直线与方程专题复习

专题复习 直线与方程

【基础知识回忆】

1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角

①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角的范围 . （2）直线的斜率

￥

①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)两点的斜率公式为：k

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为 的直线斜率不存在。 2.两直线垂直与平行的判定

（1）对于不重合的两条直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，，则有：

l1//l2  ； l1l2  . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为0，另一条直线

斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式

$ 方程形式 适用条件 不表示 的直线 <名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 不表示 的直线 ) 不表示 的直线 不表示 和 的直线 一般式 AxByc0 (A2B20) 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.

4.三个距离公式

（1）两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离公式是：|P1P2| . （2）点P(x0,y0)到直线l:AxByc0的距离公式是：d .

（3）两条平行线l:AxByc10,l:AxByc20间的距离公式是：d .

？

【典型例题】

题型一：直线的倾斜角与斜率问题

例1、已知坐标平面内三点A(1,1),B(1,1),C(2,31).

（1）求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角.

（2）若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.

@

例2、图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则：

A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1

D．k1＜k3＜k2

例3、利用斜率证明三点共线的方法：

若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 .

总结：已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),若x1x2x3或kABkAC，则有A、B、C三点共线。

（

例4、直线l方程为(a1)xy2a0，直线l不过第二象限，求a的取值范围。

变式：若AC0，且BC0，则直线AxByC0一定不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

题型二：直线的平行与垂直问题

例1、 已知直线l的方程为3x4y120，求下列直线l的方程, l满足

>

（1）过点(1,3)，且与l平行；（2）过(1,3)，且与l垂直.

本题小结：平行直线系：与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxByC10

垂直直线系：与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyC20

变式：（1）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程

（2）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程

例2、l1：mxy(m1)0，l2：xmy2m0，①若l1∥l2，求m的值；②若l1⊥l2，求m的值。

—

变式：（1）已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为（ ）

A. 0 B. 8 C. 2 D. 10

（2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a =（ ）

A． -3 B．-6 C．3 D．223…

（3）若直线

l1:mxy10与

l2:x2y50垂直，则m的值是 ．

题型三：直线方程的求法

例1、求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。

【

例2、已知ABC三个顶点是A(1,4)，B(2,1)，C(2,3)．

(1)求BC边中线AD所在直线方程；(2)求AC边上的垂直平分线的直线方程 （3）求点Ａ到ＢＣ边的距离．

`

变式：1．倾斜角为45，在y轴上的截距为1的直线方程是（ ）

A．yx1 B．yx1 C．yx1 D．yx1 2．求经过A（2，1），B（0，2）的直线方程

3. 直线方程为(a1)xy2a0，直线l在两轴上的截距相等，求a的方程；

】

4、过P（1，2）的直线l在两轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程

5、已知直线l经过点P(5,4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．

￥

题型四：直线的交点、距离问题

例1：点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）

A．2 B．1 C．1 D．7

22例2：已知点P（2，-1）。（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少

（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

（

例3：已知直线l1:ax2y60和直线l2:x(a1)ya210，

（1）试判断l1与l2是否平行，如果平行就求出它们间的距离； （2）l1⊥l2时，求a的值。

^

变式：求两直线:3x-4y+1=0与6x-8y-5=0间的距离 。 题型五：直线方程的应用

例1、已知直线l:5ax5ya30.

（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.

%

例2、直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ）

A．（-2，1） B．（2，1） C．（1，-2） D．（1，2）

圆与方程

(xa)2(yb)2r2C(a,b)r1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.

222 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：xyr.

2. 点与圆的位置关系：

…

(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

a.点在圆内 d＜r； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 d＞r

222 (2). 给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)(yb)r.

(x0a)2(y0b)2r2CM ①在圆内

（x0a)2(y0b)2r2CM ②在圆上

③M在圆C外

(x0a)2(y0b)2r2

（3）涉及最值：

① 圆外一点B，圆上一动点P，讨论

）

PB的最值

PBminBNBCr

PBmaxBMBCr

② 圆内一点A，圆上一动点P，讨论

PA的最值

、

PAminANrAC

PAmaxAMrAC

思考：过此A点作最短的弦（此弦垂直AC）

223. 圆的一般方程：xyDxEyF0 .

