弹塑性力学大作业

双线性弹塑性模型

等边三角形的边长为a，中性轴经过三角形的形心O，弯矩作用及坐标系如上图所示。 材料的应力—应变曲线如下图所示：

加载过程： (1)、当弯矩M较小，低于某个值时，整个梁都将处于弹性状态。

截面上的应力分布为

yu2(y)MyIe，其中

Ieydyb(y)dyyd3623

a，yu23y33a，

如右图所示，

b(y)a此时Ie396a4

(2)、随着弯矩M逐渐增大，梁截面的上端（

yu333a）应力将首先达到屈服点s，

此时弯矩M值可以确定：

M1sIeyuas32 ，M1为该梁的弹性极限弯矩。

(3)、弯矩M轴的距离为

值继续增大，梁截面的上端区域进入塑性变形阶段。假设弹塑性边界到中性

ys

梁进入塑性变形阶段后，弯矩

Ms[1ysIe(1gE)SpgEysIp]

其中，

Ie——弹性区对中性轴的惯性矩

Sp——塑性区对中性轴的静矩

Ip——塑性区对中性轴的惯性矩

首先，当梁截面的下端（yd3636a）应力也达到屈服点

s时，对应的

ysa

3此时

Ie66aa3yb(y)dy231623a4

3

Sp336ayb(y)dyaa54

3Ip336ayb(y)dy2113a2592a4

可以得到，弯矩M值为：

M2[1187g432E]a3s

然后，弯矩M值继续增大，梁截面的下端区域也将进入塑性变形阶段。M增大到某一

值时，整个梁截面刚好完全进入塑性区域，这时的

ys0。

此时

Ie0

3Sp36aa3yb(y)dy0

3Ip36aa3yb(y)dyM，M2396a4

可以得到，弯矩M值为：M3

3为梁截面的塑性极限弯矩。

（A）、当弯矩M介于M1和

2之间，即M1MM2时，梁截面的中性轴

上方的部分区域进入塑性变形阶段，而其下方的全部区域仍处于弹性变形阶段，且有

36ays33a（如下图所示）

I此时eys36ayb(y)dy(22a9y3243y)4ys36a

3Sp3ysayb(y)dy(a32a9]

y22332433y)33ysa

3Ip3ysa3yb(y)dy(2y3y)43ysa

在塑性区，

(y)s[1g(yys)Eys（B）、当弯矩M介于M2和M3之间，即M2MM3时，梁截面的中性轴

下方的部分区域也进入了塑性变形阶段，且有0ys36a（如下图所示）

I此时eysys3yb(y)dy(a22a9ys36y3243y)4ysys

Spa3y3ysyb(y)dy2333ayb(y)dya3233(2y)33ysa(y2y)3ys36a3I

p3ysayb(y)dy24323ys36ayb(y)dy2a9243

a2(2a9y3y)43ysa(y3y)4ys36在上塑性区，

(y)s[1g(yys)Eysg(yys)Eys]

在下上塑性区，

(y)s[1]

卸载过程

由于当达到塑性极限时，弯矩

M值达到

，难于分析。故选取当梁截面的下端刚进

7g432E]as3入塑性变形阶段，即MM2[118的情况，分析其卸载过程。

此时，梁截面的下端应力为

(yd)s，上端应力为

(yu)s(1gE)

在卸载时，利用卸载定理, 即卸载时的弯矩改变量按弹性计算应力的改变量，

即

MI2eyI，e169yuydyb(y)dy)S2396a4

得到相应的，上端应力改变量为：

(u14g27E

下端应力改变量为：

(d7g27E)s

卸载弯矩下梁截面的应力分布如左图所示。

((yu)(yu)u故卸载后，梁截面的上端应力为

791941g27E7g27E)s )s

其下端应力为

((yd)(yd)d

将卸载过程反应到应力—应变曲线中，如下图所示

其中，

A,A分别表示梁截面的上端在卸载前后的应力—应变状态； B,B分别表示梁截面的下端在卸载前后的应力—应变状态。