重庆南开中学高2018级高一(上)期末数学考试及答案

数 学 试 题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求） 1、已知集合Ax2x4,Bxlogx0，则AB（ ）

2 A、1,2 2、“6

B、1,2

12

C、0,1

D、0,1

”是“sin”的（ ）条件

D、既不充分也不必要

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要

3、已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（ ）cm2 A、25

B、5

14 C、

25 4 D、

25 24、已知函数fx2xx5，则fx的零点所在的区间为（ ） A、0,1

B、1,2

C、2,3

D、3,4

5、函数fxlgx2x6的单调递减区间为（ ） A、,

21B、,

12C、2,

21D、,3

216、将函数y＝sinx的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图像C1，再将

图像C1向右平移

个单位得到的图像C2，则图像C2所对应的函数的解析式为（ ） 31 A、ysinx

23

1B、ysinx

26 C、ysin2x

3

D、ysin2x23 lnx117、若xe,1,alnx,b,celnx，则a,b,c的大小关系为（ ） 2 A、cba B、bca C、abc D、bac

- 1 -

8、已知0,且cos A、2 103，则cos的值为（ ） 45 B、2 10 C、72 10 D、72 109、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x）恒成立，且f（1）＝1，

则f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为（ ） A、0

B、1

C、2

D、3

10、化简tan20°+4sin20°的结果为（ ） A、1

B、

12 C、3 3 D、3 11、如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为1,2，点C3位于第一象限，AOC。若BC5，则sincos3cos2的值为（ ）

222225 55B、

55 C、

525D、

5 A、

x12,x012、已知函数fx，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1、x2、x3、x4，

logx,x02且xxxx，则xxx12343112x2x的取值范围为（ ）

D、1,1

34 A、1,

B、1,1 C、,1

- 2 -

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相

应位置（只填结果，不写过程）

2m12m13、已知幂函数ym3m3x在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为 。

14、计算：log22log66lg2310 。

115、已知0,2且cos，则tan的值为 。

23log1x1,1xk16、已知函数fx2，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0,2]，

2x2x1,kxa则实数a的取值范围为 。

三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的

文字说明、演算步骤或推理过程） 17、（10分）已知tan2,tan。 （1）求tan的值；

sinsin2（2）求的值。 cos2sin32

- 3 -

18、（12分）已知定义在R的函数fxax1a1。 ax（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由； （2）解关于x的不等式：f（x-1）﹥f（2x+1）。

19、（12分）已知函数fxsin2x23sinxcosxcos2xR的图像关于直线x对称，其中ω，λ为常数且0,2。 （1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若y＝f（x）的图像过点,0，求函数f（x）在x0,上的值域。

623

- 4 -

20、（12分）已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）﹤0的解集为（-2，1）

且f（0）＝-2。 （1）求fx的解析式；

（2）若不等式fcos2sinmsin对R恒成立，求实数m的取值范围。

4

21、（12分）已知函数fxlog2（1）求实数a的值； （2）设函数gxfxlog21ax是奇函数。 1xmx，是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？

若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

- 5 -

22、（12分）已知函数fx的定义域D0,，若fx满足对任意的一个三边长为a,b,cD的三角形，都有fa,fb,fc也可以成为一个三角形的三边长，则称fx为“保三角形函数”。

（1）判断gxsinx,x0,是否为“保三角形函数”，并说明理由； （2）证明：函数hxlnx,x2,是“保三角形函数”；

（3）若fxsinx,x0,是“保三角形函数”，求实数的最大值。

- 6 -

重庆南开中学高2018级高一（上）期末

数学试卷答案

1．

解：由A中不等式变形得：2x≤4=22，得到x≤2，即A=（﹣∞，2]， 由B中不等式变形得：log2x＞0=log21，得到x＞1，即B=（1，+∞）， 则A∩B=（1，2]， 故选：B． 2． 【分析】“15”，反之不成立，例如 ．即可判断出结论．

62615解：“”⇒“sin”，反之不成立，例如．

6261因此“”是“sin”的充分不必要条件． 故选：A．

62”⇒“sin3．

【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，可得l和r的方程组，解方程组代入扇形的面积公式可得．

解：设扇形的半径为r，弧长为l，

l2r105∴，解得l=5，r=， ∴扇形的面积S=lr=

2l2r故选：C． 4．

11x5，是单调增函数，并且f（2）=4+-5＜0， 4231f（3）=850， 函数f(x)2xx5，则f（x）的零点所在的区间为（2，3）．

44解：函数f(x)2x故选：C． 5．

【分析】令t=﹣x2+x+6＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在

定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．

解：令t=﹣x2+x+6＞0，求得﹣2＜x＜3，可得函数的定义域为{x|﹣2＜x＜3}， f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的减区间． 再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（故选：D．

