指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数
在
1、指数函数：
定义：函数
叫指数函数。
及
两种不同情况。
定义域为R，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数
中的a必须
。
因为若
，
时，
时，，当
，当时，函数值不存在。
，函数值不存在。
的反函数不存在，
对一切x虽有意义，函数值恒为1，但中的
。
因为要求函数
1、对三个指数函数的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征 （1）图象都位于x轴上方； 函数性质 （1）x取任何实数值时，都有； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a取任何正数，时，； （3）在第一象限内的纵坐时， （3）当标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，的图象正好相反； 当 时， （4）的图象自左到右逐渐（4）当当时，时，是增函数， 是减函数。 上升，的图象逐渐下降。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： 当及
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如
时，
。
的图象在
的图象的上方，当
和
相交于
，
，刚好相反，故有
②与的图象关于y轴对称。
（
③通过，，三个函数图象，可以画出任意一个函数的图象，一定位于
和
两个图象的
）的示意图，如
中间，且过点，从而也由关于y轴的对称性，可得的示意图，
即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数：
定义：如果
，那么数b就叫做以a为底的对数，记作是对数式。） 中N必须大于0。
（a是底数，N 是真数，
由于
故
当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求
分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成，
再改写为指数式就比较好办。
解：设
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因
中的
此必须因题而异。如求
（2）对数恒等式： 由
将（2）代入（1）得
，化为对数式即成。
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
计算：
解：原式
（3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①
。
②③
④
3、对数函数： 定义：指数函数
的反函数
叫做对数函数。
1、对三个对数函数
的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征 （1）图象都位于 y轴右侧； （2）图象都过点（1，0）； （2）（3），当时，图（3）当，则当时，若时，则（4）上升，而从左向右图象是（4）从左向右图象是下降。 时，时，； 是增函数； 是减函数。 时，时，若； ，则，若。即，则； ，若+函数性质 （1）定义域：R，值或：R； 象在x轴上方，当下方，时，图象在x轴与上述情况刚好相反； 对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是
时，
的图象在
的图象的下方，故有：
的图象与
，
，
与在点（1,0）曲
时，。
线是交叉的，即当
的图象在
（2）（3）通过
的图象上方；而
；
的图象关于x 轴对称。
三个函数图象，可以作出任意一个对
和
两个图象的
的下方，
数函数的示意图，如作中间，且过点（1,0），
的图象，它一定位于时，在
的上方，而位于
时，刚好相反，则对称性，可知的示意图。
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：
由换底公式可得：
由换底公式推出一些常用的结论：
（1）
（2）（3）
（4）
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法： 名称 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 题型 换元令对数方程的题型与解法：
名称 基本题 解法 取以a为底的对数取以a为底的对数取同底的对数化为 转化为的代数方程 题型 解法 对数式转化为指数式转化为换元令 同底数型 （必须验根） 转化为代数方程 需代换型
最新精品语文资料