两个向量的数量积(教案)

时间：2010.12.25 课题 目标要求 重点 难点 两个向量的数量积 课型 新授 1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。 空间数量积的计算方法 几何意义、立体几何问题的转化 一、预习提纲：

1．空间向量的夹角及其表示、异面直线 2．向量的数量积

3．空间向量数量积的性质 4．空间向量数量积运算律 二、预习达标：

rr1、abc0，a=2，b=3，c4，则a,b=______

2 B、 C、 D、

3342rr22、空间向量a、b满足a=4，b=8，a,b=，求

3（1）（a+2b）∙a=_____________,

A、

（2）（a+2b）∙(2a−b)=__________________

三、学案导学：

1．空间向量的夹角及其表示：

uuurruuurrrr已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫

rrrrrr做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有

rrrra,bb,a；

rrrrrr若a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab；

2﹡ 异面直线：_______________________________

2．向量的模： uuurruuurrr设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|； 3．向量的数量积：

rrrrrrrr已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数

rrrrrrrrr量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b． uuurrB e r已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则A B uuuuruuurrAB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影；可以证明A C uuuuruuuruuuurrrrrAB的长度|AB||AB|cosa,e|ae|． 4．空间向量数量积的性质：

rrrrr（1）ae|a|cosa,e．

rrrr（2）abab0．

rrr（3）|a|2aa．

5．空间向量数量积运算律：

rrrrrr(a)b(ab)a(b)． （1）

rrrr（2）abba（交换律）．

rrrrrrr（3）a(bc)abac（分配律）． 四、典例剖析：

例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。

已知：m,n是平面内的两条相交直线，直线l与平面的交点为B，且lm,ln 求证：l．

证明：在内作不与m,n重合的任一直线g，

rrrrl在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n相交，

rr∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在

rrrmg唯一有序实数对(x,y)，使gxmyn， lnrrrrrrrrrrngm∴lgxlmyln，又∵lm0,ln0，

rrrr∴lg0，∴lg，∴lg，

所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l．

例2．已知空间四边形ABCD中，ABCD，ACBD，求证：ADBC．

uuuruuuruuuruuuruuuruuur证明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)

uuuruuuruuuruuuruuur2uuuruuur ABACBDACABABBD

uuuruuuruuuruuuruuuruuur AB(ACABBD)ABDC0．

uuurruuurruuurr（法二）选取一组基底，设ABa,ACb,ADc，

rrrrrrr∵ABCD，∴a(cb)0，即acba，

rrrr同理：abbc，， rrrr∴acbc，

uuuruuurrrr∴c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．

说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。

例3．如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45o，OAB60o，求OA与BC的夹角的余弦值。

uuuruuuruuur解：∵BCACAB，

uuuruuuruuuruuuruuuruuurO ∴OABCOAACOAAB

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB

84cos135o86cos120o24162

uuuruuuruuuruuurOABC24162322ruuur ∴cosOA,BCuuu， 855|OA||BC|A B C

322． 5uuuruuur说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA,AC135o易错写成uuuruuurOA,AC45o，切记！

所以，OA与BC的夹角的余弦值为

五、当堂达标：

课本88页练习A 1、2、3

六、课堂小结：

七、课后巩固：

1、若a、b是两个非零向量，且a2∙ b=b2∙ a，则a、b的关系是______

A、相等 B、共线不一定相等 C、不共线 D、a、b为任意非零向量

rr32、mab,nab，a,b=，mn ，求实数的值

4

rrrrrrrroa,b|a|1,|b|2,|c|3， abc3．已知向量，向量与的夹角都是60，且

rr2rrr2rrrr试求：（1）(ab)；（2）(a2bc)；（3）(3a2b)(b3c)．

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角