变速问题

一、 方法与技巧：

1、 变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题

等解题方法。

2、 对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术

方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算。 3、 在解决行程问题时，一定要养成画线段图分析问题的习惯。

二、 典型例题：

例1、小红上学，每分钟行60米，需要30分钟，如果速度提高

例2、从A地去B地，每小时行15千米。返回时速度提高B两地的距离是多少千米

例3、小芳从家去学校，如果用每分钟60米的速度走，那么要迟到5分钟；如果他用每分钟90米的速度走，那么要早到4分钟。小芳家到学校的距离是多少米？

1，可以提前几分钟？ 51，结果少用3小时。请问A、5例4、师傅用3.2小时在家和工厂之间往返了一次，去时每小时25千米，返回时减速求他家到工厂相距多少千米

2，5例5、甲乙两车分别从A、B两地出发,相向而行,出发时,甲、乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距多少千米?

例6、甲、乙两地相距60千米，一辆汽车先用每小时12千米的速度行了一段路，然后速度提高

例7、辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，则可提前到达；如果以原来速度行驶100千米后，再将速度提高30%，恰巧也可以提前同样的时间到达。甲、乙两地相距多少千米？

1继续行驶，共用4.4小时到达，请问这辆车出发几小时后开始提速？ 4三、 巩固练习：

1、小明乘车去公园，每小时行45千米，需要3.6小时，如果速度提高少小时到达

2、小芳放学回家，每分钟行75米。原路去上学，每分钟比原来慢小芳家到学校有多少米

1，可以提前多31，结果多用2分钟。5

3、甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有15千米,那么A.B两地相距多少千米?

4、小明从家去上学，如果用每分钟60米的速度走，正好在上课时到校；如果他用每分钟75米的速度走，则可以在上课前10分钟到。求小明家到学校的距离。

5、一辆汽车从A地到B地计划用6小时，以原速行一段路后汽车出现故障减速行驶，后来的速度比原来减少了

6、老李早上8：00从甲地出发去乙地，每小时行12千米，在乙地办事用去1.5小时，为了赶在12：00回家吃午饭，他把速度提高了

2，结果比计划多用1小时到达。请问出发后几小时减速的？ 51，请问甲乙两地相距多少千米 2比的应用

方法与技巧：

1、 比的简单应用：根据题目给出的几个数量之比，找出各个量对应的份额，再根据某

个量所占的份额与题目给出的具体数量条件，可以求出其它部分量或总量。 2、 根据分数与比的关系，可以对分数和比进行互化：在解题过程中，灵活地进行分数

与比的互化，可以更好地找出题中各个数量对应的份额和分率，降低解题的难度，巧妙解题。

3、 在实际生活中，经常会碰到把一个数量按照一定的比例来分成若干份，这种分配的

方法就叫做按比例分配。题中通常会给出各部分数量之间的比和分配的总数量，要求出各部分量是多少；解题时，先要依次求出总数量对应的份额、各部分量占总量的几分之几，再根据分数乘法的意义求出各部分量。

典型例题：

例1、小兰和小红所有的图书比为5 ：3，小兰给小红15本后，两人图书同样多。原来两人各有图书多少本？

例2、一个车间有两个小组，第一小组和第二小组人数比是5 ：3。如果第一小组调14人到第二小组，那么第一小组人数与第二小组人数的比变为1 ：2，两个小组原来各有多少人？

例3、实验小学六年级参加数学竞赛的同学共有88人，已知参赛男生的

3等于参赛女5生的

1，参赛的男生比女生少多少人？ 2

例4、A，B两地相距45千米，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地同时出发，相向而行，

例5、等腰三角形的一个顶角与一个底角的比是5 ：2，它的顶角和底角各是多少？

例6、学校体育室排球与足球个数的比是9 ：10，足球与篮球个数的比是5 ：7。已知篮球与排球共有69个，求篮球比排球多多少个？

3小时后两人相遇。已知甲与乙的速度比是7 ：8，求甲比乙每小时慢多少千米？ 2巩固练习：

1、有一个长方体，长30厘米，长与宽的比是2 ：1，宽与高的比是3 ：2，这个长方体的体积是多少？

2、第一小学六年级学生分三组参加植树活动。第一组和第二组的人数之比是5 ：4，第二组和第三组的人数比是3 ：2。已知第一组人数比第二、三组人数总和少15人，问六年级参加植树的共有多少人？

3、甲、乙两个车间原有人数的比为4 ：3，甲车间调48人到乙车间后，甲、乙两车间的人数比变为2 ：3，甲、乙两车间原来各有多少人？

4、操场上有一群学生在玩游戏，其中男生人数与女生人数的比为3 ：2，后来从教室里又出来6名女生加入，此时男生人数与女生人数的比为5 ：4。求原来有多少名男生，多少名女生？

5、一列火车以每小时50千米的速度从甲地开往乙地，当它行驶到中途某站时，已走完路程比全程的

1多10千米，火车继续行驶2.4小时，这时所行的全部路程与剩下路程的比5是1 ：2。甲、乙两地相距多少千米？

6、大、小两瓶油共重2.7千克，大瓶的油用去0.2千克后，剩下的油与小瓶内油的重量比是3 ：2，求大瓶子里装有多少千克油？

7、有三箱水果共重60千克，如果从第一、二箱中都取出3千克放入第三箱中，则第一、二、三箱水果重量的比是1 ：2 ：3，问三箱水果原来分别重多少千克？

8、甲、乙两人步行的速度比是13 ：11。如果甲、乙分别由A，B两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇。如果它们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？

