第三讲 三角形的巧合点
１． 内心
内心就是三角形内切圆的圆心，不难知道它一定在三个角的平分线上，故为三角平分线的交点．（到三边距离相等）
关于角平分线共点的证明课本上有同一法，我们再介绍一种利用塞瓦定理的方法
如图，三角形三条角平分线分别交对边于点𝐷,𝐸,𝐹，求证：𝐴𝐷,𝐵𝐸,𝐶𝐹共点于𝐼． 证明：由角平分线分对边成比例定理可知： A𝐴𝐹𝐴𝐶= 𝐹𝐵𝐵𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵= 𝐷𝐶𝐴𝐶三式相乘得到
𝐶𝐸𝐵𝐶= 𝐸𝐴𝐴𝐵FIE故𝐴𝐷,𝐵𝐸,𝐶𝐹共点．
用角元形式会更加简单
关于内心的性质，我分成如下几个部分： １）关于角：
1∠𝐵𝐼𝐶=90°+∠𝐴
2𝐴𝐹𝐵𝐷𝐶𝐸××=1 𝐹𝐵𝐷𝐶𝐸𝐴BDC1∠𝐴𝐼𝐵=90°+∠𝐶
2以上结论十分简单，且题设和结论可逆．
A２）关于线段：鸡爪定理．已在上一讲提及，这里将图形再画出来．结论是可逆的，这里给出证明：
首先由𝐷𝐵=𝐷𝐶可知𝐴𝐼平分∠𝐵𝐴𝐶．由𝐷𝐼=𝐼𝐵知∠𝐷𝐼𝐵=∠𝐷𝐵𝐼.即∠𝐷𝐵𝐶+∠𝐼𝐵𝐶=∠𝐼𝐴𝐵+∠𝐼𝐵𝐴，而∠𝐵𝐷𝐶=I∠𝐼𝐴𝐶=∠𝐼𝐴𝐵.所以∠𝐼𝐵𝐶=∠𝐼𝐵𝐴．即𝐵𝐼平分∠𝐴𝐵𝐶.所以𝐼是
BC三角形𝐴𝐵𝐶的内心．
D1∠𝐴𝐼𝐶=90°+∠𝐵
2
３）关于特殊点：∆𝐼𝐵𝐶,∆𝐼𝐶𝐴,∆𝐼𝐴𝐵的外心在∆𝐴𝐵𝐶的外接圆上．
C'证明：我们先找出这个外心．显然，根据鸡爪定理 A𝐼𝐴′=𝐵𝐴′=𝐶𝐴′
𝐼𝐵′=𝐴𝐵′=𝐶𝐵′ 𝐼𝐶′=𝐴𝐶′=𝐵𝐶′
𝐴′,𝐵′,𝐶′分别就是∆𝐼𝐵𝐶,∆𝐼𝐶𝐴,∆𝐼𝐴𝐵的外心，显然，𝐴,𝐵,𝐶,𝐴′,𝐵′,𝐶′六点共圆．
反过来可用同一法证明．
B'IBA'C４）关于面积
𝑖)经过内心的直线分三角形两部分的面积比等于周长比．
必要性的证明：设𝐼是∆𝐴𝐵𝐶的内心，过𝐼的直线交𝐴𝐵于𝑃，交𝐴𝐶于𝑄．记𝐵𝐶=𝑎,𝐶𝐴=𝑏,𝐴𝐵=𝑐,𝐴𝑃=𝑚,𝐴𝑄=𝑛，内切圆的半径为𝑟，则 1𝑆∆𝐴𝐴𝐴=(𝑎+𝑏+𝑐)𝑟=𝑆.
21𝑆∆𝐴𝐴𝐴=(𝑚+𝑛)𝑟=𝑆1.
2𝑆𝑎+𝑏+𝑐𝑙== 𝑆1𝑚+𝑛𝑙1
则
故
𝑆1𝑙1= 𝑆2𝑙2
我们顺便证明了这样一条推论：经过内心的直线若平分三角形的面积，则必平分三角形的周长（𝑀𝑎𝑀𝑟𝑖𝑀67刚刚在博客提及哟）
结论是可逆的（证明可以将周长比表示成类似面积比的方法，得到到𝐵𝐶边的距离𝑑=𝑟） 𝑖𝑖)设𝐼在𝐵𝐶,𝐴𝐶,𝐴𝐵上投影分别为𝐷,𝐸,𝐹，令𝑝=(𝑎+𝑏+𝑐)［即半周长］，则有以下的结论成立：
212𝑆Δ𝐴𝐴𝐴,𝐴𝐸=𝐴𝐹=𝑝−𝑎,𝐵𝐷=𝐵𝐹=𝑝−𝑏,𝐶𝐸=𝐶𝐷=𝑝−𝑐;
𝑎+𝑏+𝑐𝛾)𝑎𝑏𝑐𝑟=𝑝∙𝐴𝐼∙𝐵𝐼∙𝐶𝐼.
