福建省莆田第二十四中学2018届高三上学期第二次月考（12月）试
题数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 满足条件
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】 根据子集的定义，可得集合中必定含有的个数为故选B. 2. 若
，则
（ ）
个，所以满足
三个元素，而且集合
的真子集
的集合的个数是（ ）
的集合的个数共个，
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得
，则
，故选C.
3. 一个扇形的弧长与面积的数值都是，这个扇形中心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C
【解析】试题分析：设扇形的最小角的弧度数为，半径为，由题意，得，解
得，即该扇形中心角的弧度数是3；故选C．
考点：1.弧长公式；2.扇形的面积公式． 4. 已知函数
，规定区间，对任意，
，当
时，总有
，
则下列区间可作为的是（ ） A. 【答案】A
【解析】 给定区间，当 由
，解得
或
时，总有，
，函数是增函数，
B.
C.
D.
所以函数 因为函数 所以函数
的定义域为
递减函数，而在
上递增，在
， 在上递减，
， 上递减，在
上递增，
由题意知，函数而5. 设
在区间上单调递增，则，故选A.
的内角，，所对的边分别为，，，若，则的
形状为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B
【解析】 由题意得，因为 由正弦定理得 可得
，所以
， ，所以
，所以三角形为直角三角形，故选B.
，
6. 已知函数，且，又，则函数的图象的一条对称轴是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】 因为函数
，
又，
所以 令 则函数7. 已知A.
，求得
，即
，
，故可取，
的图象的一条对称轴为
， B.
， C.
，故选A.
， D.
，则（ ）
【答案】D
【解析】 因为，所以
， ，
，
根据幂函数的性质，可得 根据指数函数的性质，可得 所以8. 已知函数
，故选D. 的定义域为，当，则
（ ）
时，
；当时，；当时，
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为当 所以当 所以 因为当
时，
， 时，
，所以
，
所以9. 已知函数值范围是（ ） A. 【答案】C 【解析】 函数 所以由 当
时，
，所以
和，，可得
在
在，可得，
上单调递减，在的图象，如图所示， 上总唯一的零点，可得
，即
，故选C.
， 上单调递增，
，
B.
C.
D.
，故选D.
，若对任意的
，
在
上总有唯一的零点，则的取
时，
，
，即周期为，
在坐标系中画出 对任意的可得
10. 已知函数，实数，，满足（），若实数是
的根，那么不等式中不可能成立的是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 因为 因为 所以 因为 即
由于实数是函数 当 当
在
，所以递减，
，且
，
，所以，所以
，
，
中一项为负的，两项为正的，或三项都是负的，
，或
的一个零点， 时，时，
，此时
成立， ，
，此时成立，
综上可得，不成立，故选B. 11. 已知函数角三角形A. C. 【答案】C 【解析】 因为
是锐角
的三个内角， 所以
，
是偶函数，所以，故选C.
在
上减函数， ，得
，
是
上的偶函数，且在区间
上是单调递增的，，，是锐
的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ） B. D.
两边同取余弦函数，可得因为由
在
上单调递增，且，可得
点睛：本题主要考查了抽象函数的应用问题，其中解答中涉及到锐角三角形的内角的正、余弦函数的应用，函数值的大小关系，函数的单调性等只是点的综合运用，着重考查了函数的单调性的应用、奇偶性和锐角三角形中三角函数的大小比较等知识，试题有一定的综合性，属于中档试题.
12. 已知为自然对数的底数，若对任意的
成立，则实数的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
，总存在唯一的
，使得
【答案】B 【解析】 由 所以对任意的 所以 解得
，且，其中
成立，解得，总存在唯一的
，
时，存在两个不同的实数，（舍去）， ，故选B.
，
，使得
成立，
所以实数的取值范围是
点睛：本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到函数的单调性、不等式的性质，方程的有解问题等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把对任意的
，总存在唯一的
，使得
成立是解答的关键.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数【答案】【解析】 因为 所以 由 所以函数14. 已知【答案】. 【解析】 由
，
，即，得.
的定义域为的定义域为，
.
的值为__________．
，即，
，
的定义域为
，则函数
的定义域为__________．
的定义域为
，则
平方可得所以15. 已知函数
，即
.
，其中
，
，若对任意实数，使得关于的方程
至多有两个不同的根，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】 当 因为
时，
至多有两个不同的根，
，
. 时，函数
的图象如下：
，
所以要使得关于的方程 必须 解得
，即
， 所以实数的取值范围是
点睛：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断问题，解答中涉及到绝对值函数和二次函数的图象和性质等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中正确作出分段函数的图象，转化为图象的交点的个数是解答的关键，着重考查了数形结合法思想的应用. 16. 已知函数围是__________． 【答案】【解析】 令
由题意知，存在2个正整数，使 因为 所以当 所以
时，
，
，当，且
时，
，
，
.
， 在直线
的下方，
，若不等式
恰好存在两个正整数解，则实数的取值范
直线 结合图象可知
恒过点，且斜率为， ，解得
.
