中职数学(高教版)拓展模块教学设计：椭圆(二)

【课题】 2．1椭圆（二）

【教学目标】

知识目标：

理解标准方程所表示的椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质． 能力目标：

学生的数学思维能力得到提高．

【教学重点】

椭圆的性质．

【教学难点】

椭圆离心率概念．

【教学设计】

本课利用研究代数问题的方法研究椭圆的范围、对称性和顶点． a和b分别表示椭圆的半长轴长和半短轴长．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，即ec．教材从代数a的角度，介绍了离心率的大小与椭圆的扁平程度之间的关系．例3是椭圆的性质的训练题．利用对称性，作图会简便的多，可以让学生自行练习．例4是求椭圆方程的训练题．例5是实际应用问题．这些题目都属于基础性训练题．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟)

【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 2．1 椭圆． *创设情境 兴趣导入 前面我们根据椭圆的定义，选取适当的坐标系，得到了椭圆的标准方程．下面将通过对方程 xy1　　　ab0 a2b222教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 播放 课件 质疑 了解 观看 课件 思考 引导 启发学生得出结果 0 5 的研究，来认识椭圆的性质． *动脑思考 探索新知 1

教 学 过 程 1．范围 从方程中可以看到： x2y2 2≤1，2≤1， ab教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 总结 归纳 思考 引导学生发现解决问题方法 2

即 －a≤x≤a，－b≤y≤b． 这说明椭圆位于四条直线xa,xa,yb,yb所围成的矩形内（如图2－4）． 图2－4 2．对称性 在椭圆的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说 明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点P 1(x,y)也 在椭圆上，因此椭圆关于x轴对称（如图2－5）． 同理，将x换成－x，方程依然成立．这说明当点P（x，y） 在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2(x,y)也在椭圆上（如图 2－5）；将x换成－x，y换成－y，方程依然成立．这说明当点 P（x，y）在椭圆上时，其关于坐标原点的对称点P 3(x,y)也 在椭圆上（如图2－5）． 由此可知，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，还关 于坐标原点对称．x轴与y轴都叫做椭圆的对称轴，坐标原点 叫做椭圆的对称中心（简称中心）． 图2－5

教 学 过 程 3.顶点 在方程中，令y = 0，得x = ±a，说明椭圆与x轴有两个教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 关键 词语 理解 记忆 25 交点A1(a,0)和A2(a，0)；同样，令x = 0，得y = ±b，说明椭圆与x轴有两个交点B1(0，． b)和B2(0，b)（如图2－4） 椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点．因此x2y2A1、A2、B1、B2四个点是椭圆221的四个顶点．线段abA1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别表示椭圆的半长轴长和半短轴长． 4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比2aa叫做椭圆的离心率，记2ccc． a作e．即 e 因为a＞c＞0，所以0＜e＜1．当e增大逐渐接近1的时候，c逐渐接近a，从而ba2c2越小，因此椭圆越扁；反之，当e减小逐渐接近0的时候，c逐渐接近0，从而ba2b2逐渐接近a，此时椭圆逐渐接近于圆． 【说明】 有些书中将圆看成椭圆的特殊情况：当e = 0的时候，b = a，此时椭圆就成为圆．本套教材中，将原与椭圆最为不同的曲线来进行研究，所以椭圆的离心率e ≠ 0，即椭圆的离心率满足0＜e＜1． *巩固知识 典型例题 例3 求椭圆9x25y225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用“描点法”画出它的图形． 解 将所给的方程化为标准方程，得 xy1． 2592222 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 这是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，并且a = 5，b = 3． 3

教 学 过 程 因为 ca2b22594． 所以椭圆的长轴长2a = 10，短轴长2b = 6，离心率教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 4

ec4，焦点坐标为F，，0)F2(4，，0)顶点坐标为1(4a5 A1(5，、0)A2(5，、0)B1(0，3)、B1(0，3)． 可以先画出椭圆在第一象限及其边界内的图形，然后再利用椭圆的对称性，画出全部图形． 在第一象限及其边界内椭圆方程可以变形为 y 325x2． 5在区间[0，5]内，选出几个x的值，计算出对应的y值．列表： x y 0 3 1 2.94 2 2.275 3 2.4 4 1.8 5 0 以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x，y)，用光滑的曲线顺次联结各点得到椭圆在第一象限及其边界内的图形．然后利用椭圆的对称性，画出全部图形（如图2－6）． 图2－6 例4 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点P(－3，0) 、Q(0，－2)； （2）长轴长为18，离心率为1． 3解 （1）由于点P、Q在坐标轴上，并且以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的焦点就是椭圆的顶点，故点P、Q分别是

教 学 过 程 椭圆长轴和短轴的一个端点．于是 a = 3， b = 2． 由于椭圆的长轴在x轴上，故椭圆的焦点在x轴上．因此教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 5

所求的椭圆标准方程为 x2y21． 94 （2）因为 2a18，ec1， a3所以 a = 9， c = 3． 于是 bac81972． 椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．因此，所求222的椭圆方程为 x2y2x2y21或1． 81727281【说明】 要注意椭圆的焦点与长轴始终在同一个轴上．求椭圆的标准方程时，如果不能确定焦点的位置，要针对不同的情况，给出两种标准方程． 例5 已知一个椭圆形的油桶盖，其长轴的两端到一个交点的距离分别为40cm和10cm（如图2－7）．求椭圆的标准方程与两个焦点的坐标． 图2－7 解 由已知得 AFOF2ac， 12AO1F2A2OA2OF2ac．

于是有

教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 50 60 70 75 85 ac40  ac10 解得 a = 25， c = 15． 因此 bac2515400． 故椭圆的标准方程为 x2y21． 62540022222 焦点坐标为F，，0)F2(15，．0) 1(15 提问 巡视 指导 质疑 归纳强调 回答 理解 强化 动手 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 师生共同归纳强调重点 *运用知识 强化练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程． （1）a = 4，b = 1，焦点在x轴上； （2）a4，c15，焦点在y轴上． *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 什么叫做椭圆的离心率？ 结论： 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作e．即 ec． a*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 求e = 0.8，c = 4的椭圆的标准方程． 引导 提问 巡视 指导 回忆 反思 动手 求解 培养反思学习过程的能力 分层次要求 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题2．1（必做）；学习指导2．1（选 说明 记录 6

教 学 过 程 做） (3)实践调查：运用本课所学知识，解决实际问题 【教师教学后记】

项目 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 90 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； 学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考； 思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法； 是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

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