前两个用切线长定理和面积很好证，我们给出第三个的证明： 在∆𝐴𝐼𝐵中应用正弦定理，有 𝛽)𝑟=
𝐴𝐼𝑐𝑐== 11sin∠𝐴𝐼𝐵sin2∠𝐵cos2∠𝐶
𝛼)𝑆Δ𝐴𝐴𝐴=𝑝𝑟; 类似地，我们有
𝐵𝐼𝑎= 11sin∠𝐶cos∠𝐴22三式相乘，有
111𝐴𝐼×𝐵𝐼×𝐶𝐼=tan∠𝐴tan∠𝐵tan∠𝐶
𝑎𝑏𝑐222𝑟𝑟𝑟𝑝𝑟3𝑟=××=2= 𝑝−𝑎𝑝−𝑏𝑝−𝑐𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝑝𝐶𝐼𝑏= 11sin2∠𝐴cos∠𝐵
2点评 这个证明相当巧妙，运用了三角形的海式，充分运用了面积法的威力，为一佳例！
𝑖𝑖𝑖) 欧拉公式（见上一讲）：可推出重要不等式𝑅>2𝑟．
例题 证明，当且仅当三角形内𝑃点与𝐼重合时，𝐴𝑃𝐴𝐴理相同．
设𝐵𝐶=𝑎,𝐶𝐴=𝑏,𝐴𝐵=𝑐,𝑃𝐷=𝑀,𝑃𝐸=𝑦,𝑃𝐹=𝑧，则𝑎𝑀+𝑏𝑦+𝑐𝑧=2𝑆∆𝐴𝐴𝐴是定值． 由柯西不等式，有
𝑎𝑏𝑐(++)(𝑎𝑀+𝑏𝑦+𝑐𝑧)≥(𝑎+𝑏+𝑐)2 𝑀𝑦𝑧+
𝐴𝑃
𝐴𝐴+
𝐴𝐴𝐴𝑃
最小，𝐷,𝐸,𝐹的意义和上一个定
等号成立当且仅当
𝑎𝑏𝑐:𝑎𝑀=:𝑏𝑦=:𝑐𝑧 𝑀𝑦𝑧即𝑀=𝑦=𝑧时成立，此时𝑃与𝐼重合．
𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝑎𝑏𝑐(𝑎+𝑏+𝑐)2++=++≥
2𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝑃𝐷𝑃𝐸𝑃𝐹𝑀𝑦𝑧例题 如图，𝐵𝐶是圆𝛤的直径，𝐴在圆周上且0°<∢𝐴𝐴𝐵<120°，𝐷是弧𝐴𝐵的中点，𝐴𝐼//𝐷𝐴交𝐴𝐶于点𝐼，𝐴𝐴的垂直平分线交圆𝛤于𝐸,𝐹两点，求证：𝐼是三角形𝐶𝐸𝐹的内心． AFDIEBC12
证明：由中垂线可知𝐴为弧𝐸𝐴𝐹的中点，故𝐶𝐴平分∠𝐸𝐶𝐹． 由∠𝐴𝐴𝐷=∠𝐴𝐴𝐵=∠𝐴𝐴𝐶知𝐴𝐷𝐴𝐼为平行四边形．易知
O𝐴𝐸𝐴𝐹为菱形，所以𝐴𝐼=𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐴𝐹．故∠𝐼𝐹𝐸=
∠𝐼𝐹𝐴−∠𝐸𝐹𝐴=∠𝐴𝐼𝐹−∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐴𝐼𝐹−∠𝐼𝐶𝐹=∠𝐼𝐹𝐶 故𝐹𝐼平分∠𝐶𝐹𝐸.所以𝐼是三角形𝐶𝐸𝐹的内心．
Γ
点评：元素丰富的图，包括正三角形和一对全等形． ２． 外心
外心即三角形外接圆的圆心，其性质多与外接圆有关，其余和三角形其他的心有密切联系，这里暂时无法提及，故篇幅短小．
外心是三角形三边中垂线的交点．
同样的，三条中垂线交于一点也可用同一法和塞瓦定理来证．前者大多数课本上都有，我们给出后者．易见
𝐴𝑃𝑃𝐴
=
𝐴𝑃𝑃𝐴
=
𝑃𝐴
𝐴𝑃=1，故三者相乘也为１，证毕．
性质１ 𝐴是𝛥𝐴𝐵𝐶内心⇔∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐴,∠𝐴𝐴𝐶=2∠𝐵,∠𝐴𝐴𝐵=2∠𝐶⇔𝐴𝐵=𝐴𝐶且∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐴．
上述性质显然．
性质２ 设三角形三边长为𝑎,𝑏,𝑐，外接圆半径为𝑅，面积为Δ，则
𝑅=
𝑅=
𝑎𝑏𝑐 4Δ证明：
现在略举一题．
𝑐𝑐𝑎𝑏𝑐== 2sin𝐶2∙2Δ4Δ𝑎𝑏求证：𝐴𝐴1=𝐴𝐴2 例题 如图：∆𝐴𝐵𝐶,∆𝐴𝐵𝐷,∆𝐴𝐶𝐷的外心分别是𝐴,𝐴1,𝐴2，且𝐴𝐷是∆𝐴𝐵𝐶的角平分线．
证明：设𝐴𝐷与𝐴1𝐴2交于点𝐾.𝐴𝐵,𝐴𝐶与𝐴𝐴1,𝐴𝐴2或其延长线分别交于点𝐸，点𝐹．
则𝐴𝐷⊥𝐴1𝐴2,𝐴𝐵⊥𝐴𝐴1,𝐴𝐶⊥𝐴𝐴2． 于是𝐴𝐴1𝐴𝐾,𝐴𝐾𝐴2𝐹四点共圆．
那么∠𝐴𝐴1𝐴2=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴𝐴2𝐴1. 所以𝐴𝐴1=𝐴𝐴2.
