一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 在下列四个黑体字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )．
A.
B.
C.
D.
2. 对任意实数a，下列等式成立的是( )
A. √𝑎2=𝑎
B. √𝑎2=√𝑎 C. √𝑎2=−𝑎 D. √𝑎4=𝑎2
3. 下列说法确的是( )
A. 成绩好的同学中考得6A是必然事件 B. 要了解某班学生的视力情况适合用抽样调査
C. 如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D. 甲、乙两人射击环数的方差分别为𝑠甲=2，𝑠乙=3，说明甲的射击成绩比乙稳定
4. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是( )
2
2
A. 𝐴𝐷=𝐵𝐶 B. 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 C. ∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴 D. 𝑂𝐴=𝑂𝐶
5. 若关于x的一元二次方程𝑘𝑥2−2𝑥−1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A. 𝑘>−1 B. 𝑘<1且𝑘≠0 C. 𝑘≥−1且𝑘≠0 D. 𝑘>−1且𝑘≠0
6. 某校在“我运动，我快乐”的技能比赛培训活动中，在相同条件下，对甲、乙两名同学的“单
手运球”项目进行了5次测试，测试成绩(单位：分)如图所示：根据图判断正确的是( )
A. 甲成绩的平均分低于乙成绩的平均分 B. 甲成绩的中位数高于乙成绩的中位数 C. 甲成绩的众数高于乙成绩的众数 D. 甲成绩的方差低于乙成绩的方差
7. 矩形Ⅰ的面积为6，矩形Ⅱ中的三条边总长为6，则下列说法不正确的是( )
A. 矩形Ⅰ中一组邻边的长满足反比例函数关系 B. 矩形Ⅰ中一组邻边的长可能是3+√3和3−√3 C. 矩形Ⅰ的周长不可能是8 D. 矩形Ⅱ的最大面积是3
8. 设𝑆=13+23+33+⋯+993，则4S的整数部分等于( )
1
1
1
1
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
9. 平行四边形的一条边长是10，则两条对角线的长可以是( )
A. 4或8 B. 6或8 C. 8或10 D. 10或12
10. 方程𝑥2+𝑥−3=0的两根分别是𝑥1、𝑥2，则𝑥1+𝑥2等于( )
A. 1 B. −1 C. 3 D. −3
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
𝑥−2
11. 函数𝑦=√的自变量x的取值范围为______ ．
𝑥−8
12. 若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的内角和是______°.
13. 如图1，在▱ABCD中，设∠𝐴𝐵𝐶=𝛼，▱ABCD的面积为S，S与𝛼之间的关系如图2所示，则
𝑚=______．
2
14. 甲乙两人在5次打靶测试中，甲成绩的平均数𝑥甲=8，方差𝑆甲=0.4，乙成绩的平均数𝑥乙=8，
2
方差𝑆乙=3.2，教练根据甲、乙两人5次的成绩，选一名队员参加射击比赛，应选择______．
−
−
15. 如图，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥2+𝑐(𝑎≠0)的部分图象如图所示，则下列结论：
①𝑎𝑏𝑐>0；
②关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的根是−1，3； ③𝑎+2𝑏=𝑐； ④𝑎+4𝑏−2𝑐=0； ⑤𝑦最大值=3𝑐；
其中正确的有______(填写正确的序号)
4
16. 化简：(1)√27𝑎3𝑏2= ______ ；
(2)√24𝑎⋅√18𝑎3= ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共72.0分） 17. 计算：
(1)(√5−√2)(√5+√2)； (2)4√2(√8−√6)−√48．
18. 解下列方程：
(1)𝑥2+2𝑥−1=0； (2)𝑥2−3𝑥+2=0．
19. 哈尔滨市教育局以冰雪节为契机，在全市校园内开展多姿多彩的冰雪活动．某校为激发学生参
与冰雪体育活动热情，开设了“滑冰、抽冰尜、冰球、冰壶、雪地足球”五个冰雪项目，并开展了以“我最喜欢的冰雪项目”为主题的调查活动，围绕“在滑冰、抽冰尜、冰球、冰壶、雪地足球中，你最喜欢的冰雪项目是什么？(每名学生必选且只选一个)”的问题在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题： (1)本次调查共抽取了多少名学生？
(2)求本次调查中，最喜欢冰球项目的人数，并补全条形统计图；
(3)若该中学共有1800名学生，请你估计该中学最喜欢雪地足球的学生约有多少名．
20. 如图，以O为圆心，以OB为半径画弧交数轴于A点．
(1)说出数轴上点A所表示的数； (2)比较点A所表示的数与−2.5的大小．
