第一篇：证明极限不存在
证明极限不存在
二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=k_这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(_,y)→(0,0)_4y2_6+y6;(2)lim(_,y)→(0,0)_2y2_2y2+(_y)2.证明一般地,对于(1)选择当(_,y)沿直线y=k_y=k_趋近于(0,0)时,有lim(_,y)→(0,0)_4y2_6+y6=lim_→0k2_6(1+k6)_6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(_,y)沿抛物线y=k_2+_(k≠0)(_,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..
是因为定义域d={(_,y)|_不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点
沿着两条直线y=2_
y=2_趋于(0,0)时
极限分别为3和1/3不相等
极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等
所以极限不存在
lim(_和y)趋向于无穷大(_^25y^2)/(_^2+3y^2)
证明该极限不存在
lim(_^25y^2)/(_^2+3y^2)
=lim(_^2+3y^2)/(_^2+3y^2)8y^2/(_^2+3y^2)
=1lim8/
因为不知道_、y的大校
所以lim(_和y)趋向于无穷大(_^25y^2)/(_^2+3y^2)
极限不存在
如图用定义证明极限不存在~谢谢!!
反证法
若存在实数l，使limsin(1/_)=l，
取ε=1/2，
在_=0点的任意小的邻域_内，总存在整数n，
①记_1(n)=1/(2nπ+π/2)∈_，有sin=1，
②记_2(n)=1/(2nππ/2)∈_，有sin=1，
使|sinl|1/3，
和|sinl|1/3，
同时成立。
即|1l|1/2，|1l|1/2，同时成立。
这与|1l|+|1l|≥|(1l)(1l)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/_)=l成立的实数l不存在。
第二篇：如何证明极限不存在
如何证明极限不存在
反证法
若存在实数l，使limsin(1/_)=l，
取ε=1/2，
在_=0点的任意小的邻域_内，总存在整数n，
①记_1(n)=1/(2nπ+π/2)∈_，有sin=1，
②记_2(n)=1/(2nππ/2)∈_，有sin=1，
使|sinl|1/3，
和|sinl|1/3，
同时成立。
即|1l|1/2，|1l|1/2，同时成立。
这与|1l|+|1l|≥|(1l)(1l)|=2发生矛盾。
所以，使limsin(1/_)=l成立的实数l不存在。
反证法：
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在
假设两数列之和{cn}的极限存在，那么bn=cnan极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)
矛盾
所以原命题成立
令y=_,lim(_,y)趋于(0,0)_y/_+y
=lim(_趋于0)_^2/(2_)=0
令y=_^2_,lim(_,y)趋于(0,0)_y/_+y
=lim(_趋于0)_^3_^2/_^2=1
两种情况极限值不同，故原极限不存在
2答案：首先需要二项式定理：
(a+b)^n=∑c(i=0Ci=n1)n1ia^(n1i)_b^i(式二)
则，当n=n1+1时:
式二两端同乘(a+b)
_(a+b)=_(a+b)
=(a+b)^(n1+1)=∑c(i=0?Ci=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)i)_b^i(据乘法分配律)
因此二项式定理(即式一成立)
下面用二项式定理计算这一极限：
(1+1/n)^n(式一)
用二项式展开得：
(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+_(1/n)^2+_(1/n)^3+…+_(1/n)^(n2)+_(1/n)^(n1)+_(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n+∞,得0。因此总的结果是当n+∞，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为：
(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)
当n+∞时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。
第三篇：证明二重极限不存在
证明二重极限不存在
如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。由二重极限的定义知,要讨论lim_→_0y→y0f(_,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(_0,y0)的特殊曲线,如果动点(_,y)沿这些曲线趋于(_0,y0)时,f(_,y)趋于不同的值,则可判定二重极限lim_→_0y→y0f(_,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(_0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如lim_→_0y→y0f(_,y)g(_,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(_,y)g(_,y)=0,这样做就很容易出错。例如,容易知道lim_→0y→0_+y_2+y2=0,但是若沿曲线_2y(_2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(_,y)→1)。为什么会出现这种情况呢仔细分析一下就不难得到答案