点评：此题难度并不很大，难在想到连心线垂直于公共弦的应用和辅助线的构造．
AO1KEOO2FBDC
关于外心，后面还要讲到欧拉线和垂心，关系密切，将会不断出镜．另外，外心的常用辅助
线，是构造直径．
３． 垂心
垂心是最丰富、最多彩的心．
垂心即三角形三条高的交点．证三高共线的方法书本上大多没有，这里提一下：
A证法一：设两高𝐴𝐷,𝐵𝐸交于𝐻，连结𝐶𝐻并延长交𝐴𝐵于𝐹，设
αFβHβαEBDC∠𝐻𝐴𝐹=𝛼,∠𝐴𝐻𝐹=𝛽.
显然，∠𝐻𝐶𝐷=𝛼,∠𝐶𝐻𝐷=𝛽,则𝛼+𝛽=90°。
所以∠𝐴𝐹𝐻=90°，即𝐶𝐻⊥𝐴𝐵.
即证．
AF12
证法二：容易看出𝐵𝐶𝐸𝐹,𝐴𝐶𝐷𝐹,𝐴𝐵𝐷𝐸均四点共圆． 所以
∠1=∠6 ∠3=∠2 ∠5=∠4
HE因此
根据塞瓦定理的角元形式可知结论成立．
性质１ ∠𝐵𝐻𝐶=∠𝐵+∠𝐶=180°−∠𝐴,∠𝐶𝐻𝐴=∠𝐶+∠𝐴=180°−∠𝐵,∠𝐴𝐻𝐵=∠𝐴+∠𝐵=180°−∠𝐶．
性质１极易证明，利用四点共圆即可．
性质２ 三角形的垂心是其垂足三角形的内心（已证）
我们要利用性质２来解决一个著名的洗袜子（𝑆𝑐ℎ𝑤𝑎𝑟𝑧）问题．我假定你们具有如下知识：两点之间，线段最短；费马原理（光总是走最短的路）和利用反射（轴对称）解决的将军饮马问题．
三角形的内接三角形中，什么样的三角形具有最短的周长？
运用费马原理，我们可以看出，光路三角形就是满足条件的三角形，也就是光可以不断来回反射的三角形．我们尝试证明，这就是垂足三角形．
sin1sin3sin5××=1 sin2sin4sin6B4356DCADααγFγHββBEC∠𝐴𝐸𝐶=∠𝐵𝐸𝐶=90°，即𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，同理𝐵𝐹⊥𝐴𝐶,𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，故∆𝐷𝐸𝐹是垂足三角形．
还有另外一种方法，将光线三角形和普通三角形翻折５次，得到下面的图形
AFIHEC'A''A'I'B'B'
那么∠𝐴=𝛽，那么𝐴𝐵𝐸𝐹四点共圆，同理𝐴𝐶𝐸𝐷四点共圆，𝐵𝐶𝐹𝐷四点共圆．所以∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐴𝐸𝐷，从而∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐷+𝛽=∠𝐴𝐸𝐹+𝛽=∠𝐴𝐸𝐶,故∠𝐴𝐸𝐵=
12
光走的路径．根据费马原理，我们猜想垂足三角形就是周长最短的．
证明这个三角形就是垂足三角形并不困难。注意到2𝛼+2𝛽+2𝛾=3×180°−(∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶)=360°，所以𝛼+𝛽+𝛾=180°，所以Δ𝐴𝐷𝐹∽Δ𝐸𝐷𝐴∽Δ𝐸𝐶𝐹∽Δ𝐴𝐶𝐵 ．
易见𝛼=𝛼′,𝛽=𝛽′,𝛾=𝛾′．因此当固定𝐸𝐹时，𝐷、𝐸、𝐹就是
BGDCF'
∆𝐼𝐼𝐻为任意三角形，∆𝐷𝐸𝐹是垂足三角形．容易看出𝐴′′𝐵′′//𝐴𝐵（与𝐴′𝐵′所成角均为
180°−2∠𝐴𝐶𝐵）．因为𝐴’’𝐹’平行且等于𝐴𝐹，所以𝐹𝐹’平行且等于𝐴𝐴’，同样𝐼𝐼’平行且等于𝐴𝐴’，也就是说𝐹𝐼𝐼’𝐹’是平行四边形．
根据光线三角形的性质，可以知道𝐴𝐸…𝐹’在同一直线上［留给读者证明］，因此2×∆𝐼𝐻𝐼的周长＝折线𝐼𝐻..𝐼’≥𝐼𝐼’=𝐹𝐹’．
下面是一条和外心有关的性质
性质３ 在∆𝐴𝐵𝐶中，𝐻是垂心，𝐴是外心，𝐴在线段𝐵𝐶,𝐴𝐶,𝐴𝐵上的投影分别为𝑀,𝑁,𝑃，则𝐴𝐻=2𝐴𝑀,𝐵𝐻=2𝐴𝑁,𝐶𝐻=2𝐴𝑃．
