详案：匀变速直线运动的位移变化规律教案

3－1匀变速直线运动的规律

【教学目标】

1、掌握匀变速直线运动中的平均速度式并能够应用。

2、能够用平均速度推导匀变速直线运动的位移公式,理解微积分的思想推导出位移公式的方法，并能熟练地应用3个不同形式的位移公式。

3、理解并掌握匀变速直线运动的速度和位移公式中物理量的符号法则。 【教学重点】匀变速直线运动的位移公式及其符号法则是本节课的重点。

【教学难点】用微积分的思想推导位移公式的推导和匀变速直线运动规律的应用是难点. 【教学方法】师生讨论，教师启发学生理解 【教学过程和内容】 (1) 复习上节课内容

师：上节课，大家已经学习了匀变速直线运动中速度的变化规律，大家先跟老师一起回

顾一下上节课的这些知识：我们根据加速度的定义式avtv0t（板书）推导出了匀变

速直线运动的速度公式vt?(v0at)，（板书）这里a是一个矢量，带正负号，大家记住计算时要将a的符号带入一起运算。 (2) 引入新课

师：大家将课本翻到31面，看图3－3和表3－1。我们假设已知汽车从静止出发在10秒内以a＝2m/s作匀加速直线运动，我们能不能用速度公式预计出该车在第8秒的速度？是多少？（v＝2×8＝16）。我们能够用我们所学的知识预计速度，那我们能不能预计第8秒时汽车的位移呢？（不能。）但是我们平时会关注一辆车在一段时间内开了多远。是不是？再比如说，汽车刹车时是匀减速运动，我们是不是更关心这车要滑行多远，会不会撞到人，而不是汽车刹车过程中的速度。因此，如果能得出匀变速直线运动的位移与时间的关系，并用数学公式表示出来，那将是十分有用的。这变是我们今天要学习的内容：匀变速直线运动中的位移规律（板书）。 (3) 平均速度

师：我们先来看平均速度，由上一章的学习，v?s/t。（板书）很好。

大家看这样一组数据0、2、4、6、8，（板书）这组数的平均数怎么求？可以这些数全部相加除以5，（0+····+8）/5=4（板书）还可以怎么求？（头尾相加除以2）， (0+8)/2=4;(板书)为什么可以这样求？因为这些数是均匀变化的，它们以2递增，均匀变化。我们给这组数加上单位，它就是表3－1中的速度，因此，我们也可以类似求平均数这样求平均速度

vv0vt22（板书）。我们如果把这组数改为1、2、4、6、8（板书）那我们还能用头尾相

加的办法求平均数吗？不行！很明显（1+2+4+6+8）/5=21/5(1+8)/2=9/2（板书）。为什么？

因为这组数不是均匀变化的，最早时增1，后来增2；所以不能用（首数+末数）/2的方法来求平均数。同样的道理，当速度变化不均匀时，我们也不能利用上面的公式求平均速度。换句话说，也就是上面的公式仅仅适用加速度不变的情况，也就是匀变速直线运动的情况，非匀变速的情况是不适用的。这一点，大家千万要牢记。 (4) 位移公式的数学推导

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师：现在，大家来比较这两个平均速度的公式v便得到了一个位移公式svt＝

12v0vt2＝s/t，当式子两边同乘以t后，

。可惜，这并不是我们想要的，因为，(v0vt)t（板书）

通常情况下平均速度与末速度并不能直接知道，我们一般能直接知道或容易知道的是初速度与加速度，大家能不能将位移公式svt化简为只含有v0,a,t的关系式呢？大家都自己动手试一下，只有亲手算出来的才是记得最牢的。（请同学上台计算）很好。我们用速度公式带入以后，便将位移公式化简为sv0t12。这个公式十分重要也十分有用，希望at（板书）

