勾股定理导学案

勾股定理导学案83573(总8页)

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勾股定理 1 勾股定理（一）

学习目标：

1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2. 利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三条边的长。

学习重点：探索和验证勾股定理。 学习难点：证明勾股定理。 导学流程： 一、 自主学习 前置学习：

自学指导：阅读教材第至66页，完成下列问题。 1. 教材第至65页思考及探究。

2. 画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。（勾3，股4，弦5）。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有____2+____2=____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

要点感知：如果直角三角形的两直角边长分别是a、b， 斜边为c，那么 ，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的 。 二、展示成果

活动1 已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。求证：a2b2c2。

CD证明：如赵爽弦图，

Abca

活动2 如果将活动1中的图中的四个直角三角形按如图所拼，又该如何证明呢？

知识点归纳：

上述问题可视为命题1的证明

命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a、b， 斜边为c，那么 。

总结：经过证明被确认正确的命题叫 。

命题1在我国称为 ，而在西方称为 。 三、合作探究

活动3 已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

（1）a= 。（已知c、b，求a） （2）b= 。（已知a、c，求b） （3）c= 。（已知a、b，求c） 活动4 △ABC的三边a、b、c，

（1）若满足a2b2c2，则∠C是 角； （2）若满足a2b2c2，则∠C是 角； （3）若满足a2b2c2，则∠C是 角。 四、当堂自测 基础训练：

1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5，b=12，则c= 。

2. 在直角三角形ABC中，若a=3，b=5，则c= 。

3. 若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2

baaccbbaaabcaccabbcbabB思考：除此之外，还有证明勾股定理的其他办法吗？

2倍，则其斜边扩大到原来的 。 4. 在ABC中，C90．

（1）已知AC6，BC8，求AB的长

（2）已知AB17，AC15，求BC的长

能力提升：

5. 直角三角形的两边长的比是3:4，斜边长是20，则它的两直角边的长分别是 。 五、中考链接

1.（2011广东肇庆，13，3分）在直角三角形ABC 中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝ ． 2. (2009年达州) 图是一株美丽的勾股树，其中所有 的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形．若正方形A、

B、

C、D的边长分别

是 3、5、2、3，则最

大

正方形E的面积

是

A. 13 B. 26 C. 47 D. 94

3. （2009年宜宾）

已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作 等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的 面积为 ．

六、布置作业：

教材第69页习题 题1

七、备注(小结反思)：

AEH

1 勾股定理（二）

学习目标：

1. 熟知并运用勾股定理进行简单的计算。 2. 灵活运用勾股定理解决生活中的问题。 学习重点：运用勾股定理进行简单计算。

学习难点：灵活运用勾股定理解决简单实际问题。 导学流程：

一、自主学习 前置学习：

自学指导：阅读教材第66至68页，完成下列问题。 1. 勾股定理的具体内容是： 。 2. 填空: 在Rt△ABC，∠C=90°

（1）如果a=7，c=25，则b= 。 （2）如果∠A=30°，a=4，则b= 。 （3）如果c=10，ab=2，则b= 。

（4） 如果a、b、c是连续整数，则abc= 。 （5）如果b=8，a:c=3:5，则c= 。

3. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

要点感知：勾股定理的前提是_____三角形，已知直角三角形的两边，求第三边，要先弄清楚哪条是直角边，哪条是斜边，不能确定时，要________________。 二、 展示成果

活动1 在Rt△ABC，∠C=90°，

（1）已知ab5，求c；（2）已知a=1，c=2，求b；（3）已知a:b=1:2，c=5，求a。 分析：（1）已知_________边，求________边,直接用_______定理。（2）已知_____边和_______边，求3

CBF第12题图

__________边，用勾股定理的变形式。（3）已知一边和两边比，求未知边。

活动2 教材第66页探究1 知识点归纳： 在直角三角形中，

1. 已知任意两边都可以求出第三边；当不能确定直角边还是斜边时，必须要__________________； 2. 已知一边和两边关系，也可以求出未知边。 三、合作探究

活动3 教材第67页探究2

活动4 已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。 （1）求等边△ABC的高. （2 ）求S△ABC。

C

A D B

注意：勾股定理的使用范围是在_________三角形中，因此注意要创造_______三角形，作__________是常用的创造______三角形的辅助线做法。 四、当堂自测

基础训练： 1. 填空题

（1）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。

（2）已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。

（3）小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。

2. 已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=43，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。A

CDB

能力提升：

3. 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC， AD⊥DC，AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。 D A

BC4. 如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ B

CA

5. 如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，

∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。 （精确到1米） A 4

BEDFC

五、中考链接

1.（2009年滨州）如图1，已知△ABC中，AB＝17，

AC＝

10，BC边上的高AD＝8， 则边BC的长为（ ） A. 21 B. 15 C. 6 D. 以上答案都不对

A

A D B C B 1 2 D C 2. （2009

年湖南长沙）如图2，等腰△ABC中，

ABAC，AD是底边上的高，若AB5cm， BC6cm，则AD cm 六、布置作业：

教材第68页 练习 题2；第69页 习题 题2、8

七、备注(小结反思)：

1 勾股定理（三）

学习目标：

1. 会用勾股定理解决较综合的问题。 2. 树立数形结合的思想。

学习重点：勾股定理的综合应用。 学习难点：勾股定理的综合应用。 导学流程： 一、自主学习 前置学习：

自学指导：阅读教材第68至69页，完成下列问题。

1. 如图，水池中离岸边D点米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC。

2.

