《数学建模》课程期末复习辅导

考试说明

数学建模课程是数学与应用数学专业的限选课，是一门教学生试着用数学方法去解决实际问题的应用性较强的课程。因此，本课程的基本命题原则是按照课程教学大纲的要求，在考核说明所规定的范围内，既要注意考核知识点的覆盖面和突出重点，也要充分体现广播电视大学远程开放教育教学模式和培养师范类应用型人才的特点．因此，本课程的期末考试主要检查学生对数学建模基本理论的理解、基本方法的掌握，以及运用所学的基本理论和基本方法去分析问题、建立实际问题数学模型的能力．

试题类型分为：填空题、分析判断题和计算题．

填空题只要求直接填写结论，不必对结论进行解释；分析判断题要求给出合乎要求的判断结论，但需要进行简明扼要的解释；计算题要求写出运算过程与答案．

四种题型分数的百分比大致为：填空题20%，判断题30%，计算题50%。 关于试题的难易情况的说明：

期末试题按其难易程度分为三类，即容易题、中等题和较难题，这三类题在期末试卷中的比例大体为5：3：2．

关于各章的复习要求与重点在本课程的考核说明和期末复习辅导文章中都有，请大家自己认真阅读.

期末考试采用半开卷笔试形式，卷面满分为60分，考试时间为90分钟。考试可以携带计算器。

综合练习 一、填空题

1．设开始时的人口数为x0，时刻t的人口数为x(t)，若人口增长率是常数r，那么人口增长问题的马尔萨斯模型应为 ．

rt应该填写：x(t)x0e

2．在建立人口增长问题的罗捷斯蒂克模型时，假设人口增长率r是人口数量x(t)的递减函数，若最大人口数量记作xm,为简化模型，采用的递减函数是 ．

1

应该填写：r(x)r(1x) xm3．马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 ．

应该填写：增长率是常数还是人口的递减函数

4．设年利率为0.02，则8年后10万元的现值按照复利计算应为 ．（精确到元）

508应该填写：Q1088.5349（万元）

515．若银行的年利率是x%，则需要时间 ，存入的钱才可翻番． 应该填写：ln2/ln(1x%)

21106．若按照复利计算20万元10年后的终值是932.5779(万元)，则年利率应为 ．

20应该填写：0.05

7．一个学生的学习成绩s与其知识基础雄厚度x、周边环境的恶劣度y、努力程度z三者的关系可以用模型来表达.

应该填写：skxz y8．假设SC1Y,YC2x,则S与x的数学关系式为 ，其中C1,C2是常数． 应该填写：Sk1k2C1C2xkx，其中kk1k2C1C2

9．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出100件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 ．

应该填写：T20,*Q*2000

10．设某种物资有两个产地A1,A2，其产量分别为10、20，两个销地B1,B2的销量相等均为15．如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为a,则最优运输方案与运价具有 两个特点．

应该填写：最优运输方案不惟一；总运费均相等 11．一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 ．

2

应该填写：奇数顶点个数是0或2

12．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 ． 应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析 二、分析判断题

1．我们时常看到教学楼内、食堂和宿舍楼内的长流水现象，这自然是极大的浪费. 为了建设节约型学校，需要你对节水问题给予解决. 那么你将考虑哪些相关因素？试至少给出5个．

解 （1）更换自来水龙头及其费用、节约下来的水费两个因素，两者的比较可用于确定建模目标；

（2）数据调查：学校平均每个月的用水量，食堂的用水量、卫生间用水量、宿舍用水限量、定时定量供水的可行性调查，临时申请用水问题等因素．

2．有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。为尽量多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种．

解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：

盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度；刷洗地点的温度等．

注：列出的因素不足四个，每缺一个扣4分．

3．地方门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定怎样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示.

解：撤离时人员的分布状态S、人员总数N、撤离速度v、人们之间相对拥挤程度r、人员所在地与安全地点的距离L、人员撤离完毕所需要的总时间t等．

注：列出的因素不足三个，每缺一个扣5分。

4．作为经济模型的一部分，若产量的变化率与生产量和需求量之差成正比，且需求量中一部分是常数，另一部分与产量成正比，那么相应的微分方程模型是什么？

解 令x表示产量，y表示需求量，则有为常数.将后一式代入前一式即可得到

dxk(yx)以及yabx,其中a,b,k均dtdxdxk(a(b1)x)cxd dtdt5．假设某个数学模型建成为如下形式：

3

Mx22x2[1(12)]e. P(x)xa试在适当的假设下将这个模型进行简化． 解：当

1x较小的时候，可以利用二项展开式将小括号部分简化为 a1x22x2(12)12,

a2a从而有 P(x)Mx2. xe22ax若x也很小，则可以利用e1x将其进一步化简为

P(x)三、计算题

M2x(1x). 22a1．求解决策变量带有上下界的线性规划模型:

maxzx1x22x1x24,3x2x12, 2s..t1x24,22 x10.并说明：（1）若约束条件右端项表示资源，那么资源的利用情况怎样？ （2）最优解是否有选择的余地． 解 利用图解法．先给出前两个约束 条件满足的区域，为一个四边形区域．再考虑 有上下界条件，便给出可行域．见图一… 最后考虑目标函数直线．由于其斜率与各 个边界直线的斜率各不相同，故最优解是唯一 的，解联立方程组

x2 6 2x1+x2= 4 4

2 O 3x1+2x2=12 x2= 4 x2= 2 2 图一 4 x1

3x12x212,4T*X(,4)， x4,3216． 38（1）第一种资源超支个单位，第二种资源充分利用．

3对应的目标值z* 4

（2）没有选择余地，因为解唯一．

2．有某种物资从三个产地运往四个销地，各产地的产量及各销地的销量如表所示. 但其中间各数据为利润值，希望在完成运输任务的同时，使总利润达到最大．试给出最优运输方案.（提示：求初始方案用最大元素法，当所有检验数ij0时为最优解，检验数求法不变）