仅证第一式，后式同理：延长𝐶𝐴交圆于点𝐸，连结𝐴𝐸,𝐵𝐸，则 AEFOHE
𝐵𝐸⊥𝐴𝑀⇒𝐵𝐸// 𝐴𝐻
BMDC同理𝐴𝐸//𝐵𝐻，所以𝐴𝐻=𝐵𝐸，又由相似形知𝐴𝑀=𝐵𝐸=𝐴𝐻,故𝐴𝐻=2𝐴𝑀．
根据上述证明过程，可以顺便推出一个重要的结果：
性质４ 三角形的外心和垂心是一对等角共轭点．
性质５与内心的性质３相互对应，颇为有趣．
性质５ 𝐻关于三边𝐵𝐶,𝐴𝐶,𝐴𝐵的对称点𝐻1,𝐻2,𝐻3在三角形𝐴𝐵𝐶的外接圆上．
H312
12
AHH2
′′
首先延长𝐴𝐻交圆周于点𝐻1,连结𝐵𝐻,𝐵𝐻1．那么
又因为
′′
∠𝐶𝐵𝐻=∠𝐶𝐴𝐻1=∠𝐶𝐵𝐻1
′
𝐻𝐻1⊥𝐵𝐶
′′
故𝐻,𝐻1关于𝐵𝐶轴对称，所以𝐻1和𝐻1重合．
仿此可证𝐻2,𝐻3也在三角形𝐴𝐵𝐶的外接圆上．
BCH1
性质６和性质５相似
性质６ 垂心关于三边中点的对称点在三角形的外接圆上．
AC1B1HBCA1D
证明：设三对称点分别为𝐴1,𝐵1,𝐶1，𝐻关于𝐵𝐶的对称点为𝐷，则𝐴1𝐷𝐶𝐵是梯形（𝐴1,𝐷到𝐵𝐶等距）．
易知𝐴1𝐵𝐻𝐶是平行四边形，故𝐴1𝐵=𝐶𝐻=𝐶𝐷，所以𝐴1𝐷𝐶𝐵是等腰梯形．
熟知等腰梯形为圆内接四边形，故𝐴1在𝐵𝐶𝐷的外接圆上，也就是在∆𝐴𝐵𝐶的外接圆上．同理可证另外两点．
性质７ （𝐷,𝐸,𝐹均为垂足）𝐴𝐻×𝐻𝐷=𝐵𝐻×𝐻𝐸=𝐶𝐻×𝐻𝐹． 性质７极容易证明，四点共圆和相交弦定理应用即可．
性质８ ∆𝐴𝐵𝐶,∆𝐴𝐵𝐻,∆𝐵𝐶𝐻,∆𝐴𝐶𝐻的外接圆半径相等 由性质５即证．
性质９ 𝐻,𝐴,𝐵,𝐶四点中任意一点是其余三点组成三角形的垂心，把四点叫做垂心组．且每一垂心组的四个外心也构成一全等的垂心组．
性质１０ 设𝐵𝐶=𝑎,𝐴𝐶=𝑏,𝐴𝐵=𝑐,𝐴𝐻=𝑀,𝐵𝐻=𝑦,𝐶𝐻=𝑧,𝑅是外接圆半径，则有
𝑀2+𝑎2=𝑦2+𝑏2=𝑧2+𝑐2=2𝑅2.
1212
𝑀+𝑎=𝑅2 22𝑀2+𝑎2=𝑅2
证明：根据性质３可知
故
仿此可证．
也可利用勾股定理来证，留给大家．
４． 重心
重心原本是一个物理概念，平面点集的重心定义如下：设平面℘有一点集𝐹，设点𝑃𝑖的质量为𝑚𝑖，则满足以下条件的点𝑀叫做𝐹的重心
不理解的同学可以用杠杆原理或者力矩推一推． 当质量均匀分布时，∑𝑚𝑖可以改为面积．
三角形的重心是三边中线的交点。三条中线共点根据塞瓦定理是再简单不过了，另外一种证法是面积法．
重心有很多和计算和比例线段有关的性质，常常和面积相关．最经典的是性质１．
性质１重心在每条中线的三等分点处．
证明十分简单，设重心为𝐼，三条中线分别为𝐴𝐷,𝐵𝐸,𝐶𝐹（后意义均同，不再重复）．则易知６个小三角形面积相等，故𝐴𝐼:𝐼𝐷=𝑆∆𝐴𝐴𝐴:𝑆∆𝑃𝐴𝐴=2:1．
性质２ 𝑃为形内任意一点，则
１） 𝐴𝑃2+𝐵𝑃2+𝐶𝑃2=𝐴𝐼2+𝐵𝐼2+𝐶𝐼2+3𝑃𝐼2
13
�������⃗⋅�𝑚𝑖=�𝑷𝑷�������⃗∀𝑃∈℘,𝑷𝑷𝒊⋅𝑚𝑖
２） 𝐴𝐼2+𝐵𝐼2+𝐶𝐼2=(𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐶𝐴2)
证明：先证第二个式子，用向量法较为简单
41�����⃗2=(𝐴𝐵�����⃗+𝐵𝐶�����⃗)2 𝐴𝐼
9241�����⃗2=(𝐵𝐶�����⃗+𝐶𝐴�����⃗)2 𝐵𝐼
92412�����⃗�����⃗�⃗)2 𝐴𝐵𝐶𝐼=(𝐶𝐴+����92三式相加，得到：
�����⃗+𝐵𝐶�����⃗)代换𝐶𝐴�����⃗，得 用−(𝐴𝐵
4555�⃗×𝐵𝐶�����⃗+𝐵𝐶�����⃗×𝐶𝐴�����⃗+𝐶𝐴�����⃗×𝐴𝐵�����⃗) 𝐴𝐼2+𝐵𝐼2+𝐶𝐼2=(𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐶𝐴2+����𝐴𝐵