教材P68页探究3 变式训练：在数轴上画出表示31,22的点。

二、 展示成果

活动1 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3，求线段AB的长。

C

BA

D三、合作探究

活动2 已知：如图，∠B =∠D = 90°，∠A = 60°，AB = 4，CD = 2。求：四边形ABCD的面积。 A

D

BE知识点归纳：

C不规则图形的面积，可

转化为特殊图形求解。 四、当堂自测 基础训练：

1. △ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm，则BC= ，S△ABC= 。

2. △ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=23cm，则∠A =

度，∠B = 度，∠C = 度，BC = ， S△ABC = 。

5

3. △ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=23，CD⊥AB于D， 则AC = ，CD = ，BD = ，AD = ，S△ABC = 。 能力提升：

4. 已知：如图，△ABC中，AB =26，BC =25，AC =17，

求S△ABC。 A BC

5. 已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，根据题设可知什么？

C BAD

五、中考链接

1（2011山东滨州，9，3分）在△ABC中,∠C=90°， ∠C=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到

（ ）

（2011贵州贵阳，7，3分）如

图，△ABC中，

∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点， 则AP长不可能是 （A） （B） （C） （D）7 六、布置作业：

教材第69页练习 题1、2；第69页 习题题10 七、备注(小结反思)：

2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3. 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 学习重点：勾股定理的逆定理及应用。 A学习难点：勾股定理的逆定理的证明。 导学流程： BC一、自主学习 前置学习：

自学指导：阅读教材第73至74页，完成下列问题。 1. 说出下列命题的逆命题，判断逆命题是否成立 同旁内角互补，两条直线平行。

如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。

BAD2.了解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

3.勾股定理的逆定理：__________________________ _____________________________________________ 4.勾股数：____________________________________ _________；勾股数扩大相同倍数后仍为_________； 常用的勾股数有_______ __________ __________。 二、展示成果

活动1 教材第73页命题2的证明及第74页的探究

活动2 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(理解勾股数)

（1）a15，b8，c17；（2）a13，b14，

Cc15。

2 勾股定理的逆定理（一）

学习目标：

1. 体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理及其作用。

6

知识点归纳：

运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2b2和c2的值。③判断a2b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

三、 合作探究

活动3 已知：△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a，b，c，an21，b=2n，cn21（n1）求证：∠C=90°。

四、当堂自测 基础训练： 1．填空题。

1）任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。

2）△ABC三边之比是1：1：2，则△ABC是 三角形。

2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a=5，b=3，c=2 D．a：b：c=2：3：4 能力提升：

3. 在△ABC中，若a2 = b2－c2，则△ABC是 三角形， 是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是 。 4. 在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋

n2

，则△ABC是 三角形。

五、中考链接

（2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆．命题成立的是______________。（只填写序号） ①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 六、布置作业：

教材第75页练习 题1、2； 第76页 习题题1（2）（4） 七、备注(小结反思)：

2 勾股定理的逆定理（二）

学习目标：

1. 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。。 2. 加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 学习重点：应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 学习难点：应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 导学流程： 一、自主学习 前置学习：

自学指导：阅读教材第75页，完成下列问题。 1. 若三角形的三边是 ⑴1，3，2； ⑵13,14,15； ⑶

32，42，52 ⑷9，40，41； ⑸m＋n2－1， 2（m＋n），m＋n2+1；则构成的是直角三角形的有（ ）

A．2个 B．3个 Ｃ．4个 Ｄ．5个

2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分 别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否 是直角三角形并指出那一个角是直角

⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6； ⑶a=2，b=23，c=4； 二、 展示成果 活动1 教材第75页例2

知识点归纳：

已知三边求角，利用勾股定理的逆定理

活动2 一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

四、 合作探究

活动3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地面积，以便7

计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。

DC

B四、当堂自测

基础训练：

A1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。

2．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。

3．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？

能力提升：

4．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：

甲巡逻艇的航向？

A BC D

五、 中考链接

( 2012巴中)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满 足关系c2a2b2+ab=0,则△ABC的形状为

六、布置作业：

教材第76页 练习 题3；习题 题3 七、备注(小结反思)：

勾股定理复习小结

一、重点：

1、明确勾股定理及其逆定理的内容

2、能利用勾股定理解决实际问题A

二、知识小管家：通过本章的学习你都学到了

BC D

三、练习：

考点一、已知两边求第三边

1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm、2cm ，则斜边长为_____________．

2.已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

3.已知，如图，在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高。求 ①AD的长；②ΔABC的面积。

考点二、利用列方程求线段的长

4.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村 庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，

现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得

C，

D D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少C 8

A E

B

km处？

5.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及求证：AB2AC2BCBDDC。

15.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为

BC上一点，且CE1BC．你能说明AFE是直车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离。 角吗？

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

7.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、

4、5；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6；其中能够成直角三角形的有_____________。 8.若三角形的三别是a2b2,2ab, a2b2 (ab0),则这个三角形是_____________。 四、灵活变通

9、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________cm2。

10.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm B，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B 点，则最少要爬行 _________cm。 A11.一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出㎝，问吸管要做多长？

12.如图：带阴影部分的半圆的面积 6 8 是_________（取3）

13.若一个三角形的周长123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是___________。 五、能力提升

14.已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．

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