21. △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，𝐴𝐵=9，𝐵𝐶=12，点P从点A开始沿边AB向点
B以1𝑐𝑚/𝑠的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2𝑐𝑚/𝑠的速度移动．如果𝑃.𝑄分别从𝐴.𝐵同时出发，当点Q运动到点C时，
两点停止运动，问：
(1)填空：𝐵𝑄=______，𝑃𝐵=______(用含t的代数式表示) (2)经过几秒，PQ的长为6√2𝑐𝑚？ (3)经过几秒，△𝑃𝐵𝑄的面积等于8𝑐𝑚2？
22. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=4，𝐵𝐶=6，点E是斜边
AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作𝐵𝐷//𝐶𝐸，𝐶𝐷//𝐵𝐸，BD与CD相交于点D．
(1)当𝐶𝐸⊥𝐴𝐵时，求证：四边形BECD是矩形； (2)填空：
①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形；
②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则𝐴𝑃+𝐸𝑃的最小值为______．
⏜上一点，D为𝐵𝐶𝐴𝐶=𝐵𝐶，⊙𝑂为△𝐴𝐵𝐶的外接圆，23. 如图，等腰△𝐴𝐵𝐶中，
𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于E，求证：𝐴𝐸=𝐵𝐷+𝐷𝐸．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：
本题考查对称图形，难度较小．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：𝐴.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误． 故选C．
2.答案：D
解析：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误； B、√𝑎2=|𝑎|，故本选项错误； C、a为正数时不成立，故本选项错误． D、本选项正确． 故选：D．
根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断．
本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．
3.答案：D
解析：解：A、成绩好的同学中考得6A是随机事件；A选项错误； B、要了解某班学生的视力情况适合用全面调查，B选项错误；
C、如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是4，C选项错误；
22
D、甲、乙两人射击环数的方差分别为𝑠甲=2，𝑠乙=3，说明甲的射击成绩比乙稳定，D选项正确；
故选：D．
根据随机事件、全面调查与抽样调查、中位数的概念、方差的性质判断即可．
本题考查的是随机事件、全面调查与抽样调查、中位数的概念、方差的性质，掌握相关的概念和性质是解题的关键．
4.答案：B
解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐶𝐴， 故A、C、D正确， 故选：B．
根据平行四边形的性质即可一一判断；
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．
5.答案：D
解析：试题分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．
∵一元二次方程𝑘𝑥2−2𝑥−1=0有两个不相等的实数根， ∴△=𝑏2−4𝑎𝑐=4+4𝑘>0，且𝑘≠0， 解得：𝑘>−1且𝑘≠0． 故选D
6.答案：D
A、解析：解：甲的平均数=5(7+8+8+9+8)=8(分)，乙的平均数=5(10+7+9+4+10)=8(分)，所以A选项错误；
B、甲的中位数为8(分)，乙的中位数为9(分)，所以B选项错误； C、甲的众数为8(分)，乙的众数为10，所以C选项错误；
1
1
D、甲的方差=5[(7−8)2+3(8−8)2+(9−8)2]=5；乙的方差=5[2(10−8)2+(7−8)2+(4−8)2+(9−8)2]=故选：D．
通过计算甲、乙的平均数可对A进行判断；利用中位数的定义对B进行判断；利用众数的定义对C进行判断；根据方差公式计算出甲、乙的方差，则可对D进行判断．
本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数和众数．
265
121
，所以D选项正确．
7.答案：D
解析：解：①设矩形Ⅰ的一边长为x，与其相邻的边为y，则𝑥𝑦=6，即𝑦=𝑥，因此A选项是正确的，
②以3+√3和3−√3为一组邻边的矩形的面积为(3+√3)(3−√3)=9−3=6，因此B选项是正确的，
𝑥(4−𝑥)=6，设一边为x，则邻边为(4−𝑥)，由面积得：即：𝑥2−4𝑥+6=0，③当矩形Ⅰ的周长是8时，
此方程无实数根，因此周长不能为8，故C是正确的，