94444333�����⃗∙𝐵𝐶�����⃗) =(𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐴𝐵
922212 =�𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+(𝐴𝐶2−𝐴𝐵2−𝐵𝐶2)�
231 =(𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐶𝐴2)
3
对于第一式，选择利用余弦定理：
1121 =�𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐴𝐶2�
22324557�����⃗∙𝐵𝐶�����⃗−𝐵𝐶�����⃗∙𝐴𝐵�����⃗−𝐵𝐶2−𝐴𝐵2−𝐴𝐵�����⃗∙𝐵𝐶�����⃗) 𝐴𝐼2+𝐵𝐼2+𝐶𝐼2=(𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐴𝐵
9222𝐴𝑃2=𝐴𝐼2+𝑃𝐼2−2𝐴𝐼×𝑃𝐼×𝑐𝑐𝑐∠𝐴𝑃𝐼 𝐷𝑃2=𝐷𝐼2+𝑃𝐼2−2𝐷𝐼×𝑃𝐼×𝑐𝑐𝑐∠𝐷𝑃𝐼 改写一下第二个式子形式将会有助于消元 相加得
𝐴𝑃2+2𝐷𝑃2=𝐴𝐼2+2𝐷𝐼2+3𝑃𝐼2
注意到𝑃𝐷,𝐷𝐼分别为∆𝐵𝑃𝐶,∆𝐵𝐼𝐶的中线，根据𝑆𝑀𝑆𝑤𝑎𝑟𝑀定理（还记得么）的中线长公式，得到
12𝐷𝑃2=𝑃𝐵2+𝑃𝐶2−𝐵𝐶2 22𝐷𝑃2=2𝐷𝐼2+2𝑃𝐼2+2𝐴𝐼×𝑃𝐼×𝑐𝑐𝑐∠𝐴𝑃𝐼
带入上式，得
综合１），２）两个结论就可以得到著名的莱布尼茨公式：
𝐴𝑃2+𝐵𝑃2+𝐶𝑃2=𝐴𝐼2+𝐵𝐼2+𝐶𝐼2+3𝑃𝐼2.
12𝐷𝐼2=𝐼𝐵2+𝐼𝐶2−𝐵𝐶2 2
当𝑃不与𝐼重合的时候，3𝑃𝐼2>0得到重要的几何不等式
1𝐴𝑃2+𝐵𝑃2+𝐶𝑃2=(𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐶𝐴2)+3𝑃𝐼2
3𝐴𝑃2+𝐵𝑃2+𝐶𝑃2>𝐴𝐼2+𝐵𝐼2+𝐶𝐼2
也可表述为：三角形内重心到三边的平方和最短
性质３ 𝐵𝐶2+3𝐼𝐴2=𝐶𝐴2+3𝐼𝐵2=𝐴𝐵2+3𝐼𝐶2.
证明：根据𝑆𝑀𝑆𝑤𝑎𝑟𝑀定理的中线长公式
111𝐴𝐷2=𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−𝐵𝐶2
224
带入得
2
22211𝐵𝐶2+3𝐼𝐴2=𝐵𝐶2+3×�𝐴𝐷�=𝐵𝐶2+𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=(𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐴𝐶2)
33333其余仿此即证．
性质４ 设点𝑀在三边𝐵𝐶,𝐴𝐶,𝐴𝐵的射影分别为为𝑃,𝑄,𝑅，那么，当且仅当𝑀与𝐼重合时，𝑀𝑃×𝑀𝑄×𝑀𝑅最小．
证明：设三边长为𝑎,𝑏,𝑐．记𝐼𝐷=𝑀,𝐼𝐸=𝑦,𝐼𝐹=𝑧．由面积知𝑎𝑀+𝑏𝑦+𝑐𝑧=2𝑆∆𝐴𝐴𝐴为定值，由幂平均不等式知
83𝑎𝑀+𝑏𝑦+𝑐𝑧3
�=𝑆. 𝑎𝑀∙𝑏𝑦∙𝑐𝑧≤�
27∆𝐴𝐴𝐴3也即
38𝑆∆𝐴𝐴𝐴 𝑀𝑦𝑧≤
27𝑎𝑏𝑐当且仅当𝑎𝑀=𝑏𝑦=𝑐𝑧时等号成立，此时𝑆∆𝐴𝐴𝐴=𝑆∆𝐴𝐴𝐴=𝑆∆𝐴𝐴𝐴，即𝐼为∆𝐴𝐵𝐶的重心．
性质５ （欧拉线）三角形的外心、垂心、重心共线，且重心在外心和垂心连线的三等分点处．
AO
证明：设∆𝐴𝐵𝐶垂心为𝐻，外心为𝐴．作中线𝐴𝑀并连结
𝐴𝑀,𝐴𝑀,𝐴𝐻．设𝐴𝑀与𝐴𝐻交于点𝐼．现在我们回忆垂心的性质３，迅速得到
𝐴𝐻//𝐴𝑀,𝐴𝐻=2𝐴𝑀.
