整式运算的思想方法

二. 学习重难点：整式的运算中的思想方法是本节课的重点也是难点 三. 知识要点讲解：

数学思想是数学的灵魂，是解决数学问题的金钥匙，在数学中蕴含着一些重要的数学思想，为帮助大家理解数学思想，以便在解题中灵活地运用，现就几种数学思想分析如下. （一）逆向思维思想方法

在整式的乘法运算中，有时可以将乘法公式逆向使用，使问题易于解决.

a例1、已知求代数式a2111x20,bx19,cx21,202020 b2c2abbcac的值

分析：本题是一道求值问题，如果将a、b、c的值直接代入计算，则非常的麻烦，观察已知条件及所求式子，联想所学习的数学知识，可以通过逆用完全平方式解决.

解：由已知，得a－b=1，b－c=－2，c－a=1， 所以a2b2c2abbcac

12(a2abb2a22acc2b22bcc2)=2 1[(ab)2(bc)2(ca)2]=2，

将a－b=1，b－c=－2，c－a=1代入，得原式=3. 试一试：计算（x－2y+3z）－（x+2y－3z）. （二）代数思想

代数思想即用字母代替数，在解决一些较复杂一些的数的计算中，如果能恰当地利用字母去代替数值，从而将数字计算转化为数学式子的化简，可使计算明快简捷.

例2、已知M=2004×2005－1，N=2004－2004×2005+2005，试比较M、N的大小. 分析：为了比较简便，可设2004=a，那么M=a（a+1）－1=a+a－1， N=a－a（a+1）+（a+1）=a+a+1，

因为M－N=（a+a－1）－（a+a+1）=－2，所以M数形结合思想，就是将数（量）与形（图）结合起来解决问题的一种数学思想方法.利用数形结合思想解决有关问题可化难为易，直观明了.

例3、如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形（a>b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式_____.

2

2

2

2

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2

2

2

2

2

分析：本题是一道数形结合创新题，通过图形的面积计算，验证乘法公式.从图形中的阴影部分可知其面积是两这个正方形的面积差，

1(2a2b)(ab)即a－b，又由于图的梯形的上底是2b，下底是2a，高为a－b，所以梯形的面积为2=（a+b）（a－b），根据面积相

2

2

等，得乘法公式：a－b=（a+b）（a－b）.

解：填a－b=（a+b）（a－b）.

试一试：请你观察下图，依据图形的面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个和整式乘法运算相关的等式，这个等式为（ ）

（A）（x+y）=x+2xy+y

2

2

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2

2

2

2

2

22

（B）（x－y）=x－2xy+y （D）（x+y）=x+y

2

2

2

222

（C）（x－y）=x－2xy－y.

答案：B

（四）整体思想

在整式的加减运算中，整体思想是一种重要是数学思想，解决问题时，将局部放在整体中观察、分析，寻找整体与局部之间的联系，可使问题简便解决。 一）整体代入 例4、如果x分析：由x22x10，那么代数式x32x27的值为（ ）

D、－8

A、6 B、8 C、－6

2x10先求出x的值，用现有的知识无法解决. 若将x2x看作一个整体，将x2x的值整体代入，则可使问题巧

妙获解. 解：因为x2

x10，所以x2x=1，所以x32x27=x（x2x）＋x2－7=x×1＋x2－7=（x2x）－7=1

2

－7=－6，故选Ｃ.

例5、已知代数式x+3x+3的值等于6，求代数式2x+6x+10的值。

分析：从已知条件可得x+3x+3=6，所以可得x+3x=3，由现在的知识点不能求出具体的x的值。所以应思考其他的解题方法，因为2x+6x=2（x+3x），所以可将x+3x作为一个整体代入解决问题.

解：由已知，得x+3x+3=6，所以x+3x=3， 所以2x+6x+10=2（x+3x）+10=2×3+10=16.

试一试：已知a－b=3，b－c=2，求代数式（a－c）+3a－3c+1的值.答案：41 二）整体合并

例6、计算－6（a－b＋c）＋4（a＋b－c）＋8（a－b＋c）＋3（c－a－b）.

分析：因为3（c－a－b）=－3（a＋b－c），所以可把a－b＋c，a＋b－c各看作一个整体，先合并再去括号，可使运算简捷. 解：原式=－6（a－b＋c）＋4（a＋b－c）＋8（a－b＋c）－3（a＋b－c）=〔－6（a－b＋c）＋8（a－b＋c）〕＋〔4（a＋b－c）－3（a＋b－c）〕=2（a－b＋c）＋（a＋b－c）=3a－b＋c. 三）整体加减

例7、已知3a－3ab=33，3ab－3b=－21，求代数式a－b和a－2ab＋b的值.

22

2

22

2

2

2

22

2

22222分析：若由已知求出a、b的值，需解二元二次方程组，同学们目前尚不会解，但注意观察已知式与求值式，只要将两已知式整体相加、减后再变形即可巧解.

解：因为（3a－3ab）＋（3ab－3b）=3（a－b）=33＋（－21）=12，所以a－b=4. 以因为（3a－3ab）－（3ab－3b）=3a－6ab＋3b=33－（－21）=54，所以a－2ab＋b=18. 四）整体转化

例8、已知当x=2时，代数式ax分析：把代数式

5222222222222bx3cx3的值为100，那么当x=－2时，代数式ax5bx3cx3的值为多少？

知，

ax5bx3cx3的求值问题转化为全奇次项多项式求值问题，从而可简捷获解. 解：由x=2

ax5bx3cx=97则当x=－2时，ax5bx3cx＝－97. 所以当x=－2时，ax5bx3cx3＝－97＋3＝－94.