9、车过河交渡河费3元，马过河交渡河费2元，人过河交渡河费1元，某天过河的车和马的数量比为2 ：9，马和人的数量比为3 ：7，共收945元，这天渡河的车、马和人各是多少？

直线型组合图形的面积（一）

方法与技巧：

4、 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种

一是拼合组合，二是重叠组合。

5、 由于组合图形具有条件相“等”的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解

答组合图形的面积，应该注意以下几点：①切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间概念；②仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；③适当采用增加辅助线等方法帮助接题；④采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。

典型问题

1、已知下面的两个正方形边长分别为6分米和4分米，求图中阴影部分的面积。

2、下图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米）

3、如图，这个长方形的长是9厘米，宽是8厘米，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面

4、三角形EDF的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米，已知长方形ABDC的长和宽分别为6厘米、4厘米，DF的长是多少厘米？

积。

5、一块长方形公园绿地，绿地长24米，宽16米，中间有一条宽为2米的道路，求草地（阴影部分）的面积。

6、三角形ABC的面积是24平方厘米，且DC=2AD，E、F分别是AF、BC的中点，那么阴影部分的面积是多少？

7、三角形ABC的面积是90平方厘米，EF平行于BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙的面积各是多少平方厘米？

8、ABCD是一个长12厘米，宽5厘米的长方形，求阴影部分三角形ACE的面积。

9、正方形乙的边长是8厘米，正方形的甲面积是36平方厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？

10、在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且平行四边形的面积为54平方厘米，求S△BEF。

11、计算下面图形的面积。

12、如图长方形，长18厘米，宽12厘米，AE、AF两条线段把长方形面积三等分，求三角形AEF的面积。

13、在等腰梯形ABCD中，AD=12厘米，高DF=10厘米。三角形CDE的面积是24平方厘米。求梯形面积。

14、正方形边长为12厘米，四边形EFGH面积是6平方厘米，那么阴影面积是多少平方厘米？

15、ABCD是正方形，BE=EC，AB=12厘米，阴影面积是多少？

16、正方形ABCD的边长是12厘米，CE=4厘米。求阴影部分的面积。

流水行船问题

方法与技巧：

6、 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到水流速度影响，在这种情况下

船只的航行速度、时间和所行的路程之间的关系问题，就叫做流水行程问题，也称为流水行船问题。

7、 常用数量关系式为：①顺水速度＝静水速度＋水流速度 ；②逆水速度＝静水速度－

水流速度；③静水速度＝（顺水速度＋逆水速度）÷2 ；④水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2； ⑤顺水行程＝顺水速度×航行时间 ；⑥逆水行程＝逆水速度×航行时间

典型例题

例1、甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

例2、某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？

例3、甲、乙两港相距360千米，一轮船往返两港需35小时，逆流航行比顺流航行多花了5小时.现在有一机帆船，静水中速度是每小时12千米，这机帆船往返两港要多少小时？

例4、静水中客船的速度是每小时25千米，货船的速度是每小时15千米，货船先从某港开出顺水航行，3小时后客船同方向开出。若水流速度为每小时5千米，客船几小时可以追上货船？

例5、某河有相距90千米的上下两个码头，每天定时有甲乙两艘船速相同的客船分别从两码头同时出发相向而行。一天，甲船从上游码头出发时掉下一物，此物浮于水面顺水飘下，2分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时与此物相遇？

例6、一轮船在两码头间航行，顺水航行需3小时，逆水航行要4小时，水速是每小时3千米，两码头间有多少千米？

例7、一艘轮船往返于AB两地之间，由A到B顺水航行，由B到A时逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A到B用了6小时，由B到A所用的时间是由A到B所用时间的1.5倍，求水流速度？

巩固练习：

1、一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒。在同样的风速下逆风跑70米，也用了10秒钟。在无风的时候，他跑100米要用多少秒？

2、静水中，甲乙两船的速度分别是每小时20千米和16千米，两船先后自某港顺水开出乙比甲早出发2小时，若水速是每小时4千米，甲开出后几小时追上乙？

3、一艘轮船在两个码头间航行，顺流需要4小时，逆流需要5小时。已知水流的速度为每小时2千米，求两港之间的距离？

4、某河上下两港相距相距100千米，每天定时有甲、乙两艘船速相同的客轮从两港同时出发相向而行，这天甲从上港出发时放下已知小舢板，小舢板船速是每小时5千米，顺水而下2分钟后，与甲船相距1千米。预计乙船出发后几小时与小舢板相遇？

5、、一只小船逆流而行，一个小壶从船上掉入水中，被发现时，水壶已与船相距3千米。已知小船的速度是每小时6千米，水流速度是每小时2千米。小船掉头后要多长时间追上水壶？

6、甲、乙两码头之间河流长为90千米，A、B两艘客船同时起航。如果相向而行3小时相遇，同向而行15小时甲船追上乙船，求两船在静水中的速度。

7、两个码头相距352千米，一艘船顺流而下，行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时。求水流速度是多少？