2大家将它记熟，记不熟的也要知道推导过程，忘记了可以自己推出来。当v00时，公式化简为s12at。

2(5) 位移公式的图形推导

1．推导过程

师：我们刚才通过平均数的方法推导出了匀变速直线运动的位移公式，但是从数学上看，这种方法似乎还不够严谨，我们现在再从图像的角度来分析一下这个问题。哪位同学能告诉我，匀速直线运动的v－t图像是什么样的？（与时间轴平行的直线）；那匀变速直线运动呢？（一体与时间轴成角度的斜线）我们知道匀速直线运动的位移s＝vt，从图像上看，它正好是直线与时间轴所包围的矩形的面积，v，t分别是矩形的长与宽。也就是说，我们能从匀速直线运动的v－t图像得出匀速直线运动的位移公式s＝vt，那我们能不能也从匀变速直线运动的v－t图像得出位移公式呢？（可能有人说是梯形的面积，此时可以问为什么?同学回答不清，不便可以让同学听老师进行具体分析）师：在匀变速直线运动中，速度一直不断变化，我们无法直接利用匀速直线运动的方法来求匀变速直线运动的位移，但是，我们手头仅有“匀速直线运动的位移等于所围矩形面积”这一工具，怎么办呢？我们能不能设想这样一个运动，我们用它来近似代替匀变速直线运动。这个运动有什么特点呢？首先，它必须能够通过v－t图像求位移，其次，它必须与匀变速直线运动相类似。能够通过v－t图像求位移的我们只知道匀速直线运动，是不是？好，那我们能不能设想这样一个运动，它由4个不同速度的匀速直线运动构成，0～t/4时以速度v1作匀速直线运动，t/4~t/2时······。（边说边作图），虽然它与我们的匀变速直线运动不同，但是，它都反映了一定，速度是不断增大的；又因为是由匀速直线运动构成的，所以我们可以通过图像求位移，这个新运动的位移是？（所围4块矩形的面积）。好，那我们如果再用一个由8个匀速直线运动的新运动来代替匀变速直线运动，0～t/4时以速度v1作匀速直线运动，t/4~t/2时······。大家仔细观察图中的三角形的面积，它与由4个匀速直线运动的那个三角形相比较，由1个变成2个，但是，面积减小了，是不是？！好，如果，我们将时间分成1000，也就是说，我们用一个由1000个不同速度的匀速直线运动构成的新运动代替匀变速直线运动时，这时三角形的面积将继续减小，当我们将时间分成无穷多份，此时，三角形的面积便缩小为直线上的一个点，此时我们用来取代匀变速直线运动的这个新运动与匀变速直线运动是不是没有分别了。也就是说：这个新运动的位移与匀变速直线运动相同，匀变速直线运动便可以看成是由无数的非常小的匀速直线运动构成的，那这个运动的位移怎么求？（无数微小的匀速直线运动的位移之和，即所围阴影部分的面积）。这是一个什么图形啊？梯形，梯形的面积＝（上底＋下底）×高/2＝

12(v0vt)t即刚才的第一个位移公式，用速度公式带入后，便能得到位移公式

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sv0t12（如有时间可以提与匀速比s多了一块三角形。） at了。

22．思想方法

师：这种无限分割，逐渐逼近真实情况的思想十分有用，我们在什么地方曾经接触过？我们上一章在学习瞬时速度时（课本24面），通过无限分割位移，让平均速度逐渐接近瞬时速度，从而用平均速度代替瞬时速度！？更早的时候，祖冲之求圆周率，是不是也是通过无限分割圆周，用尽可能多边的正多边形的边长近似代替圆形的周长来求圆周率的！？这种思想方法也称为微积分的思想，今后，大家在数学和物理的深入学习时还会接触到。

大家思考一下如果v－t图像是曲线时，物体的位移又是多少呢？会不会也是曲线所围面积呢？为什么？（我们可以运用刚才我们推导匀变速直线运动位移的方法，用无数多个的匀速直线运动取代这个运动，即可通过图形求位移。） (6) 计算巩固

师：我们用两种方法求出了匀变速直线运动的位移，结果都一样，现在大家回到第31面，利用位移公式验算一下汽车1s,2s,3s后的位移与书上的是否一样，算完后，再计算一下4s,5s，6s后的位移。（s4＝16，s5＝25，s6＝36）

（学生计算时，老师可以作图，或在计算结束后看课本35页所示s－t图） (7) s－t图像

师：我们知道物体的运动规律可以以数学公式的形式表示，还可以通过图像来表示，我们看课本35面的s－t图像，它是由我们刚才计算出来的位移结果描点后再用光滑的曲线将坐标轴上的这些点连接起来，这样不便得到了匀变速直线运动的s－t图像。很明显，它与匀速直线运动的s－t图像是不一样的，匀速直线运动的s－t图像是什么样的？（直线）很好。

