数学基础知识比较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算的技能，有较好的学习习惯和方法.在本节课之前，学生已经学习了椭圆，对圆锥
曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移的作用.
三、教学目标和重点难点
依据对教材和学情的分析，遵循《普通高中数学课程标准》对本节的教学要求，我将这节课的教学目标、重点和难点设置为：
教学目标：
1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程； 2.掌握抛物线的几何图形，定义和标准方程；
3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法，体会类比法，直接法，待定系数法和数形结合思想在数学中的应用；
4.感受抛物线的广泛应用和文化价值，体会学习数学的乐趣和数学美. 教学重点:
1.掌握抛物线的定义与相关概念； 2.掌握抛物线的标准方程；
教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义. 四、教学问题诊断
本节课的教学难点是从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.对教学难点的突破我采取的策略是：
1.类比学习椭圆的过程和方法去学习抛物线.
2.鉴于抛物线的画法比较复杂，用教具难以操作，因此我运用多媒体来演示画抛物线的过程.另外，画法中所隐含的抛物线的本质特征不是特别明显，对学生的抽象能力要求比较高，为此，我设置了两个问题，为学生发现抛物线的几何特征作铺垫.
3.学生在抽象概括抛物线定义时，容易忽略抛物线定义中“点
不在直线上”这个条
件.为了加深学生对这个条件的理解，教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义，并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性.
另外，在建系、推导抛物线标准方程的过程中，依据学生的认知习惯，同时激励学生主动学习，我采取了以下策略：
1.坐标系的建立——教师不作引导，由学生自己选择建系方式，再将学生的结果用投影仪展示出来，并进行归纳.
2.求抛物线的方程——全班学生分工，求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较，明确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁，并把这个方程叫做抛物线的标准方程.
3.明确抛物线标准方程的四种形式——给出问题4，先让学生思考，再组织学生以小组交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解.
五、教学过程 教学过程 一、课堂导入 1.生活中的抛物线： （1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；设计说明 通过生活中的抛物线使 学生认识到学习抛物线的必要性. 通过问题的图像是一条抛引入引发学生的认知冲突，激发学生的学习欲望. （2）南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线； （3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的. 2.数学中的抛物线： 一元二次函数物线. 提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？ 二、抛物线的定义 1.抛物线的画法 （1）介绍作图规则. （2）动画展示作图过程. 提出问题：笔尖所对应的点么？ （3）分析作图过程 满足的几何关系是什抛物线的画法比较复杂，让学生自己画抛物线，操作起来很困难，学生
很难完成.因此我运用多媒体提出问题：在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？ 提出问题：在作图过程中，绳长，，，，信息技术来演示画抛物线的过程. 通过两个中，哪些量没有变？哪些量变了？ （4）结论 动点满足的几何关系是：动点到定点F的距离等问题的设置，为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础. 加深学生对抛物线定义中的条件“不过”的理解. 这是教材的第一个思考交流，目的是对抛物线定义的应用，同时也给于它到直尺的距离. 2.抛物线的定义 问题1：你能给抛物线下个定义吗？ 抛物线的定义：平面内与一个定点不过和一条定直线（）的距离相等的点的集合叫作抛物线. 问题2：为什么定点不能在定直线上？若点在直出了课堂导入时所给问题的一种解决方法. 线上，则轨迹为过定点3.抛物线的相关概念： 定点设垂直于直线的直线. ：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线. ，焦点到准线的距离. 抛物线的对称轴与抛物线的交点：抛物线的顶点 三、抛物线的方程 1.方程推导 （1）建系 教材只给出了一种建系方式，但学生在建系时可能不只一种.为了体现学生的主体地位，这里先让 请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐学生建系，教师标系. （2）推导 问题3：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？请说明理由. 再汇总学生的 结果，并用投影仪展示. 通过问题3，让学生分工求出三种建系下的方程，为标准方程的理解奠定基础. 部分学生在推导方程时存在困难，故给出提示. 这是教材的第二个思考交流，目的是让学生认识到抛物线的标准方程一共有四种 提示：设，先将抛物线的焦点坐标和形式，加深学生对抛物线标准方程的理解. 大部分学准线方程求出来，再来求抛物线的方程. 三种建系方式下的抛物线方程分别为：，，.不难得出，生解决问题4所用的方法都是图像变换法. 第二种建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好. ：焦点到准线的距离. 3.思考交流 问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？ 具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先思考，再小组合作交流. 课本中的例题只涉及了抛物线标准方程的一种形式，无法达到巩固 抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式. 4.例题分析 例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程. （1）； （2）； 知识的目的.因此，我更换了教材的例题，例1是由方程求图 像，例2是由图例2.根据下列条件求抛物线的标准方程. 像求方程.并且 （1）焦点：； （2）准线：. 两个例题中的4个小题正好包含了抛物线标准方程的四种形式. 四、课堂小结 问题5：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获. 1.知识内容：（1）抛物线的定义：（2）抛物线的标准方程： ①焦点在； ②焦点在； 培养学生梳理知识点，总结知识内容，建 构知识体系的能力. 轴正半轴：轴负半轴：③焦点在； ④焦点在. 轴正半轴：轴负半轴：2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程. 3.学习中用到的数学思想和方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想. 五、课后延伸 1.课后作业 书，P76，A组，2题，3题，4题. 2.课后思考 是对这节课所学方法的 巩固和对初中所学相关内容请你思考如何用抛物线的定义来证明一元二次函数的图像是一条抛物线？ 的同化，也是为下节课作好铺垫. 感受抛物线的广泛应用和文化价值，激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情. 3.课后延展 （1）抛物线型桥梁 通过图片展示南京秦淮河三山桥，湖北宜昌西陵长江大桥，宁波明州大桥这三座抛物线型桥梁. 提出问题：抛物线型拱桥有哪些特点？有哪些优点?在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征？ （2）卫星. 提出问题：我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质？ 对此感兴趣或者学有余力的学生，可以在课后收集相关资料进行学习，并作进一步的探讨.