表1单位:万元/吨

销地 利润 产地 A1 10 A2 A3 销量 1 928 7 410 5 3 656 4 9 3 11 3 7 B1 B2 B3 B4 产量 解 首先利用“最大元素法”求出初始方案如表： 表2 单位:万元/吨

销地 利润 产地 A1 A2 A3 销量

其次，对方案进行最优性检验：

11 = 3-10+5-7=-9 < 0，13 = 3-10+5-10=-12 < 0， 21 = 1-8+5-7=-9< 0， 22 = 9-11+10-8=- 0，

23 = 2-8+5-10= -11 < 0， 32 = 4-11+10-5= -2 < 0， 故初始方案已是最优方案，即总利润达到最大的运输方案为：

5

B1B2B3B4 产量 3 11⑥3 10① 1928④ 7③4 10⑤ 5① 3 6 5 6 7 4 9 6A1B2,1A1B4,4A2B4,A3B1,3A3B3,5A3B41

总利润为：116101847310551184（万元）… 3．有某种物资从城市v1运往城市v9.中间可以通过v2,,v8七个城市运抵目的地．各

城市之间的可通道路及其间距离如图二所示（单位：km）.试设计一个从v1到v9的运输路线，使得总运输路程最短，并求出最短路线.

解 使用双标号法见图三

v2

3 v1 4

v3

2 v4

4 6

5 11 v5 3 v6

图二

v7 2 4 6

v8

5

8 7

v9

(3)

v2 3 v1 (0) 9(6) v3 6 5 2 v4 (4)

4 11 (11) v5 3 v6 (8)

图三

14(13) v7 2 4 6 v8 (14)

5 8 7 19(18) v9

4 由图二可得本问题有两条最短路线，分别是：

v1v4v3v5v7v9,lmin18;v1v4v6v5v7v9,lmin18.

注：给出双标号法图形15分；给出两条路线并指出最短路线的费用10分，少一条路线扣5分．

4．有一批货物要从厂家A运往三个销售地B、C、D，中间可经过9个转运站

E1,E2,E3,F1,F2,F3,G1,G2,G3.从A到E1,E2,E3的运价依次为3、8、7；从E1到F1,F2的

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运价为4、3；从E2到F1,F2,F3的运价为2、8、4；从E3到F2,F3的运价为7、6；从F1到

G1,G2的运价为10、12；从F2到G1,G2,G3的运价为13、5、7；从F3到G2,G3的运价为6、

8；从G1到B,C的运价为9、10；从G2到B,C,D的运价为5、10、15；从G3到C,D的运价为8、7。试利用图模型协助厂家制定一个总运费最少的运输路线．

解 建立图模型如图四．

图四

利用双标号法计算结果如图五．

图五

再利用逆向搜索法便可得到运输路线有： AE1F2G2B， lmin16；

E3 7 0 3 E1 3 A 8 7 E2 7 E3 2 4 3 8 4 6 F1 10 12 G1 9 10 G2 10 15 8 G3 7 5 B 13 F2 5 7 F3 8 6 C D E1 3 A 8 7 8 4 3 2 8 4 6 7 F1 6 10 12 19 17 G1 11 9 10 10 15 7 16 B 21 E2 7 13 5 F2 7 6 F3 13 12 5 G2 8 G3 13 C 8 D 20 AE1F2G2C 或 AE1F2G3C, lmin21; AE1F2G3D, lmin20．

（注意，到C的路线只给出一条者扣2分）

5．某工程队承担一座桥梁的施工任务.由于施工地区夏季多雨，需停工三个月．在停工期间该工程队可将施工机械搬走或留在原处.如搬走，需搬运费1800元.如留原处，一种

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方案是花500元筑一护堤，防止河水上涨发生高水位的侵袭．若不筑护堤，发生高水位侵袭时将损失10000元.如下暴雨发生洪水时，则不管是否筑护堤，施工机械留在原处都将受到60000元的损失.据历史资料，该地区夏季高水位的发生率是25%，洪水的发生率是2%.试用决策树法分析该施工队要不要把施工机械搬走及要不要筑护堤？

解: 建立决策树模型如图3．

搬走 B 高水位 0.25 -1800 -500

筑堤 C D A 洪水 0.02 不搬走 -60500

高水位 0.25 不筑堤 -10000

B

图3

使用期望值法计算过程见图4．

-1800 搬走 洪水 0.02 -60000

B -1335 -1335 筑堤 高水位 0.25 -1800 -500

洪水 0.02 -60500

A D 不搬走

C -3700 不筑堤 高水位 0.25 -10000

洪水 0.02 -60000

B 图4

最优决策为：不必搬走机械，但要筑一个护堤，期望损失1335元．

在这里，我预祝大家考试顺利、成功！今天的网上答疑活动就到这里，谢谢大家的参与．

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