问：那为什么图像变弯了呢？匀速直线运动的s－t图像是一条直线，我们可以说它单位时间内位移的增量相同。那匀变速直线运动的s－t图像向上弯曲说明了：单位时间内，位移的增量是不断增加的。好，大家如果有兴趣，可以自己画一下：当v00时，以及a取1，3，－2时变速直线运动的s－t图像是什么样的？ (8) 课本例题

师：现在大家看37面的例题，大家先看题目，不看解答。（1分钟后） （板书写出，已知：v0,a,t 求：s ） （具体见课本37面） 已知初速度，加速度，时间，求位移，运用哪一个公式便可以直接求出？（sv0t12at）

2具体数值带入计算，便求出了前2秒汽车行驶的距离。现在请同学上来计算当t＝10s时，位移s时多少？计算结果为－50m。问具体的计算过程有没有错？每错。那出现负号是什么意思？（作图示意），我们取绝对值行不行？不行。汽车刹车的过程不会后退。那该怎样求汽车从开始刹车到完全停止所需的时间？位移公式可求。结果t＝4s，所给时间t＝10s超过4s，还有6s没有运动。大家以后注意在匀减速直线运动中时间t是不能随便代入计算的。并且这也说明了数学与物理的不同，物理讲究实际意义，通过数学式子计算出的结果可能是没有实际意义的。如果都能带入计算，那如果时间为1年，那车不知到什么地方去了，如果时间是一万年，那车早就烂掉了。 我们再看第2问，求汽车刹车到完全停止的过程中行驶的距离？我们能不能像第一题那样直接用公式sv0t12at计算啊？不能。因为不知道时间。时间怎么求？我们刚才已经求过

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了是不是。那能不能用这个公式计算位移s？能！（代入计算） (9) 推论（不含时间的位移公式）

师：大家看这个过程，我们为了求一个位移s，分成两步来计算，并计算了一个中间量时间t；这说明时间t并不是一个必需的量，我们能不能将它消掉？看课本36页，用哪两个公式？

位移与速度公式。（让同学上台计算）因为计算过程十分繁琐，在学生遇到困难后，提出简便的推导过程：as22vtv0v0vtt2tvtv0222（板书）；将2移项，便得到了一个重要的

推论：vtv02as；（板书）它不含有时间t；

我们看同样一个问题，有时一步便能求出，有时要两步，虽然条条大路通罗马，但是，简易程度不同，因此怎样运用这些公式是本章学习的关键，大家在做练习时要先思考后动笔，不要随便抓一个公式就用上去。

(10) 对s,t,a,vt,v0等的符号，联系进行讨论（板书）

师：现在大家已经学习了好几个匀变速直线运动的速度与位移规律及它们的数学表达式，在这些式子中时间t永远都是正的，没有负的时间，（4个矢量都有方向，）但我们一般规定初速度v0的方向为正方向，初速度v0一般也都是正的。除此之外，s，a，vt都可能出现负值，即与正方向相反的情况。

由以上这些运动定律，我们可以看出匀变速直线运动中描述运动特征的s,t,a,vt,v0这5个量中，知道任意三个便能求出另外两个。这样只要给出3个量便能完全描述一个匀变速直线运动的特征了。

【课后习题】p37～38 2、3、7

【板书设计】 说明： 一、速度规律 1、黑板左边1/3处写主板书； 2、黑板中间1/3处课前先画出vtv01、a vt＝v0a t 匀变速直线运动（大，约占t1/3的2/3）与匀速直线运动v0vts2、v＝ （普适）；v（仅适用于匀变速） ( 小，约占 1/3 的 1/3)v － t

t2 二、位移规律 图的框架； 3、黑板右边1/3处课堂上写平v0vt1、svt＝t 均数的计算。22、sv0t212at s v0t2212at的推导 24、在做例题时可以将主板书外3、推论：vtv02as （不含时间） 的所有内容擦除，用于做例题。 三、v0vtast各物理量的符号与关系 1、 v0一般规定为正，vt, a, s可能出现负号 2、 5个量知3求2

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