若用沿曲线，(，y)一g(，y)=0趋近于(，y0)来讨论，一0g，y。。可能会出现错误，只有证明了(，)不是孤立点后才不会出错。o13a167XXXX3878(2014)0l__0l02__02如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。只是略谈一下在判断二重极限不存在时。一个值得注意的问题。由二重极限的定义知，要讨论limf(_，y)不存在，通常_―’10y―’y0的方法是：找几条通过(或趋于)定点(_o，yo)的特殊曲线，如果动点(_，y)沿这些曲线趋于(_o，y。)时，f(_，y)趋于不同的值，则可判定二重极限limf(_，y)不存在，这一方i―’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲线时，是有一定技巧的，不过不管找哪条曲线，这条曲线一定要经过(_o，y。)，并且定点是这条曲线的非孤立点，这一点很容易疏忽大意，特别是为图方便，对于型如2的极限，在判卜’iog_，yy―?y0断其不存在时，不少人找的曲线是f(_，y)一g(_，y)：0，这样做就很容易出错。
当沿曲线y=_+_^2趋于(00)时，极限为lim(_^2+_^3)/_^2=1;
当沿直线y=_趋于(00)时，极限为lim_^2/2_=0。故极限不存在。
_y+_^2+y^2
f(_,y)=――――――――
_+y
它的累次极限存在：
_y+_^2+y^2
limlim――――――――=1
y0_0_+y
_y+_^2+y^2
limlim――――――――=1
_0y0_+y
当沿斜率不同的直线y=m_,(_,y)(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。
第四篇：极限不存在的证明
不如何证明极限不存在
一、归结原则
原理:设f在u0(_0;')内有定义，limf(_)存在的充要条件是：对任何含于
__0
u(_0;)且以_0为极限的数列_n极限limf(_n)都存在且相等。
n
例如：证明极限limsin
_0
1_
不存在
12n
证：设_n
1n
,_n
(n1,2,)，则显然有
_n0,_n0(n)，si由归结原则即得结论。
00,si11(n)_n_n
二、左右极限法
原理：判断当__0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(_)arctan(因为limarctan(
_0
1_
当_
0
时的极限不存在。
1_)
1_
)
_=0，limarctan(
_0
，limarctan(
_0
1_
)limarctan(
_0
1_
)，
所以当_0时，arctan(
1_
)的极限不存在。
三、证明_时的极限不存在
原理：判断当_
时的极限，只要考察_与_时的极限，如果两者
相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(_)e_在_
_
时的极限不存在
_
_
____
因为lime0，lime；因此，limelime
_
所以当_
四、柯西准则
时，e_的极限不存在。
0'
原理：设f在u(_0;)内有定义，limf(_)存在的充要条件是：任给
__0
0
，存
在正数()，使得对任何_,_u0(_0;)，使得f(_)f(_)0。 例如：在方法一的例题中，取01，对任何0，设正数n
_1
n,_1
n1，令
2即证。
五、定义法
原理：设函数f(_)在一个形如(a,)的区间中有定义，对任何ar，如果存在
00，使对任何_0都存在_0_,使得f(_0)a0,则f(_)在_
_时没有极限。 例如：证明limcos_不存在
设函数f(_)cos_，f(_)在(0,)中有定义，对任何ar，不妨设a取0120,，于是对任何0，取00 反证法（利用极限定义） 数学归纳法
第五篇：极限证明
极限证明
1.设f(_)在(,)上无穷次可微，且f(_)(_n)(n)，求证当kn1时，_， limf(k)(_)0． _
2.设f(_)0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(_)是以2为周期的周期函数；当n为
偶数时f(_)是一线性函数与一以2为周期的周期函数之和． _
f(n)(_)0．{_n}3.设f(_)在(,)上无穷次可微；f(0)f(0)0_lim求证：n1，
n，0_n_n1，使f(n)(_n)0．
sin(f(_))1．求证limf(_)存在． 4.设f(_)在(a,)上连续，且_lim_
5.设a0,_12a,_n12_n,n1,2,证明权限limn_n存在并求极限值。
6.设_n0,n1,2,.证明：若lim_n1_,则lim_n_. n_nn
7.用肯定语气叙述：lim_f_.
8.a11,an11,求证：ai有极限存在。 an1
t_9.设函数f定义在a,b上，如果对每点_a,b,极限limft存在且有限（当_a或b时，
为单侧极限）。证明：函数f在a,b上有界。
10.设limnana,证明：lima12a2nana. n2n2
11.叙述数列an发散的定义，并证明数列cosn发散。
12.证明：若
af_d_收敛且lim_f_，则0.
11an收敛。,n1,2,.求证：22an1an13.a0,b0.a1a,a2b,an22
14.证明公式k11k2ncn，其中c是与n无关的常数，limnn0.