则邻边为6−2𝑥，则面积𝑆=𝑥(6−2𝑥)=−2𝑥2+6𝑥，当𝑥=1.5时，④设矩形Ⅱ的一组对边长为x，𝑆最大=4.5，因此D是错误的， 故选：D．
矩形的面积是两条邻边的积为6，因此邻边成反比例关系，以3+√3和3−√3为一组邻边的矩形的面积为(3+√3)(3−√3)=9−3=6，假设矩形Ⅰ的周长是8，利用方程求边长，若存在说明周长可以为8，否则不能为8；设矩形Ⅱ的邻边的长，建立面积与边长之间函数关系，利用函数的最值得出结论．
考查反比例函数的意义、一元二次方程的应用、二次函数的性质等知识，利用方程、函数等数学模型是解决问题常用的方法．
6
8.答案：A
解析：解：当𝑘=2，3…99， 因为𝑘3<𝑘(𝑘2−1)=2[(𝑘−1)𝑘−𝑘(𝑘+1)]，
1
1
1
1
1
所以1<𝑆=1+23+33+⋯+993<1+2(2−99×100)<4． 于是有4<4𝑆<5， 故4S的整数部分等于4． 故选A．
由于𝑘3<𝑘(𝑘2−1)=2[(𝑘−1)𝑘−𝑘(𝑘+1)]，由此可以得到1<𝑆=1+23+33+⋯+993<1+2(2−)<4，然后即可求出4S的整数部分． 99×100
此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了𝑘3<𝑘(𝑘2−1)=2[(𝑘−1)𝑘−𝑘(𝑘+1)]．
1
1
1
1
1
1
51
1
1
1
1
1
1
1
11
1111115
9.答案：D
解析：解：如图：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝑂𝐴=𝑂𝐶=2𝐴𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷=2𝐵𝐷， 若𝐵𝐶=10，
根据三角形三边关系可得：|𝑂𝐵−𝑂𝐶|<10<𝑂𝐵+𝑂𝐶．
A、𝑂𝐵=2，𝑂𝐶=4，∴𝑂𝐵+𝑂𝐶=6<10，不能组成三角形，故本选项错误； B、𝑂𝐵=3，𝑂𝐶=4，∴𝑂𝐵+𝑂𝐶=7<10，不能组成三角形，故本选项错误； C、𝑂𝐵=4，𝑂𝐶=5，∴𝑂𝐵+𝑂𝐶=9<10，不能组成三角形，故本选项错误；
D、𝑂𝐵=5，𝑂𝐶=6，∴𝑂𝐵+𝑂𝐶=11>10，𝑂𝐶−𝑂𝐵=1<10，能组成三角形，故本选项正确． 故选D．
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OB与OC的长，然后根据三角形的三边关系，即可求得答案．
此题考查了平行线的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行四边形的对角线互相平分，注意三角形三边关系知识的应用，注意数形结合思想的应用．
1
1
10.答案：B
解析：解：根据题意得𝑥1+𝑥2=−1． 故选：B．
根据根与系数的关系求解．
𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根时，𝑥1+𝑥2=本题考查了根与系数的关系：若𝑥1，
−𝑎，𝑥1𝑥2=𝑎
𝑏𝑐
11.答案：𝑥≥2且𝑥≠8
解析：解：根据题意得：𝑥−2≥0且𝑥−8≠0， 解得：𝑥≥2且𝑥≠8． 故答案为𝑥≥2且𝑥≠8．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 本题考查了自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12.答案：1440
解析：解：∵此正多边形每一个外角都为36°， 360°÷36°=10， ∴此正多边形的边数为10．
则这个多边形的内角和为(10−2)×180°=1440°． 故答案为：1440．
本题首先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为360°，可求出此正多边形的边数为10.然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和．
本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是360°．
13.答案：6√2
S最大为12，∠𝛼=90°时，解析：解：由图2可得，即𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=12， 当𝛼=45°时，如图所示，过A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于H，则𝐴𝐻=𝐵𝐻， 设𝐴𝐻=𝑥，则𝑥2+𝑥2=𝐴𝐵2， 解得𝑥=√𝐴𝐵，
2∴𝑚=𝐴𝐻×𝐵𝐶=
√2
𝐴𝐵2
2
⋅𝐵𝐶=
√2
2
×12=6√2，
故答案为：6√2．
由图2可得，∠𝛼=90°时，S最大为12，即可得到𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=12，当𝛼=45°时，过A作𝐴𝐻⊥𝐵𝐶于H，依据勾股定理即可得到𝐴𝐻=√2𝐴𝐵，再根据𝑚=𝐴𝐻×𝐵𝐶进行计算即可．
2
本题主要考查了平行四边形的性质，解题时注意：平行四边形的面积等于底乘高．
14.答案：甲
22
解析：解：∵𝑥甲=𝑥乙=8，而𝑆甲<𝑆乙，
−
−
∴在甲、乙平均成绩相等的前提下，甲的成绩更为稳定一些， ∴应该选择甲参加设计比赛， 故答案为：甲．