故∆𝐴𝐼𝑀∼∆𝐻𝐼𝐴.
BC故𝐴𝐼:𝐼𝑀=2:1．那么𝐼就是垂心． M
欧拉线有更多的丰富性质，将在费尔巴哈定理一节讲到．
５． 旁心
简单介绍一下旁心的性质．
旁心是两外角平分线和一内角平分线的交点，三线共点的证明同内心类似，不再赘述．
先介绍常用的记号：如图，记三个旁切圆圆AIcGHIbBICIa心分别为𝐼𝑎,𝐼𝑏,𝐼𝑐，半径分别为𝑟𝑎,𝑟𝑏,𝑟𝑐．半周长 𝑝=(𝑎+𝑏+𝑐)．三角形面积为∆． 则有如下结论成立
𝑟𝑝 1)𝑟𝑎=
𝑝−𝑎214)𝑟𝑎=4𝑅+𝑟−𝑟𝑏−𝑟𝑐
12)𝑟𝑎=(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐) 𝑟11113)=−− 𝑟𝑎𝑟𝑟𝑏𝑟𝑐
15)∆=𝑟𝑎(𝑏+𝑐−𝑎)
26)直角三角形斜边上旁切圆的半径等于半周长
以上证明可见于参考书籍．
６． 界心和周界中线．
若三角形一顶点和对边一点连线平分了三角形的周长，则称该点为周界中点，该线段为三角形的周界中线（也可是直线）．
三条周界中线的交点称为界心．（共点用塞瓦定理十分简单，设半周长即可，见例题）
例题 设𝐷,𝐸,𝐹分别是边𝐵𝐶,𝐴𝐶,𝐴𝐵上的周界中点，𝑅,𝑟分别为外接圆和内切圆的半径，则
𝑆∆𝑃𝑃𝑃𝑟= 𝑆∆𝐴𝐴𝐴2𝑅设𝑝=(𝑎+𝑏+𝑐) 则
2
1再由共边定理，知
同理
那么
𝑆∆𝑃𝑃𝑃𝑆∆𝐴𝑃𝑃𝑆∆𝐴𝑃𝑃𝑆∆𝐴𝑃𝑃=1−�++� 𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝑆∆𝐴𝐴𝐴
𝑆∆𝐴𝑃𝑃𝐵𝐷×𝐵𝐹(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑐)== 𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵×𝐵𝐶𝑎𝑐𝑆∆𝐴𝑃𝑃𝐶𝐷×𝐶𝐸(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)== 𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵×𝐴𝐶𝑎𝑏𝑆∆𝐴𝑃𝑃𝐴𝐸×𝐴𝐹(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)== 𝑆∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵×𝐴𝐶𝑏𝑐𝐶𝐸=𝐵𝐹=𝑝−𝑎
𝐴𝐹=𝐶𝐷=𝑝−𝑏 𝐴𝐸=𝐵𝐷=𝑝−𝑐 −2𝑝3+2(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)𝑝−2𝑎𝑏𝑐 =
𝑎𝑏𝑐由三角形恒等式𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎=𝑝2+4𝑅𝑟+𝑟2和𝑎𝑏𝑐=2𝑝𝑅𝑟带入并整理可以得到 由欧拉不等式（见内心性质𝑖𝑖𝑖）知，
𝑆∆𝑃𝑃𝑃𝑟= 𝑆∆𝐴𝐴𝐴2𝑅=1−�
(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐)(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑐)(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)++�
𝑏𝑐𝑎𝑐𝑎𝑏
＊７．补充
１）三角形恒等式的证明：由外心的性质２
1𝑆∆𝑃𝑃𝑃≤𝑆∆𝐴𝐴𝐴. 4又由内心的性质𝑖𝑖)知 两边平方
∆=
𝑝𝑟2=𝑝3−𝑝2(𝑎+𝑏+𝑐)−𝑝(𝑏𝑐+𝑎𝑐+𝑎𝑏)−𝑎𝑏𝑐
将其他式子用𝑝代换掉 故 又
证毕．
２）有关向量的几个结论：
A𝑝2𝑟2=𝑝4−𝑝3𝑎−𝑝3𝑏−𝑝3𝑐+𝑝2𝑏𝑐+𝑝2𝑎𝑐+𝑝2𝑎𝑏−𝑝𝑎𝑏𝑐.
约去一个𝑝，得
𝑝𝑟2=𝑝3−2𝑝3+𝑝(𝑏𝑐+𝑎𝑐+𝑎𝑏)−4𝑅𝑝𝑟
𝑏𝑐+𝑎𝑐+𝑎𝑏=𝑝2+4𝑅𝑟+𝑟2
𝑎𝑏𝑐=4𝑅∆=4𝑝𝑅𝑟.
