平面几何中线段“和差倍分”问题的证明

・８・　中学教研（数学）　所以１６ａ＋４６为偶数．又因为　１６ａ＋４ｂ＝（ｈ＋ｍ）（ｈ—ｍ）　１６ａ＋４ｂ＝（ｈ＋ｍ）（ｈ—ｍ）．　能被４整除，从而２６为偶数，这与假设矛盾．　若ｈ，ｍ的奇偶性不同，则　因此假设不成立，即２６应为偶数，ｂ为整数，　１６ａ＋４ｂ＝（ｈ＋，　）（ｈ—ｍ）　故Ⅱ＝ｋ　＋ｂ—ｃ为整数．　为奇数，这与１６ａ＋４６为偶数矛盾．　（３）令０＝ｂ＝ｃ＝　＝１，则　＋　＋Ｃ＝３，不　若ｈ，ｍ的奇偶性相同，则　是平方数，因此不一定成立．　平面几何中线段“和差倍分＂问题的证明　●倪建荣　（秀州中学分校浙江嘉兴３１４０００）　线段“和差倍分”问题是几何证明的重要内容　△ＢＤＥ　△ＣＤＧ，得ＢＥ＝ＣＧ，即ＡＢ—ＡＣ＝２ＡＥ．　之一，这类问题的证明方法灵活多变、技巧性强，且　评注证法１在较长线段上截取，证明剩余部　没有固定的解题模式，在各级各类数学竞赛中出现　分相等；证法２则相反，将较短线段延伸再证明相　的频率较高．解决线段“和差倍分”问题的基本原　等．证法１与证法２正好是“割”与“补”的２种方　则是转化，即通过对原问题中相关线段的变形，实　法．　现矛盾的转移，从而达到化未知为已知、化难为易、　例２　在锐角ＡＡＢＣ中，／＿＿ＡＣＢ＝６０。，０为　化繁为简的目的．本文拟对这类问题的常用解法作　ＡＡＢＣ外接圆的圆心，Ｈ为垂心，ＯＨ的延长线交　一些探讨．　ＡＣ于点Ｐ，其反向延长线交ＢＣ于点Ｑ．求证：ＡＰ＋　１合理割补。水到渠成　８Ｑ＝ＰＱ．　割补法（截长补短法）是证明线段“和差倍分”　证明　如图４，延长ＢＯ交ｏ０于点Ｇ，联结　问题的一种重要方法，它通过“分割”或“添补”，在　ＣＧ，ＡＧ，ＣＨ，Ａ且可证四边形ＡＨＣＧ为平行四边形，　相关线段或其延长线上构造能够表示线段“和差　得ＡＧ＝ＣＨ．由／＿ＡＣＢ＝６０。及ＢＧ为直径，得ＡＧ：　倍分”的新线段，从而将多线段问题转化为２条线　ＣＯ，从而ＣＨ＝ＣＯ．延长ＣＨ交ｏ０于点Ｅ，联结ＣＯ　段问题，促使原问题的解决．　并延长交ｏ０于点Ｆ，联结ＥＦ，则ＥＦｌ／ａ８，从而证　例１　如图１，在ａＡＢＣ中，ＡＢ＞ＡＣ，　Ａ的外　得ａＣ朋　ＡＣＱＯ，因此ＡＣＰＱ为等边三角形．再　角平分线交ＡＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，ＤＥ上ＡＢ于点　证明ＡＰ＝ＰＨ，同理可得ＨＱ＝Ｑ８，于是ＡＰ＋ＢＱ＝　Ｅ，求证：ＡＥ：　．　