- 7 -

1，3）， 26．

解：将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，得到y=sin然后向右平移故选：B．

17．【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得

e1个单位得到的图象C2，即y=sin（x﹣

231x， 2）=sin（

1x﹣2），

【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx ∴a∈（﹣1，0），即a＜0；

1又y=()x为减函数，

2111∴b=()lnx＞()ln1=()0=1，即b＞1；

222又c=elnx=x∈（e﹣1，1）， ∴b＞c＞a． 故选B． 8．

【分析】根据同角的三角形关系求出sin（α+两角差的余弦公式计算即可． 解：∵α∈（0，π），

5∈（，），

44434∵cos()， ∴sin（α+）=，

45544）=，再根据cosα=cos（α+﹣），利用

5444∴α+

∴cosα=cos（α+故选：C． 9．

242723﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，

104444445252解：∵f（x+4）=f（x），

∴函数f（x）是周期为4的周期函数， 则f（2016）=f（504×4）=f（0）， f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=1， f（2018）=f（504×4+2）=f（2）， ∵f（x）是奇函数， ∴f（0）=0，

当x=-2时，f（-2+4）=f（-2），

- 8 -

即f（2）=-f（2），则f（2）=0，

即f（2016）+f（2017）+f（2018）=f（0）+f（1）+f（2）=0+1+0=1， 故选：B． 10．

解：tan20°+4sin20°=

===

11．

解：∵点B的坐标为（﹣1，2）， ∴|OB|=|OC|= ∵|BC|=

5，

5，

=

=

=

3， 故选：D．

∴△OBC是等边三角形， 则∠AOB=α+则sin（α+

． 322515）=，cos（α+）=， 335555则sin

31325cos+3cos2﹣=sinα+cosα=sin（α+）=， 故选：D．

2225222312．

【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=﹣1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．

解：作函数f（x）的图象如右，

∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4， ∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2， 0＜x3＜1＜x4， 则|log2x3|=|log2x4|， 即﹣log2x3=log2x4，

则log2x3+log2x4=0 即log2x3x4=0

- 9 -

则x3x4=1； 当|log2x|=1得x=2或则1＜x4≤2；

1， 21≤x3＜1； 2111=﹣2x+，≤x3＜1； 32x3x4x3211，在≤x3＜1上为减函数， x3x3故x3(x1x2)则函数y=﹣2x3+

1则故x3=取得最大值，为y=1，

2当x3=1时，函数值为﹣1． 即函数取值范围是（﹣1，1]． 故选：B 13． 解：幂函数∴m2﹣3m+3=1， 即m2﹣3m+2=0， 解得m=1或m=2；

当m=1时，m2﹣m﹣1=﹣2＜0，满足题意； 当m=2时，m2﹣m﹣1=1＞0，不满足题意，舍去； ∴实数m的值为1． 故答案为：1． 14．

解：log622log6310lg2=log66+2=3． 故答案为：3． 15．

【解答】解：∵θ∈（0，2π）， ∴又∵cos在（0，+∞）单调递减，

∈（0，π）， 2221， ∴sin1cos2=，

22323

- 10 -

∴sin2sincos2=22， 2∴tanθ=

2=﹣42 故答案为：﹣42 771tan222tan 16．

解：由题意，令log2（1﹣x）+1=0， ∴x=令x2﹣2x+1=2，可得x=1±2，

∵存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，

1∴实数a的取值范围是[，1+2]．

21故答案为：[，1+2]．

21， 217．

【分析】（1）由题意可得tan（α+β）=2，tanβ=﹣

tanα=tan[（α+β）﹣β]=

3，代入 2tan()tan，计算可得；

1tan()tan1tan，代值计算可得．

12tan3解：（1）∵tan()2,tan()，

23∴tan（α+β）=2，tanβ=﹣，

2（2）由诱导公式和弦化切可得原式=

∴tanα=tan[（α+β）﹣β]

=

7tan()tan=﹣； 41tan()tan12(3)2232（2）化简可得

=

cossin1tan3=

cos2sin12tan10- 11 -

18．

解：（1）f（﹣x）=ax则函数为偶函数， 当x≥0时，设0≤x1＜x2， 即f（x1）﹣f（x2）= ax1x1x211xaf(x) axax11x2 aax1ax2ax2ax1ax1ax2111x1x2x1x2= aax1x2= (aa)x1x2=（(aa)x1x2，

