数值分析第3章习题

一 、选择题(45分=20分)

1、以下选项中哪个是高斯消去法中除法的运算总量（A）（考查高斯消去法）

NN2A:(N1) B:(N1)

23NN3C:(N1) D:

232、根据矩阵范数的定义：下面哪个不是矩阵范数满足的条件：( D )（考查矩阵范数定义） A:正定条件 B:齐次条件 C:三角不等式 D:负定条件

解：本题考查的是矩阵范数的一般定义。

3、设向量x=（2,0,1,4）则x1、x2、x分别是（C）。（考查向量范数） A.21、7、4 B.7、4、21 C.7、21、4 D. 21、4、7

解：向量的1-范数即每个元素绝对值的和。

向量的2-范数即每个元素的平方和再求开方。 向量的∞-范数即取绝对值最大的那个元素。

2544、设矩阵A132，则A1、A分别是（C）。（考查矩阵范数）

271A.15、10 B.10、15 C.15、11 D.11、15

解：矩阵的A1范数即列范数为取列元素绝对值相加最大的那一列的值。 矩阵的A范数即行范数为取行元素绝对值相加最大的那一行的值。 二 、填空题：(45分=20分)

1021、矩阵A011，则cond（考查条件数） 1(A)=___________。

201解：cond1(A)= A11152A1 ， A15252511所以A11=1，A1=4

51050所以cond1(A)=4。

1a52、若A=120，问a要满足什么条件才能使A满足高斯消元法条件_______。

621（考查高斯消元法的条件）

解析：若要使A满足高斯消元法的条件 则A的各阶顺序主子式应不为0

即：1≠0 1a1a512≠0 120≠0

621求出a≠-2且a≠68

3、矩阵A=1031的谱半径 1 （考查谱半径的计算）

P（λ）=det（λI—A）=1031=0即（λ-1）^2=0解得λ=1 谱半径=max（λ）。

4、已知A4316，A的F范数（62）

（考查F范数） 解：AF16913662

三 、计算题（610=60分）

1、用列主元消去法解线性方程组，并求出系数矩阵A的行列式的值。

12x13x23x31518x13x2x315 x1x2x361233解：A1831 111123315A|b183115

1116使用列主元消去法，有

1233151831831A|b1831151151233151116111601737017618155 316

183115187173100618670150337601151731 1866666217所以：A的行列式为-66；方程组的解为:X1=1,X2=2,X3=3。 2、用改进的平方根法解线性方程组

2-1-1-2 31解：根据改进的平方根解法

114532 136LDL

2-111L设-1-2321131L31由矩阵乘法得：

1L32D11D21L211D3L31L32 1527117D12,D2,D3;L21，L31，L32;

25225AXbLDLXb，即LYb

11由-212Y4169；Y25得Y14，Y27，Y3 5Y6311-75YDLTXD1YLTX

12得-25417695527-12112X17-X251X3 故X123，X927，X9310; 92233A477b3、对矩阵做LU分解，并求Ax=b的值，其中1

2457223100223答：A477=LU=210031

245121006解方程组Ly=b，解得y356，再带入Ux=y，得x2TT21。

1101x12114、设方程组221x2，其精确解为x=2022x32331b106，试估计由此引起的解向量的相对误差。

2解析：

10,如果右端有小波动3T1001111011011003A221 A,E221010=01021

2022022001001211111A14.531A4.5522.5 A121 condAA2211A51610xbcondA=22.521.6875105。

2xb3

5.已知方阵A221111

321（1）A阵能不能被分解成下三角阵L和上三角阵U的乘积？

（2）试通过交换A的行，使其能实现杜利特尔分解，并给出其分解 解：

（1）因为A的二阶主子式

22110，所以不能分解为LU的乘积形式 （2）对A做行交换，使各阶主子式都不为0，

可令A~321100321221，A~LU2100u22u2311131

00u333l321la)/u132(32l31u12222

由ua2112j2jl21u1j，得u223，u233，u33(a33l31u13l32u23)=2

所以：

100321A~LU21021311033 13210026、已知方程组系数矩阵如下，求解该方程组

210001121000A0121000121f0000012，0

解：A矩阵是一个对角占优的三对角阵，故考虑用追赶法求解

21000121001m21l1u1lA01210L*Um312u2l300121m4100012m51u3l4u4l5

a其中，有aici1,bi2,uici,l1b1,miil,libimiui1

i1112带入数值，得AL*U

1231342131241 3511446155将Ax=f分解为 Ux=y，Ly=f，带入数据，得：

1y12 131415，x56T2312131。 6T选择题 出题人 填空题 出题人 计算题 出题人 1 2 3 卢珍珍 4 张添娇 4 王小桐 4 5 韩旭 6 康璐璐 曹夏夏 康琳 1 王亚恒 1 鲁婷 2 康庆华 2 王森 3 3 赵理 陈昌垦 杨威 注：本套试题是由工商14-2和电控14-1共同提供，如有错误，请批评指正！

2014.1.7修正 填空第一题表述不清，应该为求cond1A