ＪＰＱ．　评注本例巧妙地运用了圆的性质，通过构建　平行四边形和全等三角形，将２条不共线的线段长　度之和转化为一条线段的长度．　图１　图２　图３　证法１　如图２，在ＢＥ上截取ＥＦ＝ＡＥ，联结　ＤＣ，ＤＢ，ＤＦ．易知ＤＥ垂直平分线段ＡＦ，则ＤＦ＝　＠一ｃ　ＤＡ．又由　ＤＦＡ＝／＿ＤＡＦ＝／＿＿．ＤＡＧ，得　ＤＦＢ＝　图４　图５　ＤＡＣ．而　ＤＢＦ＝　ＤＣＡ，从而△ＤＢＦ　△ＤＣＡ，　２构建平行，迎刃而解　得ＢＦ＝ＡＣ，即ＡＢ—ＡＣ＝２ＡＥ．　利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的　证法２　如图３，延长ＣＡ至点Ｇ，使ＡＧ＝ＡＥ，　平行线段相等”等定理，可通过添加平行线，将某　联结ＤＣ，ＤＢ，ＤＧ．易证ＡＡＤＥ　ＡＡＤＧ，从而可证　些线段“送”到恰当位置，从而获得证题思路．　第６期　倪建荣：平面几何中线段“和差倍分”问题的证明　・９・　例３在ＡＡＢＣ中，ＢＤ，ＣＥ为角平分线，Ｐ为　ＥＤ上任意一点．过点Ｐ分别作ＡＣ，ＡＢ，ＢＣ的垂　线，点　，Ｎ，Ｑ为垂足．求证：ＰＭ＋ＰＮ：ＰＱ．　证明　如图５，过点Ｐ作ＡＢ的平行线交ＢＤ　上的点，且满足ＡＦ＝ＡＤ，ＢＦ＝ＢＣ，过点Ｆ作　∥　ＢＣ交ＣＤ于点Ｅ，设点Ｐ为线段ＣＤ上任意一点，　址ｌ肋、　：Ｉ　一丽ｌ　ＰＣ　Ｉ　２ＰＥ　。　于点Ｆ，过点Ｆ作ＢＣ的平行线分别交ＰＱ，ＡＣ于点　Ｋ，Ｇ，联结ＰＧ．由ＢＤ平分／＿ＡＢＣ，知点Ｆ到ＡＢ，ＢＣ　的距离相等，从而ＫＱ＝ＰＮ．　证明　如图７，过点Ｄ，Ｅ分别作ＤＭ∥ＡＢ，　ＥＮ／ｌＡＢ，点Ｍ，Ｎ分别在ＥＦ和ＢＣ上，得平行四边　形ＡＤＭＦ和平行四边形ＢＦＥＮ，从而　ＥＭ＝ＥＦ—ＡＤ。ＣＮ＝ＢＣ—ＥＦ，　ＤＭ＝ＡＦ：ＡＤ．ＥＮ＝ＢＦ＝ＢＣ．　又因为　＝　＝器，所以ＰＧ／／ＥＣ．由ＣＥ－Ｔ－－　分／ＢＣＡ，知ＧＰ平分／ＦＧＡ，从而　＝ＰＭ．故　ＰＭ＋ＰＮ＝ＰＫ＋ＫＱ：ＰＱ．　评注本例通过添加平行线，将ＰＱ“掐开”成　２段，证得　＝　，于是　＋ＰⅣ＝ＰＱ，体现了传　递的思想，证法非常简捷．　例４在ＡＡＢＣ中，ＡＤ是ＢＣ边上的中线，点　在ＡＢ上，点Ⅳ在ＡＣ上，且／ＭＤＮ＝９０。．若　ＢＭ　＋　＝ＤＭ２＋ＤＮ２，求证：ＡＤ　＝　１（ＡＢ　＋　ＡＣ。）．　证明　如图６，过点Ｂ作ＡＣ的平行线交ＮＤ　的延长线于点Ｅ．