专升本高等数学统考样题2

一、 单项选择题（每小题4分，共20分）

231、已知二元函数z3xyy，则下列偏导数正确的是（ A ）

zzzz22A、6xy, B、6x, C、3y, D、3x,

xxyy zz23'23'3xyyy3x23y2 3xyyx6xy06xy，解： xy2x-yze2、设，则dz(1,1)（ B ）

2x-ye(dx-dy) B、e(2dxdy) C、2dxdy D、2edx A、

zz2xy'2xy2xy'2xyeee2e解：，， yx xy zz2ee， x1,y1将代入，得， yx1,11,1 所以dz(1,1)2edxedye2dxdy 2xD(x,y)0x1,0y3、设，则cosydxdy（ C ）

2DA、 B、0 C、 D、0

 11112232cosydy2(siny)dy(0)(10)xcosydxdyxdx(x)dx 解 000303D213dyy的通解为（ D ） 4、微分方程dxA、yeC B、yee C、ye dydx， 解：分离变量，得 y dy dx，得lnyxlnC， 两边积分，有y 即lnylnexlnClnCex，所以yCex xxCCx D、yCe

xnax5、若幂级数n的收敛半径为3，则下列叙述正确的是（ D ）

n0A、该幂级数在x4处一定收敛 B、该幂级数在x2处不一定收敛

C、该幂级数在x3处一定发散 D、该幂级数在x3处不一定发散

 nax依据阿贝尔定理，当R为正常数，在(R,R)内绝对收敛，n 解：n0 xR当时，幂级数可能收敛也可能发散。， 二、 填空题（每小题4分，共20分）

6、设f(x,y)xyx2y2，则f(3,y)（6y） 2222f(3,y)3y3y3y3y6y6y 解：

7、微分方程y4y4y0的通解为y（C1C2xe2x）

解：其特征方程为 r24r40，它的根rr2， 12 2x于是通解为yC1C2xe 8、设f(x,y)为连续函数，交换二次积分I则I（

10dxf(x,y)dy的积分次序，

0x2220dyy0f(x,y)dx）

2解：根据所给的积分限，可知0x1，0yx， 改变积分次序后，先对x再对y积分，得

Idy0y0f(x,y)dx

2222ln(xy)ds L9、设为椭圆xy1的一周，则曲线积分L（ 0 ）

2222ln(xy)dsln1ds0 解：f(x,y)xy1， LL

an10、设级数2(a0)发散，则常数a的取值范围是（a1）

n1n

un1an1n2n2解：LimLimnLimaa1，所以a1。 2nun(n1)2na(n1)n三、 计算题（每小题8分，共40分，解答应写出推理、演算步骤）、 11、求微分方程xyycosx的通解

dyy， 解：先解对应齐次方程 xyy0，dxx dy1dy1dx分离变量，得，两边积分 yxdx， yx Cy得,, lnylnxlnC x Cx再设原非齐次方程的通解为y（Cx待定） xCx CxCxCxy将和yCxx2代入原方程， 2xxxx

CxCxCxcosx0，整理后得 xx

Cxcosx，积分后得CxsinxC 因此，原方程的通解为ysinxC x

2x12、求微分方程ye2x0满足初始条件yx01，yx01的特解 2

解：将原式写成ye2x，（形如yfx的方程） e2x2x2ye2xdxxC1 第一次积分，降阶2e2xe2xx32第二次积分，得通解y2xC1dx43C1xC2 2x将yx01，yx01分别代入上式，得方程组 22x11C11e0C122解得5，于是特解为y4C21100C424x35x 34zzz2213、设zln(xy),求，，

xyxy

解： z2xz2y2,222 xxyyxy'22x2z4xy22xyxyx2y2y2 14、计算二重积分

ydxdy，其中D是由xyD21,x0,y0,y1所围成的

区域。

解：积分区域D如图所示，由图可见，本题宜先对x后对y积分，得

1

42yy1y211 32ydxdyydydxy(y10)dy[] 0004D420

15、计算二重积分

eDx2y2dxdy，其中D为圆环线1x2y24。

解：所给圆环区域D如图所示，在极坐标下可表示为 02 1r2 于是，原式

eDx2y2dxdyd022112r22redr2edr，

21r2

四、 综合题（共20分，解答应写出推理、演算步骤）

zz16、设函数zz(x,y)是由方程xyz2z0所确定，求，及dzxy（6分）。 222222 解：将原式写成xyz2z0，记Fx,y,zxyz2z

求出三个偏导数，Fx2x，Fy2y，Fz2z2

FyFxz2xz2y 代入偏导数公式得, xFz22zyFz22z

zz2x2ydzdxdydxdy xy22z22z22222f(x,y)xy2x4y的极值（7分）17、求。

解：所给函数的定义域为全平面，解方程组 z2x0200xz，得驻点1,2 02y040y2z2z2z0，22， 求函数的二阶偏导数22，yxyx2即A2,B0,C2，因为BAC0430,且A20， 由极值存在的充分条件，判定点1,2为极小值点，所以函数值f1,25是极小值。 218、计算曲线积分(xy)dx(xy)dy，其中L是抛物线yx上从点

LO(0,0)到点A(1,1)的一段弧（7分）

yx2 解：给出，以x为参数，起点的x0终点的x1，于是 xx

11 2223(xy)dx(xy)dy[xx(xx)2x]dx(x3x2x)dx00 L 41x2x113 =x(1)(000)1 20222

注：统考内容中各知识点分布：

二元微分学占33%；微分方程占24%；二重积分占24%；曲线积分占11%；级数占8%