∆=𝑝𝑟=�𝑝(𝑝−𝑎)(𝑝−𝑏)(𝑝−𝑐).
𝑎𝑏𝑐 4𝑅������⃗=�����⃗�����⃗ 𝛼)𝐴𝐻𝐴𝐴+�����⃗𝐴𝐵+𝐴𝐶
OBDH������⃗=𝑚(𝐴𝐴�����⃗+𝐴𝐵�����⃗+𝐴𝐶�����⃗)． 证明：不妨设𝐴𝐻
C������⃗=𝑚𝐴𝐴�����⃗+2𝑚𝐴𝐷������⃗ 那么𝐴𝐻
�����⃗=𝐴𝐴�����⃗+𝐴𝐻������⃗=𝐴𝐴�����⃗+2������⃗ 而同时�𝐴𝐻𝐴𝐷由平面向量基本定理知𝑚=1．
�����⃗=𝐴𝐴�����⃗+�����⃗�����⃗ 证明：�𝐴𝐻𝐴𝐵+𝐴𝐶
2
𝛽)𝐴𝐵2+𝐵𝐶2+𝐶𝐴2+𝐴𝐻2=9𝑅2 2
2
2
�����⃗+𝐴𝐵�����⃗�+�𝐵𝐴�����⃗+𝐴𝐶�����⃗�+�𝐶𝐴�����⃗+𝐴𝐴�����⃗�+�𝐴𝐴�����⃗+𝐴𝐵�����⃗+𝐴𝐶�����⃗�=9𝑅2. 故原式左边＝�𝐴𝐴
３）重心性质２的向量证法和推广
�����⃗+�����⃗+𝐼𝐶�����⃗=0是三角形重心的等价定义． 首先易知𝐼𝐴𝐼𝐵
2
2
2
2
2
�����⃗⋅�𝐼𝐴�����⃗+�����⃗+𝐼𝐶�����⃗�+𝐼𝐴2+𝐼𝐵2+𝐼𝐶2. =3𝑃𝐼2+2𝑃𝐼𝐼𝐵
=3𝑃𝐼2+𝐼𝐴2+𝐼𝐵2+𝐼𝐶2
也可以直接带进去算
�����⃗2+𝑃𝐵�����⃗2=𝑃𝐴�����⃗2+�𝑃𝐴�����⃗+𝐴𝐵�����⃗�+�𝑃𝐴�����⃗+𝐴𝐶�����⃗� �����⃗2+𝑃𝐶𝑃𝐴
2
211�����⃗+�𝐴𝐵�����⃗+𝐴𝐶�����⃗��+𝐴𝐵2+𝐴𝐶2−�𝐴𝐵�����⃗+𝐴𝐶�����⃗� =3�𝑃𝐴
332
2
�����⃗+�����⃗�+�𝑃𝐼�����⃗+�����⃗�+�𝑃𝐼�����⃗+�����⃗� 证明：𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶=�𝑃𝐼𝐼𝐴𝐼𝐵𝐼𝐴
2
�����⃗2+2�����⃗⋅�𝐴𝐵�����⃗+𝐴𝐶�����⃗�+𝐴𝐵2+𝐴𝐶2 =3𝑃𝐴𝑃𝐴
推广：可推广至正𝑛边形和多面体，读者可自行推导．
８．小节目
1)有关垂心的结论：圆内接完全四边形的四个三角形的垂心共圆． H2有一种证法是向量法，这里是我的老师给出的证法： 首先注意到𝐴4𝐻1=𝐴2𝐻3且𝐴4𝐻1//𝐴2𝐻3.（由垂心性质
A1３），所以𝐴2𝐴4𝐻1𝐻3为平行四边形．同理
H1𝐴1𝐴3𝐻2𝐻4,𝐴1𝐴2𝐻1𝐻4,𝐴3𝐴4𝐻2𝐻3也都是平行四边形． A4
A2H3那么由𝑆𝐴𝑆判定∆𝐴1𝐻1𝐻2≅∆𝐴2𝐻3𝐻4．由上述证明容易
O得出垂心组成的四边形和原四边形的所有对应线段相H4等，由托勒密定理的逆定理可知四点共圆．
A3评注：事实上它们是全等的；也可利用垂心组的性质．
２）莫莱定理：三角形三个角的三等分线的交点形成一个正三角形． 为了证明这个定理，我们先证明一个引理： 如果四点𝐹’,𝐹’,𝐸′,𝐸满足下列条件：
1.𝐹𝐹’=𝐹𝐸=𝐸𝐸’
�����⃗=−1�𝐴𝐵�����⃗+𝐴𝐶�����⃗�，上式最小，此时𝑃与𝐼重合. 显然，当𝑃𝐴
3
那么𝐹’,𝐹,𝐸,𝐸’四点共圆
2.∠𝐸𝐹𝐹’=∠𝐹𝐸𝐸’=180−2𝛼>60°
证明比较容易，令𝐹’𝐹和𝐸𝐹的垂直平分线交于点𝐴，则可以看
3α出∆𝐴𝐹𝐹′≅∆𝐴𝐹𝐸(𝑆𝑆𝑆)，所以∠𝐴𝐸𝐹=90°−𝛼，得∠𝐴𝐸𝐸’也是90°−𝛼，这样通过𝑆𝐴𝑆判定∆𝐴𝐸𝐹与∆𝐴𝐸𝐸’全等，所以
O𝐴𝐸’=𝐴𝐸．即四点共圆．