联结ＭＥ，则ＡＢＥＤ　△ＣＮＤ，从　而ＢＥ＝ＮＣ．又因为ＭＤ为ＥＮ的中垂线，所以ＥＭ　＝ＭＮ．由　Ｂ幢＋Ｂ　：Ｂ　ＮＣ２＝Ｄ　＋ＭＤ２＝Ｍ　＝Ｅ谨．　知ＡＢＥＭ为直角三角形，即／ＭＢＥ＝９０。，从而　／＿ＡＢＣ＋／＿ＡＣＢ＝／＿ＡＢＣ＋／ＥＢＣ＝９０。．　于是／＿ＢＡＣ＝９０。．故　ＡＤ　：（　ｃ）‘＝÷（　＋ＡＣ　）．　评注本例通过添加ＡＣ的平行线，将ＢＣ“以　Ｄ为中点”的性质传递给ＥＮ，为解题找到思路．　Ｂ　Ｃ　Ｂ　Ｎ　ｃ　图６　图７　３运用比例，巧妙腾挪　探寻与所求证结论有关的比例式，通过对比例　式变形或重新组合，从而得出线段之间的“和差倍　分”关系．　例５在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ／／ＢＣ，Ｆ为线段ＡＢ　因为ＡＤＭＥ＇－＂△ＥＮＣ，所以　ＥＭ一　一ＣＮ—ＥＮ’　阳ＥＦ－—ＡＤ一　—ＢＣ—ＥＦ—ＢＣ’　～　Ｄ＋ＢＣ　２　从向　Ａ—Ｄ—￣ＢＣ　‘　又因为筹＝　，所以　ＤＥ—一　Ｄ—ＢＣ。　当点Ｐ在ＣＥ上时，　ＰＤ　ＰＣ　ＰＥ＋ＤＥ　ＣＥ—ＰＥ　ＰＥ　ＰＥ　—ＡＤ一丽　一　＋　ＰＥ・Ａ　Ｄ＋　ＢＣ＝　．　同理可知当点Ｐ在ＤＥ上时，　ＰＣ　ＰＤ　２ＰＥ　ＢＣ　ＡＤ　ＥＦ’　故　　．『Ｊ　ＰＤ　Ｐｃ　一丽ｌＩ　２ＰＥ　‘　评注通过添加平行线构建三角形相似，从而　产生比例线段，再结合平行线分线段成比例，巧妙　腾挪，问题迎刃而解．．　例６设　，Ⅳ为ＡＡＢＣ边ＢＣ上的２个点，且　满足ＢＭ＝ＭＮ＝ＮＣ．一平行于ＡＣ的直线分别交　ＡＢ，ＡＭ，ＡＮ于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，求证：ＥＦ＝３ＤＥ．　证明　如图８，过点Ｎ，Ｍ分别作ＡＣ的平行线　交ＡＢ于点Ｈ，Ｇ，ＮＨ交Ａ　于点Ｋ，从而ＢＧ＝ＧＨ＝　ＨＡ，于是　ＨＫ：　ＧＭ：　ＨＮ’　因此ＨＫ：ＫＮ＝１：３．　又因为ＤＦ∥ＨＮ，所以　ＤＥ：ＥＦ＝ＨＫ：ＫＮ＝１：３．　・１０・　中学教研（数学）　从而　ＥＦ＝３ＤＥ．　评注由于“平行于三角形一边的直线截其　他２边所得对应线段成比例”，在一些问题中，可　以通过添加平行线，实现某些线段比的良性转化，　这在平面几何证题中经常遇到．　Ａ　Ａ　Ｃ　图８　图９　４转化面积，豁然开朗　根据有关线段与图形面积之问的关系，把证明　线段的比例关系转化为证明面积的比例关系，然后　通过面积求算，从而得证．　