1时为双曲线。2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数
的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）：
其中
为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线
上的点的坐标可设为
的焦点
，以简化运算。 的直线与抛物线交于
，直线
与
的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，
，
说明：
。
1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】
例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为解析：设所求抛物线的方程为
或
（y1>0）
，∴
，代入
得
轴，且与圆
相交的公共弦长等于
，求此抛物线的方程。
设交点
则
∴点在上，在上
∴或，∴
故所求抛物线方程为 例2. 设抛物线证明直线
经过原点。
或。
的焦点为
，经过
的直线交抛物线于
两点，点
在抛物线的准线上，且
∥
轴，
解析：证法一：由题意知抛物线的焦点
故可设过焦点的直线的方程为
由 设
，消去得，则
∵∥轴，且在准线上
∴点坐标为
于是直线的方程为
要证明 注意到
经过原点，只需证明，即证
知上式成立，故直线
经过原点。
证法二：同上得。又∵∥轴，且在准线上，∴点坐标为。于是
，知
证法三：如图，
三点共线，从而直线经过原点。
设 则
轴与抛物线准线交于点∥
∥
，连结
，过交
作于点
，，则
是垂足
又根据抛物线的几何性质，
∴ 因此点
是
的中点，即
与原点
重合，∴直线
经过原点
。
评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。 【考点突破】 【考点指要】
抛物线部分是每年高考必考内容，考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质，多出现在选择题和填空题中，主要考查基础知识、基础技能、基本方法，分值大约是５分。 考查通常分为四个层次：
层次一：考查抛物线定义的应用； 层次二：考查抛物线标准方程的求法； 层次三：考查抛物线的几何性质的应用；
层次四：考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。
解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。 【典型例题分析】 例3. （2006江西）设 ） A. C.
答案：Ｂ
解析：解法一：设点
坐标为
，则
B. D.
为坐标原点，
为抛物线
的焦点，
为抛物线上一点，若
，则点
的坐标为（
，
解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。
解法二：由题意设，则，
即，，求得，∴点的坐标为。
评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。
例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）
A. －2 B. 2 C. －4 Ｄ. 4 答案：D
解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。
评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。 【达标测试】 一. 选择题： 1. 抛物线
的准线方程为
，则实数
的值是（ ）
A. B. C. 轴上，又抛物线上的点
D.
，与焦点
等于（ ）
2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在的距离为4，则
A. 4 B. 4或－4 C. －2 D. －2或2 3. 焦点在直线 A. C.
上的抛物线的标准方程为（ ）
B. D.
或
或
4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 正方体的距离与点
到点
的棱长为１，点
的距离的平方差为１，则点
在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线
的轨迹是（ ）
A. 抛物线 B. 双曲线 C. 直线 D. 以上都不对 6. 已知点
是抛物线
上一点，设点
到此抛物线准线的距离为
，到直线
的距离为
，则
的
最小值是（ ）
A. 5 B. 4 C. D.
7. 已知点 ）
是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点的坐标是，则的最小值是（
A. B. 4 C.
的焦点的直线交抛物线于
D. 5 两点，
为坐标原点，则
的值是（ ）
8. 过抛物线
A. 12 B. －12 C. 3 D. －3 二. 填空题： 9. 已知圆10. 已知＿＿＿＿＿。
分别是抛物线
和抛物线
上两点，
的准线相切，则为坐标原点，若
的值是＿＿＿＿＿。
的垂心恰好是此抛物线的焦点
，则直线
的方程为
11. 过点（0，1）的直线与12. 已知直线三. 解答题：
与抛物线
交于两点，若交于
的中点的横坐标为，则＿＿＿。
两点，那么线段的中点坐标是＿＿＿＿＿。
13. 已知抛物线顶点在原点，对称轴为14. 过点
（4，1）作抛物线
轴上，
轴，抛物线上一点的弦点在点的轨迹
，恰被轴上，且的方程；
到焦点的距离是5，求抛物线的方程。
所平分，求
所在直线方程。
。
15. 设点F（1，0），M点在 ⑴当点
在
轴上运动时，求
⑵设
E（3，0）时，求点【综合测试】 一. 选择题：
的坐标。
是曲线上的三点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于
1. （2005上海）过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于
两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条 C. 有无穷多条 D. 不存在 2. （2005江苏）抛物线
上的一点
到焦点的距离为1，则点
的纵坐标是（ ）
A. B. C. D. 0
，若它的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线与抛物线
3. （2005辽宁）已知双曲线的中心在原点，离心率为
的交点与原点的距离是（ ）
A.
B.
C.
D. 21
4. （2005全国Ⅰ）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 的准线与
轴交于点
D.
5. （2004全国）设抛物线 ）
，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（
A. B.
是抛物线
C.
上的点，
D. 为原点，当
时
取得最小值，则
的最小值为
6. （2006山东）动点（ ）
A. B. C. D.
7. （2004北京）在一只杯子的轴截面中，杯子内壁的曲线满足抛物线方程杯子的底部，则该球的表面积 A.
的取值范围是（ ）
C.
的准线为，直线
，在杯内放一个小球，要使球触及
B. D.
两点，则点
及点
到准线的距离之
8. （2005北京）设抛物线和为（ ）
与该抛物线相交于
A. 8 B. 7 C. 10 D. 12 二. 填空题： 9. （2004全国Ⅳ）设＿＿＿。
是曲线
上的一个动点，则点
到点
的距离与点
到
轴的距离之和的最小值是＿＿
10. （2005北京）过抛物线
的焦点
且垂直于
轴的弦为
，以
为直径的圆为
，则圆
与抛物线准线的位置关
系是＿＿＿＿＿，圆的面积是＿＿＿＿＿。 11. （2005辽宁）已知抛物线
的一条弦
，
，
所在直线与
轴交点坐标为（0，2），则
＿＿＿＿＿。
12. （2004黄冈）已知抛物线
的焦点在直线
上，现将抛物线沿向量
进行平移，且使得抛物线的焦点
沿直线三. 解答题：
移到点处，则平移后所得抛物线被轴截得的弦长＿＿＿＿＿。
13. （2004山东）已知抛物线C： ⑴若以弦
为直径的圆恒过原点
，求
的焦点为
的值；
，直线过定点且与抛物线交于两点。
⑵在⑴的条件下，若，求动点的轨迹方程。
14. （2005四川） 如图，
是抛物线
的焦点，点
为抛物线内一定点，点
为抛物线上一动点，
的最小值为8。
⑴求抛物线方程； ⑵若
为坐标原点，问是否存在点
，使过点
的动直线与抛物线交于
两点，且
，若存在，求动点
的坐标；若不存在，请说明理由。
15. （2005河南）已知抛物线
，
为顶点，
为焦点，动直线
与抛物线交于
两点。若总存在
一个实数 ⑴求 ⑵求满足
，使得
；
的点
的轨迹方程。
。