15.设f_在[a,)上可微且有界。证明存在一个数列_n[a,),使得limn_n且limnf'_n0.
16.设fu具有连续的导函数，且limuf'ua0,d_,y|_2y2r2,_,y0
r0.
1证明：limufu;2求irf'_2y2d_dy;3求limr2
r
17.设f_于[a,)可导，且f'_c0c为常数,证明：
1lim_f_;2f_于[a,)必有最小值。
18.设limnana,limnbnb,其中b0,用n语言证明lim
ana.
nbbn
sn_19.设函数列sn_的每一项sn_都在_0连续，u是以_0为中心的某个开区间，
在u_0内闭一致收敛于s_,又limnsn_0,证明：lims_.
__0
20.叙述并证明lim_f_存在且有限的充分必要条件柯西收敛原理
a
23.设
f(_)= 0. 证明_limf(_)d_收敛,且f(_)在a,上一致连续，
24.设a10，an1＝an＋，证明＝1 nan25.设f_在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，mh与mh分别表示f_在
ah,ah上的上、下确界，又设hn是一趋于0的递减数列，证明：
1）limnmhn与limnmhn都存在；
2)limn0mhlimnmhn,limn0mhlimnmhn;
3)f_在_a处连续的充要条件是llimnmhnimnmhn26设_n满足：|_n1_n||qn||_n_n1|,|qn|r1|,证明_n收敛。
27.设ana,用定义证明:limnana
28.设_10，_n1
31_n
,(n1,2,)，证明lim_n存在并求出来。
n3_n
29.用“语言”证明lim30.设f(_)
(_2)(_1)
0
_1_3
_2
，数列_n由如下递推公式定义：_01，_n1f(_n)，(n0，_1
n
1，2，)，求证：lim_n2。
31.设fn(_)cos_cos2_cosn_，求证：
（a）对任意自然数n，方程fn(_)1在[0,/3)内有且仅有一个正根；
（b）设_n[0,1/3)是fn(_)1的根，则lim_n/3。
n
32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列_na,yna(_n,yn(a,b))使
limf(_n)a(n)及limf(yn)b(n)，则对a，b之间的任意数，
可找到数列_na，使得limf(zn)
33.设函数f在[a,b]上连续，且
f0,记fvnf(avn),n
e_p{
ba
，试证明：n
1b
lnf(_)d_}(n)并利用上述等式证明下aba
2
2
ln(12rcos_r2)d_2lnr(r1)
f(b)f(a)
k
ba
34.设f‘(0)k,试证明lim
a0b0
35.设f(_)连续，(_)0f(_t)dt，且lim
_0
论'(_)在_0处的连续性。
f(_)
，求'(_)，并讨a（常数）
36． 给出riemann积分af(_)d_的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛
i1
lim()s。 nni0n
_322
,_y02
37.定义函数f__y2. 证明f_在0,0处连续但不可微。
0,_y0
n1
38.设f是0,上有界连续函数，并设r1,r2,是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列_1,_2,,使得：limnf_nrnf_n0.
39.设函数f_在_0连续，且lim_0
f2_f_a,求证：f'0存在且等于a.
1n
40.无穷数列an,bn满足limnana,limnbnb,证明:limaibn1iab.
nni1
41.设f是0,上具有二阶连续导数的正函数，且f'_0,f''有界，则limtf't0
42.用分析定义证明limt1
_31
_292
43.证明下列各题
1设an0,1，n1,2,,试证明级数2nann1ann收敛；
n1
2设an为单调递减的正项数列，级数n2014an收敛，试证明limn2014an0;
n
n1
3设f_在_0附近有定义，试证明权限lim_0f_存在的充要条件是：对任何趋于0的数列_n,yn都有limnf_nfyn0.
144.设an为单调递减数列的正项数列，级数anln1an0收敛，试证明limnnn1
a1。 45.设an0，n=1,2， ana0,(n),证 limn
n
46.设f为上实值函数，且f（1）＝1，f（_）＝〔1(内容来源好 范文网)，＋〕
limf（_）存在且小于1＋。
_＋4
，证明_1）2
_2＋f（_）
47.已知数列{an}收敛于a，且
aaasn，用定义证明{sn}也收敛于a
48.若f_在0,上可微，lim
n
f(_)
0，求证0,内存在一个单
__
调数列{n}，使得limn且limf(n)0
n
_esin_cos_,_0
49.设f_2,确定常数a,b,c,使得f''_在,处处存在。
a_b_c,_0