直接利用方差的意义，是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而得出答案．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
15.答案：②③⑤
解析：解：∵抛物线开口向下， ∴𝑎<0，
∵抛物线的对称轴为直线𝑥=−2𝑎=1， ∴𝑏=−2𝑎>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴𝑐>0，
∴𝑎𝑏𝑐<0，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线𝑥=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0)， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
∴关于x的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的根是−1，3，所以②正确； ∵当𝑥=−1时，𝑦=0， ∴𝑎−𝑏+𝑐=0， 而𝑏=−2𝑎，
∴𝑎+2𝑎+𝑐=0，即𝑐=−3𝑎，
𝑏
∴𝑎+2𝑏−𝑐=𝑎−4𝑎+3𝑎=0， 即𝑎+2𝑏=𝑐，所以③正确；
𝑎+4𝑏−2𝑐=𝑎−8𝑎+6𝑎=−𝑎，所以④错误； 当𝑥=1时，y的值最大，
而𝑎+𝑏+𝑐=𝑎−2𝑎−3𝑎=−4𝑎=3𝑐，所以⑤正确． 故答案为②③⑤．
利用抛物线开口方向得到𝑎<0，利用抛物线的对称轴方程得到𝑏=−2𝑎>0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到𝑐>0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交𝑎−𝑏+𝑐=0，点坐标为(−1,0)，则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；由于𝑥=−1时，再利用𝑏=−2𝑎得到𝑐=−3𝑎，则可对③④进行判断；由于当𝑥=1时，y的值最大，然后用c表示𝑎+𝑏+𝑐，则可对⑤进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当𝑎>0时，抛物线向上开口；当𝑎<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,𝑐).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=𝑏2−4𝑎𝑐>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=𝑏2−4𝑎𝑐=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=𝑏2−4𝑎𝑐<0时，抛物线与x轴没有交点．
4
16.答案：3𝑎𝑏√3𝑎；12√3𝑎2
解析：解：(1)√27𝑎3𝑏2=√3×32𝑎3𝑏2=3𝑎𝑏√3𝑎； (2)√24𝑎⋅√18𝑎3=√22×6𝑎×√2×32𝑎3=12√3𝑎2， 故答案为3𝑎𝑏√3𝑎；12√3𝑎2．
利用二次根号的性质和二次根式乘法法的运算法则进行化简求值． 此题主要考查二次根式的性质和运算法则，计算时要仔细，是一道基础题．
17.答案：解：(1)原式=5−2=3；
(2)原式=4√16−4√12−4√3 =16−8√3−4√3 =16−12√3．
解析：(1)利用平方差进行计算即可；
(2)首先利用乘法分配律计算乘法，再算减法即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式的混合运算的计算顺序与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
18.答案：解：(1)∵𝑥2+2𝑥=1，
∴𝑥2+2𝑥+1=1+1，即(𝑥+1)2=2， ∴𝑥+1=±√2，
则𝑥1=√2−1，𝑥2=−√2−1； (2)∵𝑥2−3𝑥+2=0， ∴(𝑥−1)(𝑥−2)=0， 则𝑥−1=0或𝑥−2=0， 解得𝑥1=1，𝑥2=2．
解析：(1)利用配方法求解可得； (2)利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
19.答案：解：(1)本次调查共抽取的学生数是：18÷30%=60(名)；
(2)最喜欢冰球项目的人数有：60−18−9−6−15=12(人)，补图如下：
(3)根据题意得： 1800×60=450(人)，
15
答：估计该中学最喜欢雪地足球的学生约有450名．
解析：(1)用滑冰的人数除以所占的百分比即可得出抽取的总人数；
(2)用总人数减去其它项目的人数，求出最喜欢冰球项目的人数，从而补全统计图； (3)用总人数乘以最喜欢雪地足球的学生所占的百分比，即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.答案：解：(1)𝑂𝐵=√22+12=√5，
∵𝑂𝐵=𝑂𝐴=√5
∴𝐴所代表的数字为−√5；
2
(2)∵(√5)=5，2.5=6.25，
2
∴√5<2.5
∴−√5>−2.5，
∴𝐴点表示的数大于−2.5．
解析：本题运用了勾股定理、数轴上负数大小比较的方法．