2α2α2α不仅如此，如果四点外有一点𝐴，使得∠𝐸′𝐴𝐹′=3𝛼，那么，𝐴也E'在这个圆上。（所张角是圆心角的一半）
F' EF
有了引理，我们就可以用同一法来证明莫莱定理了．
A令∠𝐵和∠𝐶的三等份线交于点𝐼和𝐷，连接𝐷𝐼．设∠𝐵的三
ααα等份为𝛽，∠𝐶的三等份为𝛾．可以知道𝐷就是∆𝐵𝐶𝐼的内心。
在𝐵𝐼上取一点𝐹，在𝐶𝐼上取一点𝐸，使得∠𝐹𝐷𝐼=
E'F'G∠𝐸𝐷𝐼=30°．那么∆𝐷𝐹𝐼≅∆𝐷𝐸𝐼(𝐴𝑆𝐴)．所以𝐷𝐸=𝐷𝐹
且夹角为60°，这就说明∆𝐷𝐸𝐹是正三角形。 EF γβDβγ此外，∆𝐼𝐹𝐸是等腰三角形且底角等于𝛽+𝛾．现在在𝐴𝐵
γβCB上取𝐹’，𝐴𝐶上取点𝐸′，使得𝐹𝐹’=𝐸𝐸’．可以看出
∆𝐵𝐷𝐹≅∆𝐵𝐹’𝐹，∆𝐶𝐷𝐸≅∆𝐶𝐸′𝐸(𝑆𝐴𝑆)．
再用引理之前，我们还要核实第二个条件．现在我们设∠𝐴=3𝛼，那么𝛼+𝛽+𝛾=60°，因此𝛽+𝛾=60°−𝛼，那么∠𝐸𝐹𝐼=60°−𝛼,∠𝐷𝐹𝐼=120°−𝛼．
∠𝐸𝐹𝐹’=∠𝐸𝐹𝐼+∠𝐼𝐹𝐹’=60°−𝛼+180°−∠𝐷𝐹𝐵=60°−𝛼+120°−𝛼=180°−2𝛼．
同理也可以得到∠𝐹𝐸𝐸’=120°=180°−2𝛼．现在我们运用引理，得到𝐹’,𝐹,𝐸,𝐸’四点共圆，且𝐴点也在这个圆上，由于弦𝐹’𝐹=𝐸𝐹’=𝐸𝐸’，因此它们所对的圆周角也相等，即𝐴𝐸,𝐴𝐹三等分∠𝐴，故原命题成立．
３）费马点和斯坦纳问题：三角形内有一点𝑃，那么使得𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶最小的点𝑃在什么位置？ 答案是使∠𝐴𝐴𝐵=∠𝐴𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐶=120°的𝐴点，此点称为费马点．
A'给出三种证法：
O'
A
AP'证法一 设三角形内有一点𝑃，将∆𝐴𝐴𝐵,∆𝐴𝑃𝐵绕𝐵逆时针旋转60°至∆𝐴𝐴′𝐵,∆𝐴𝑃′𝐵.易知𝐴′𝐴′𝐴𝐶四点共
线，∆𝑃𝑃′𝐵,∆𝐴𝐴′𝐵均为正三角形．故
OBPC𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶=𝑃′𝐴′+𝑃′𝐵+𝑃𝐶
=𝑃′𝐴+𝑃𝑃′+𝑃𝐶≥𝐴′𝐶
=𝐴′𝐴′+𝐴′𝐴+𝐴𝐶=𝐴𝐴+𝐴𝐵+𝐴𝐶
当且仅当𝑃与𝐴重合时等号成立
FGAE证法二 读者应知道下面的引理：正三角形内部一点到三边距离为定值，等于一边上的高．
过点𝐴,𝐵,𝐶分别作𝐴𝐴,𝐴𝐵,𝐴𝐶的垂线交于三点𝐷,𝐸,𝐹．则∆𝐷𝐸𝐹为正三角形（四点共圆）．
过点𝑃作∆𝐷𝐸𝐹的三条高𝑃𝐼,𝑃𝐻,𝑃𝐼，则𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶≥𝑃𝐼+𝑃𝐻+𝑃𝐼=𝐴𝐴+𝐴𝐵+𝐴𝐶．当且仅当𝑃与𝐴重合时等号成立
OBHPCJD
证法三 这里用的是力学方法．
引理 大小相等的三个共点力两两夹角为120°．
（提示：通过平移，构成一矢量三角形）
在三角形的三个顶点挂上三个等质量的重物𝑚，三根绳都与𝑃点相连，欲使𝑃𝐴+𝑃𝐵+𝑃𝐶最小，由于绳长确定，则三个重物的垂直高度放的最低，根据势能最小原理，系统受力平衡。取𝑃点为研究对象，由引理知夹角为120°．
改变重物的质量，会得到加权费马问题，可以利用解矢量三角形来解决．
顺便说一下，四个点、五个点可以推广到最小斯坦纳树．举一例子．
如图所示，正方形四个定点的最小斯坦纳树．
其两两夹角均为120°
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