例７　如图９，设Ｐ是ＡＡＢＣ内一点，ＡＰ，　Ｐ，　ＣＰ与对边分别交于点Ｄ，Ｅ，　求证：　ＦＢ・　ＤＣ・　ＥＡ　＿１．～　　证明ＡＦＢＤＣＥ－　・　：　船．　．　一　ｓ　ＢｃＰ　ｓ　ＡｃＰ　ｓ　ＡＢＰ　。　评注此结论即为塞瓦定理，用面积转化是较　快的解决方法．　例８如图１０，已知０是ＡＡＢＣ内任意一点，　ＡＯ，ＢＯ，ＣＯ的延长线分别交其对边于点Ｄ，Ｅ，Ｆ．　求证：　ＡＯ＋面ＢＯ＋　ＣＯ＝２．　证明Ａ　Ｏ＋Ｂ丽Ｏ＋　ＣＯ＝　一一　十　＋－　一面一器＋　十　一　＝　一　Ｓ　ＡＢｏｃＳＡＡＯＣ＋　十　、盯Ｓ￣ＡＯＢ）＝２．　Ｃ　图ｌ０　图１１　评注　面积法是平面几何中应用十分广泛的　一种重要方法．例７和例８利用线段比与面积比的　相互转化，简化了证题过程．　５构造辅圆，探囊取物　在某些数学竞赛问题中，巧妙添置辅助圆常可　以沟通直线和圆的内在联系，通过圆的有关性质找　到解题途径．　例９　ＡＤ是Ｒｔ△ＡＢｃ斜边ＢＣ上的高，Ｚ．Ｂ的　平分线交ＡＤ于点Ｍ，交ＡＣ于点Ⅳ．求证：　ＡＢ　一ＡＮ２：ＢＭ．ＢＮ．　证明　如图１１，因为　Ｚ．ＡＮＢ＋／＿ＡＢＮ＝　ＣＢＮ＋Ｚ．ＢＭＤ＝９０。．　又　Ｚ＿ＡＢＮ＝／ＣＢＮ，　ＡＭⅣ＝　ＢＭＤ．　所以ＬＡＭＮ＝　ＡⅣＢ．　从而　ＡＭ＝ＡⅣ．　以ＡＭ长为半径作ｏ　，交ＡＢ于点Ｆ，交ＢＡ的　延长线于点Ｅ，从而　ＡＥ＝ＡＦ＝ＡⅣ．　由割线定理，得　ＢＭ・ＢＮ＝ＢＦ・ＢＥ＝（ＡＢ十ＡＥ）（ＡＢ—ＡＦ）＝　（ＡＢ＋ＡＮ）（ＡＢ—ＡＮ）＝　ＡＢ　一Ａ　．　即　ＡＢ　一ＡＪ７、，２＝ＢＭ・ＢＮ．　评注ＡＢ。一Ａ　＝（ＡＢ＋ＡＮ）（ＡＢ—ＡＮ）＝　ＢＭ・ＢＮ，而由题设易知ＡＭ＝Ａ，ｖ，联想割线定理，　构造辅助圆即可证得结论．　例１Ｏ　四边形ＡＢＣＤ是　００的内接四边形，延长ＡＢ和　０　ＤＣ相交于点Ｅ，延长ＡＤ和ＢＣ　相交于点Ｆ，　和ＦＱ分别切。　００于点Ｐ，Ｑ．求证：Ｅ　＋　ＦＱ　＝ＥＦ　．　图１２　证明　如图１２，作△ＢＣＥ　一　的外接圆交ＥＦ于点Ｇ，联结ＣＧ．因为　ＦＤＣ＝　Ｚ＿ＡＢＣ＝　ＣＧＥ，所以点Ｆ，Ｄ，Ｃ，Ｇ共圆．由切割线　定理，得　ＥＦ２＝（ＥＧ＋ＧＦ）・ＥＦ＝ＥＧ・ＥＦ＋ＧＦ・ＥＦ＝　ＥＣ・ＥＤ＋ＦＣ・ＦＢ＝ＥＰ２＋ＦＱ２．　即　ＥＰ　＋ＦＱ　＝　．　评注通过分析问题所提供的信息，恰当补出　辅助圆，并合理挖掘图形隐含的性质，从而使题设　和结论的逻辑关系明朗化．