五）整体设元

例9、有一道题目是求一个已知多项式减去3x－6x＋10所得的差，粗心的小华误将求差当成了求和计算，结果得到x－2x＋4，试问正确的结果应该是多少？

分析：无论是求差还是求和都与这个已知多项式有关，故可把这个已知多项式看作一个整体，设为=x－2x＋4求出

222A，由A＋（3x2－6x＋10）

A，再计算A与3x2－6x＋10的差即可.

22222A，由题意知A＋（3x－6x＋10）=x－2x＋4，所以A=（x－2x＋4）－（3x－6x＋10）=－2x222＋4x－6. 故A=（－2x＋4x－6）－（3x＋6x－10）=－5x－2x＋4.

解：设已知多项式为

（五）分类思想

如果问题中包含多种情况，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出相应的答案，这种解决问题的思想方法叫做分类思想。 例10、已知2a

|m－1|

b和－3ab的和是单项式，求m、n的值。

32|n|

分析：根据两个单项式的和是单项式可知，这两个单项式是同类项，根据同类项的特征可知：|m－1|=2，|n|=3，所以m－1=2或m－1=－2，n=3或n=－3，

所以m=3或m=－1，n=3或n=－3，具体写出m、n的值时，需要分类进行。 解：由已知可得：m=3，n=3或m=3，n=－3或m=－1，n=3或m=－1，n=－3。

试一试：已知|a|=1，b=4，求代数式2a+3b－（－a+2b）的值。答案：5或－5或1或－1.

【课堂小结】

2

数学思想较多，除了以上几种外，还有类比、转化等数学思想，只要大家认真思考，灵活的应用.数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果. 【模拟试题】

一、选一选，看完四个选项后再做决定呀！（每小题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（ ）

A. 5a22b的次数是5

B.

xy2x324xy3xy的次数是7 3不是整式 C. x是单项式D.

x6，y2. 已知：

1A. 12

2

14n4n26，n为自然数，则xy的值是（ ）

111B. 36 C. 36 D. 12

8

11

3. 光的速度为每秒约3×10米，地球和太阳的距离约是1.5×10米，则太阳光从太阳射到地球需要（ ）

A. 5×10秒 4. 如果xm1m1B. 5×10秒

3

C. 5×10秒

4

D. 5×10秒

5

xx8，则m的值为（ ）

B. 3

C. 4

D. 无法确定

A. 8

5. 若(xt)(x1)的积中不含有x的一次项，则t的值（ ）

A. 0

B. 1

C. 1

D. ±1

6. 如图，在边长为a的正方形内部，以一个顶点为圆心，a为半径画弧经过与圆心相邻的两个顶点，那么阴影部分的面积为（ ）

22A. aπa 22B. πaa

1a2πa22C.

C. 1

D.

7. 如果

x22xyy22x2y10，则xy（ ）

3A. 0 A. 21x B. 1 B. 36x3 D. ±1 D. 15x34x，3x，则它的体积等于（ ） 8. 一个长方形的长、宽、高分别是3x6，42x2

72x2 C. 36x272x

18x2

二、填一填，要相信自己的能力！（每小题3分，共24分）

2x3y5的系数是 1.

3. 已知a5.

22333(a)aa 次数是 . 2. = .

am是关于a的一个完全平方式，那么m

221，商式为x1，余式为2x，则被除式为

. 4. 1003997 .

[(a8a2)a2](a3a)2= 6. 一个正方体的棱长是2×103毫米，则它的表面积是 平方毫米，它的体积是 立方毫米.

. 8. 三个连续奇数，中间一个是2n1，则这三个数的和是 .

7. 若除式为x三、做一做，要注意认真审题呀！（共72分） 1. （每小题5分，共10分）

1[(x2y)(x2y)(2xy)2(3xy)(2x5y)]x3. （1）(2m5)(2m5)(2m1)(2m3)； （2）

2. （每小题4分，共8分）用乘法公式计算： （1）118×122； （2）2005－2006×2004

2(2ab)(2ab)(ab)2(a2b)·(a2b))，其中a(a2b3. （10分）化简求值：

2

12，b2.

4. （10分）小光做一道数学题：两个多项式A和B，B为4x是7x225x6，试求A+B. 由于小光误将“A+B”抄成“A－B”，结果求出答案

8

10x2. 你试一试能不能帮小光找到“A+B”的正确答案.

1

2

3

4

5

6

7

5. （10分）已知2=2，2=4，2=8，2=16，2=32，2=，2=128，2=256，„„

（1）你能按此推测2的个位数字是多少吗？

（2）根据上面的结论，结合计算，请估计一下：（2－1）（2+1）（2+1）（2+1）„（2+1）的个位数字是多少？ 6. （12分）已知2a2

4

32

3，2b6，2c12，试找出a、b、c之间的等量关系.

2

7. （12分）已知除式是5m，商式是3m

24m1，余式是2m3，求被除式.

【试题答案】

一、1~4. CCAC 5~8. CDBB

二、1.

25，4

7

2. 2a

7. x46143. 4 4. 999991 5. a

6. 2.4×10，8×10

9

2x1 8. 6n3

三、1. （1）8m28；

（2）9x39y. 2. （1）14396 （2）1

3. 化简为3ab10b，值为37. 4. 提示，先求A，再求A+B，答案为x6. ac2b 7. 被除式

2210.

5. （1）6；（2）提示：运用公式求得原式等于21，故个位数字是5.

5m2(3m24m1)(2m3)

15m420m35m22m3.

五、利用整式的乘法公式计算：（每小题2分，共计4分） ① 19992001 ②991 七、探究题：（每小题5分，共计10分） 1、 求

23.若（a+b）²=25，（a-b）²=9，则ab等于_。