DEC,r2222DE4F0(1) 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径DE,22(2) 当DE4F0时，方程表示一个点22.

22(3) 当DE4F0时，方程不表示任何图形.

D2E24F2.

注：方程

Ax2BxyCy2DxEyF022表示圆的充要条件是：B0且AC0且DE4AF0.

4. |

5.

直线与圆的位置关系：

222(xa)(yb)rAxByC0 直线与圆

d 圆心到直线的距离

AaBbCA2B2

1）dr直线与圆相离无交点； 2）dr直线与圆相切只有一个交点；

3）dr直线与圆相交有两个交点；弦长|AB|=2rd

22rdd=rrd

-

AxByC022xyDxEyF0求解，通过解的个数来判断：还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组

（1）当0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系

2222C:(xa)(yb)rC:(xa)(yb)r2， 111与圆222（1）设两圆12222d(aa)(bb)1212 圆心距

① (

②

dr1r2外离4条公切线；

③ dr1r2外切3条公切线；

④ ⑤ ⑥

r1r2dr1r2相交2条公切线；

dr1r2内切1条公切线；

0dr1r2内含无公切线；

外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程

,

圆圆则

C1C2：：

x2y2D1xE1yF10， ，

x2y2D2xE2yF20D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程.

C1C1C2C2补充说明： ① 若② 若

（3）圆系问题

@

与与

相切，则表示其中一条公切线方程； 相离，则表示连心线的中垂线方程.

过两圆

C1：

x2y2D1xE1yF10和

C2：

x2y2D2xE2yF20（1）

交点的圆系方程为

x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20补充：

① 上述圆系不包括

C2；

② 2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）

22xyDxEyF0交点的圆系方程为AxByC0③ 过直线与圆

x2y2DxEyFAxByC0

6. 过一点作圆的切线的方程： (1) ：

(2)

过圆外一点的切线：

①k不存在，验证是否成立

②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 y1y0k(x1x0)by1k(ax1)RR21

求解k，得到切线方程【一定两解】

例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)+(y—2)=4的切线，则切线方程为 。

(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)+(y—b)=r，圆上一点为(x0，y0)，

>

22

222

则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r

2222特别地，过圆xyr上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr.

2

例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)+(y+8)=9的切线，则切线方程为 。

7．切点弦

222P(x0,y0)(xa)(yb)r(1)过⊙C：外一点作⊙C的两条切线，切点分别为A、B，则切点

22

弦AB所在直线方程为：

8. 切线长：

、

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

若圆的方程为(xa)

9. 圆心的三个重要几何性质：

① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；

2

(yb)=r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=

22

(x0a)2+(y0b)2r2．

③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

-

10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法

例.已知圆C1：x +y —2x =0和圆C2：x +y +4 y=0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。 【检测反馈】

1.若直线过点(1,2),(4,23),则此直线的倾斜角是（ ）.

!

2222

（A）300 （B）450（C）600 （D） 900 2.过点E(1,1)和F(1,0)的直线与过点M(kk,0)和点N(0,)直线的位置关系是（ ） 24（A）平行（B）重合（C）平行或重合（D）相交或重合

3.过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为（ ）.

(A)2xy10 (B) 2xy50 (C) x2y50 (D) x2y70 4.已知点A(1,2),B(3,1),则到A,B两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）. （A）4x2y5 （B）4x2y5 （C）x2y5 （D）x2y5

5.直线l1:axyb0,l2:bxya0(a0,b0,ab)在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.

：

y l1

O A l2 x y y l 1O C l2 x l1 l2 x y l1 l2 O B O x D

6.直线l被两直线l1:4xy60,l2:3x5y60截得线段的中点是原点O，则直线l的方程为 .

7.已知a0,若平面内三点A(1,a),B(2,a),C(3,a)共线，则a= .

!

23

8.过点A(1,4),且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）. （A）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条

9.已知直线l过点P(1,1)，且被平行直线3x4y130与3x4y70截得的线段长为42，求直线l的方程.