aaaaaa∵a＞1，0≤x1＜x2 ∴1≤ax1ax2，

则ax1ax20，ax1ax210，

则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即此时函数单调递增， 同理当x≤0时，函数单调递减；

（2）∵函数f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，

则关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x+1|）， 即|x﹣1|＞|2x+1|，

平方得x2﹣2x+1＞4x2+4x+1，

即3x2+6x＜0，即x2+2x＜0，得﹣2＜x＜0， 即不等式的解集为（﹣2，0）． 19．

【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2ωx﹣

）+λ，由对称性可得ω，可得最小正周期； 6（2）由图象过点(,0)可得λ=﹣1，由x0,结合三角函数的值域可得．

62解：（1）化简可得f（x）=

=

3•2sinωxcosωx﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+λ

）+λ 6由函数图象关于直线x对称可得2ω•﹣=kπ+，k∈Z，

33623解得ω=k+1，结合ω∈（0，2）可得ω=1，

2∴f（x）=2sin（2x﹣）+λ，

63sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣

- 12 -

∴函数f（x）的最小正周期T=（2）∵y=f（x）的图象过点∴2sin（2•

2=π； 2，

﹣）+λ=0，解得λ=﹣1， 66∴f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，

65∵x0,， ∴2x﹣∈[﹣，]，

66621）∈[﹣，1]，

26∴2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，

6∴2sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，1]，

6∴sin（2x﹣

故函数f（x）在x0,上的值域为[﹣2，1]

220．

【分析】（1）设出二次函数的表达式，得到关于a，b，c的方程，解出即可求出函数的表达式；

（2）求出f（cosθ），问题转化为sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，

令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1，通过讨论对称轴的位置，从而求出g（θ）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．

解：（1）∵函数f（x）为二次函数， ∴设f（x）=ax2+bx+c，

∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2，

c2a1∴4a2b20， 解得：b1，

c2ab20∴f（x）=x2+x﹣2；

（2）由（1）得：f（cosθ）=cos2θ+cosθ﹣2，

∴由不等式f(cos)≤2sin()msin对θ∈R恒成立， 4得：cos2θ+cosθ﹣2≤2sin（θ+）+msinθ对θ∈R恒成立，

4∴sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，

- 13 -

m12(m1)2)1令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1=(sin， 24∵﹣1≤sinθ≤1， ∴①﹣1≤

m1≤1即﹣3≤m≤1时： 2(m1)2gmin（θ）=1﹣≥0，

4解得：﹣3≤m≤1，符合题意； ②

m1＜﹣1即m＜﹣3时： 2(m1)2m12gmin（θ）=(1＞0， )+1﹣

42解得：m＞﹣3，无解； ③

m1＞1即m＞1时： 2(m1)2m12gmin（θ）=(1＞0， )+1﹣

42解得：m＜1，无解；

综上，满足条件的m的范围是[﹣3，1]． 21．

1ax1ax=0，由此能求出a． log21x1x1（2）当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=0，得x= ，

m【分析】（1）由奇函数性质得f（x）+f（﹣x）=log2不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点； 当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）= log2函数g（x）恰好有两个零点．

1ax是奇函数， 1x1ax1axlog2∴f（x）+f（﹣x）= log2 1x1x1ax1ax)=0， = log2(1x1x1x=0，得x=1，不存在非零实数m使得

(1x)mx【解答】解：（1）∵函数f(x)log2

- 14 -

∴

1ax1ax=1， ∴1﹣a2x2=1﹣x2， 1x1x解得a=±1．

（2）不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点，理由如下： 当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）， 由﹣log2（mx）=0，解得mx=1，x=

1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点； m1x1x﹣log2（mx）=log2，

(1x)mx1x当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=log2由log21x=0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．

(1x)mx综上，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点． 22．

【分析】欲判断函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c满足a+b＞c，判断f（a）、f（b）、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．因此假设a≤c且b≤c，在各个选项中根据定义和函数对应法则进行求解判断即可．

，b=，c=， 3321则f（a）=f（b）=sin=，f（c）=sin=1，

32211则f（a）+f（b）==1，不满足f（a）+f（b）＞f（c）

22故f（x）=sinx，不是“保三角形函数”．

解：（1）若a=

（2）对任意一个三角形三边长a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b， 则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．

因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc， 即lna+lnb＞lnc．

同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb． 所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长． 故函数h（x）=lnx （x∈[2，+∞））． （3）λ的最大值是

5． 6- 15 -

①当λ＞

55时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，λ），且可以作为某个三角662形的三边长，

11但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，

22h（x）=sinx，x∈（0，λ）不是保三角形函数．

55时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，）， 6655若a+b+c≥2π，则a≥2π﹣b﹣c＞2π﹣﹣=，

6635即 a＞，同理可得b＞，c＞， ∴a、b、c∈（，），

633331∴sina、sinb、sinc∈（，1]．

211由此可得 sina+sinb＞+=1≥sinc，即 sina+sinb＞sinc，

22②当λ=

同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina， 故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长． 若a+b+c＜2π，则当

abc＜π， 22ccababab≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．

2222222ccababab当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．

2222222cab综上可得，0＜sin＜sin≤1．

225再由|a﹣b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，

6abc5ab可得 cos=cos＞cos＞cos＞0，

22122∴sina+sinb=2sin

ccababcos＞2sincos=sinc，

2222同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina， 故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长． 故当λ=

55时，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数，故λ的最大值为， 66

- 16 -