(1)根据勾股定理求出OB的长度，再根据圆的半径定义得到OA，求出A所表示的数； (2)首先运用平方法比较√5与2.5的大小，然后比较−√5与−2.5的大小即可．
21.答案：(1)2𝑡 9−𝑡
(2)根据题意得：(9−𝑡)2+(2𝑡)2=72， 解得：𝑡1=5，𝑡2=3，
∴经过5秒或3秒，PQ的长为6√2𝑐𝑚． (3)根据题意得：2×(9−𝑡)×2𝑡=8， 解得：𝑡1=8，𝑡2=1． ∵0≤𝑡≤6， ∴𝑡=1．
1
3
3
答：经过1秒，△𝑃𝐵𝑄的面积等于8𝑐𝑚2．
解析：解：(1)根据题意得：𝐵𝑄=2𝑡，𝑃𝐵=9−𝑡． 故答案为：2t；9−𝑡． (2)见答案 (3)见答案
(1)由点P，Q的运动速度，可用含t的代数式表示出BQ，PB的值； (2)根据勾股定理，可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；
(3)根据三角形的面积公式结合△𝑃𝐵𝑄的面积，可得出关于t的一元二次方程，解之取其大于等于0小于等于6的值即可得出结论．
本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)根据点P，Q两点运动的速度，找出BQ，PB的值；(2)利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程；(3)利用三角形的面积公式，找出关于t的一元二次方程．
22.答案：√13 3√5
解析：解：如图所示：
(1)∵𝐵𝐷//𝐶𝐸，𝐶𝐷//𝐵𝐸， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐵𝐸𝐶=90°， ∴四边形BECD是矩形；
(2)①当BE的长为√13时，四边形BECD是菱形．理由如下： 连接ED，与BC交于点O， ∵四边形BDCE是平行四边形，
当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形， 𝐵𝑂=𝐵𝐶=3，𝑂𝐸=𝐴𝐶=2，
2
2
1
1
∴根据勾股定理，得
𝐵𝐸=√𝐵𝑂2+𝐸𝑂2=√9+4=√13． 故答案为√13．
②连接AD，与BC交于点P，连接PE， 此时𝑃𝐷=𝑃𝐸，𝐴𝑃+𝐸𝑃最小， ∴𝐴𝑃+𝑃𝐸=𝐴𝑃+𝑃𝐷=𝐴𝐷，
过点D作DF垂直于AC的延长线于点F， 得矩形ODFC，
∴𝐶𝐹=𝑂𝐷=2，𝐷𝐹=𝑂𝐶=3， ∴𝐴𝐹=𝐴𝐶+𝐶𝐹=6，
∴在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中，根据勾股定理，得 𝐴𝐷=√𝐴𝐹2+𝐷𝐹2=√62+32=3√5． ∴𝐴𝑃+𝐸𝑃的最小值为3√5． 故答案为3√5．
(1)根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； (2)①根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；
②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时𝐴𝑃+𝐸𝑃=𝐴𝐷，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查了轴对称−最短路线问题，解题时综合运用勾股定理、菱形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识．
23.答案：证明：如图，在AE上截取𝐴𝐹=𝐵𝐷，连接CF，CD，
在△𝐴𝐶𝐹和△𝐵𝐶𝐷中
𝐴𝐶=𝐵𝐶
{∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐶𝐵𝐷 𝐴𝐹=𝐵𝐷
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐵𝐶𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐹=𝐶𝐷， ∵𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于E， ∴𝐸𝐹=𝐷𝐸，
∴𝐴𝐸=𝐴𝐹+𝐸𝐹=𝐵𝐷+𝐷𝐸．
解析：本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形，利用圆周角定理和全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质求解．
如图，在AE上截取𝐴𝐹=𝐵𝐷，连接CF，CD，由圆周角定理得，∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐶𝐴𝐹，根据SAS可以利用已知条件证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐵𝐶𝐷，推出𝐶𝐹=𝐶𝐷，由于𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，根据等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合知，𝐸𝐹=𝐷𝐸，则𝐴𝐸=𝐴𝐹+𝐸𝐹=𝐵𝐷+𝐷𝐸．
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