点睛：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断问题，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数求解函数的极值与最值，以及一次函数的图象与性质等知识点的运用，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中转化为图象的交点的个数是解答的关键，着重考查了数形结合法思想的应用.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知，（1）若函数（2）求函数（3）当
，且
，
，
. 的解析式；
有唯一零点，求函数在区间
上的最大值；
时，不等式
;(2) 当
恒成立，求实数的取值范围. 时，
,当
时，
;(3)
.
【答案】(1) ;
【解析】试题分析：（1）根据题意，列出方程组，即可求解（2）由分离参数，得取值范围. 试题解析： （1）（2）当当
时，时，不等式
，设在区间
成立，即：，
为减函数，
. ，
，
，，当且仅当
，当
时，
设
的值，得到函数的解析式；
，分类讨论即可求解函数的最大值；
，利用函数
的单调性，求解最值，即可求解实数的
在区间函数区间
时，不等式在
上恒成立，因此
中，
18. 在梯形（1）求
.
的长；
（2）求梯形【答案】（1）
的高.
;（2）
.
中，由正弦定理得
，即可求解，解得
中，
的长；
【解析】试题分析：（1）在（2）在
中，由余弦定理得于，则
试题解析： （1）在
中，∵
为梯形
的长，过点作
的高,在直角，即可求得.
，∴
由正弦定理得：，即
在直角即梯形
中，的高为
.
19. 如图所示，将一矩形花坛在
上，且对角线
扩建成一个更大的矩形花坛
米，
米.
，要求点在上，点
过点，已知
（1）要使矩形（2）当
的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？
的长为多少时，矩形花坛
的长的取值范围是
的面积最小？求出最小值.
;(2)
的长为米时，矩形
的面
【答案】（1）
积最小，最小值为平方米．
【解析】试题分析：解：设
的长为
米，则米，
…………………3分
由又
得
或
…………………6分
得
解得：即
的长的取值范围是
（2）矩形花坛的面积为：
…………………11分
当且仅当
即
时，矩形花坛的面积最小为24平方米. …………………12分
考点：考查了函数的实际运用。
点评：通过对于已知中相似的理解，得到所求的面积公式，然后结合实际的背景得到变量的范围， 同时解决均值不等式的思想来求解最值。属于中档题。 20. 在
中，角，，所对的边分别为，，，已知
.
（1）求角的大小；
（2）若三角形的周长为，面积为【答案】（1）
;（2）
，
，且，
.
，求三角形三边长.
【解析】试题分析：（1）由同角三角函数的基本关系式，化简可得
，利用三角形内角和定理，两角和的正切函数公式化简可求
，即可求解角的大小；
（2）由面积公式解得的值. 试题解析： （1）化简：
，由余弦定理可得
，结合已知化简整理可解得
，由余弦定理可得：
，而
，所以，是方程
（2）由面积公式
，可得
的两根，所以
21. 已知函数（1）求函数（2）对任意
的单调区间；
，都有
，代入上式，化简整理可得，
，
.
，其中
，求实数的取值范围. （2）的取值范围是
【答案】（1）函数的定义域为
【解析】试题分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求解函数的单调区间； （2）对于任意
，都有
，转化为
，多次构造函数，求函数
的导数，利用导数研究函数的最值可求函数求实数的取值范围. 试题解析：（1）函数的定义域为函数的导数因为所以当当
时，
在，
时，
，此时上单调递增，在时，由（1）知
，都有，都有
，即
，得
，
，都有在
， 上单调递增，
，
，
在，此时
，函数
，函数在
在
上单调递减，
，
，
上单调递增，
所以函数（2）当
上单调递减. 上单调递减，
， ，
在
上单调递减，
所以对任意的因为对任意的所以所以当当
时，
时，对于任意的
，由（1）得，有，都有
所以对于任意因为对于任意
所以设设则则当
时，
，所以
，则， 在
，即
，
，
上单调递减， ，
此时不等式不成立，
.
综上，所求的取值范围是
点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的运用，解答中转化为函数的最值之间的关系是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力，综合性强，属于中档试题. 22. 设函数（1）求（2）若
.
的单调区间； ，为整数，且当
时，
，求的最大值.
，单调递减区间是
;
【答案】（1）的单调递增区间是
【解析】试题分析：（1）求解函数的导数，分类讨论即可求解函数的单调区间； （2）当解.
试题解析：（1）函数若若所以
，则，则
的定义域为，在上单调递增； ，解得
，
，增区间为
. ，
等价于
， ，
时，
等价于
，令
，求最值，即可求
的单调递减区间是
，所以
（2）由于故当
时，
令而函数所以
在
，则在
，
上单调递增，
在
，
上存在唯一的零点，
上有唯一的零点，故
设此零点为，则当所以又因为所以
时，在
， ，当的最小值为
， ，所以
，
时，
，
，可得
，所整数的最大值为.
点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的运用，解答中转化为导数的应用是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力，综合性强，属于中档试题.