福建省莆田四中2012-2013学年高二第二学期期末考试数学(理)试卷

莆田四中2012-2013学年下学期期末

高二年段数学理科试卷

2013.7.16

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1．已知集合P{0,m},Q{x|2x25x0,xZ}，若PQ，则m等于（ ）

A．1 B．2 C．1或5

22．函数f(x)D．1或2

3x21xlg(3x1)的定义域是（ ）

1111B．(,1) C．(,) D．(,)3 3 33

1 A．(,)

33．下列函数中,既是偶函数又在(,0)上单调递增的是 ( ) A．yx3 B．ycosx C．ylnx D．y1 2x4．从5名学生中选出3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每科1人．若学生甲不能参加物 理竞赛，则不同的参赛方案共有( )

A．24种 B．28种 C．48种 D．72种

5．已知集合A＝{x|x2

6．有下列命题是真命题的是（ ）

A．命题“x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“ x∈R，都有x2+1＜3x”； B．设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“p∧q为真命题”；

C．“复数abia,bR是纯虚数”是“a0”的充分不必要条件； D．已知随机变量N(2，2)，P(≤4)0.84，则P(≤0)0.34； 7．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：

则y关于x的函数关系与下列最接近的函数(其中a、b、c为待定系数)是( )

bA．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝ax2＋b D．ya

x8.设奇函数f(x)在(0,)上是增函数，且f(1)0，则不等式x[f(x)f(x)]0的解集为 ( ) A．{x|1x0,或x1} C．{x|x1,或x1}

B．{x|x1,或0x1} D．{x|1x0,或0x1}

1

12kx,x09. 若函数f(x)x有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是( )

,x0lnxＡ．(4,0) Ｂ．(,0] Ｃ．(4,0] Ｄ．(,0)

10．已知集合A{(x,y)|xn,ynab,nZ},B{(x,y)|xm,y3m212, mZ}。若存

在实数a,b使得AB成立,称点(a,b)为“￡”点，则“￡”点在平面区域

C{(x,y)|x2y2108}内的个数是( )

A． 0 B．1 C．2 D． 无数个

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。 11. 如图，已知幂函数yxa的图象过点P(2,4)，则图中阴影部分的面积等

于 .

x－2

12．已知集合A{x|－10}，在集合A中任取一个元素x ，

3－x

则事件“x∈A∩B”的概率是________．

713．已知奇函数f(x)满足f(x2)f(x),且当x(0,1)时，f(x)2x，则f()2的值为 .

14．已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[－2，2])，函数g(x)＝ax,(a0)，x∈[－2,2]，任

意x1∈[－2,2]，总存在x0∈[－2,2]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是________． 15．给出定义：若m11xm（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作22{x}m，在此基础上给出下列关于函数f(x)xx的四个命题：

1①函数y=f(x)的定义域为R，值域为； 0,2②函数y=f(x)在1,1上是增函数；

22③函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1；

k

（kZ）对称. 2

其中正确命题的序号是_________.

④函数y=f(x)的图象关于直线x

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2

16.（本小题满分13分） 已知函数f(x)ax, x1（1）当a1时，求f(x)在区间2,3上的最值； （2）当a0，讨论f(x)在(1,4)上的单调性.

17.（本小题满分13分）

从集合1,2,3,4,5的所有非空子集中，等可能地取出一个。 ．．．．

（1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率； （2） 记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E

18. (本小题满分13分)

已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线l1：y＝x与抛物线C交于M，N两点，若P(1,1)为MN的中点， （1）求抛物线C的方程；

→·→＝3，则直线（2）某同学研究发现命题：“直线l2与抛物线C相交于A、B两点，若OAOBl2过点(3,0)”是假命题.请你写出此命题的逆命题，判断逆命题的真假，若是假命题，请说明理由；若是真命题,请给予证明.

19. (本小题满分13分)

如右图，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB. （1）求证：BE⊥平面ACD；

（2）当三棱锥D—BCE的体积最大时，求二面角C—DE—A的平面角的余弦值.

3

20.已知函数f(x)ax2bxc，a,b,cR,a0

（1）若f(x)的图像过点0,0和1,3， 且对xR，恒有f(1x)f(1x)，试确定函数f(x)

的解析式；

（2）在（1）的条件下，若函数g(x)和f(x)的图像关于原点对称，且函数F(x)g(x)f(x)

在1,1上是增函数，求实数的取值范围；

（3）定义区间m,n(mn)的“长度” Lnm.若a0,c1,且函数H(x)b2义域和值域的“长度”相等，试求“长度” L的最小值.

f(x)的定

21.本题有(1) (2) (3)三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

5x3xy,已知线性变换：对应的矩阵为T，向量β． 6y2x2y（Ⅰ ）求矩阵T的逆矩阵T1；

（Ⅱ ）若向量α在作用下变为向量β，求向量α．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

x2cos2已知直线的极坐标方程为sin()，圆M的参数方程为（其中为参

42y22sin数）.

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值.

(3)(本小题满分7分) 选修4一5:不等式选讲 已知函数f(x)|x1||x3|.

（Ⅰ）求x的取值范围，使f(x)为常数函数；

（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)a0有解，求实数a的取值范围。

4

莆田四中2012-2013学年下学期高二期末数学理科答案

一、DBDCC CBDDA 二、8 1

6 32 a2 ①③④

三、 16. 解：

(1)法一：当a1时，f(x)即

x11在2,3是单调递减的，f(3)f(x)f(2), x1x133f(x)2，f(3)的值域为,2 22xx1f(x)，f'(x)，在2,3是单调递减0x1x1(x1)233f(x)2，f(3)的值域为,2 22法二：当a1时，f(x)的，f(3)f(x)f(2),即

法三：定义法（略） (2) 法一（定义法）：

当a0时，设1x1x21,1x1x24，则

f(x1)f(x2)ax1ax2a(x2x1)，1x1x21,1x1x24，x11x21(x11)(x21)x2x10,(x11)(x21)0

当a0时，f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(1,1)和(1,4)是单调递减的，

当a0时，f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(1,1)和(1,4)是单调递增的， 法二（求导法）：f'(x)a 2(x1)a 0，f(x)在(1,1)和(1,4)是单调递减的，

(x1)2当a0时， x(1,1)和(1,4)时，有f'(x)当a0时，x(1,1)和(1,4)时，有f'(x)a0，f(x)在(1,1)和(1,4)是单调递增的， 2(x1)17.解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

12345基本事件总数n=C5=31 C5C5C5C5事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4} 事件A包含的基本事件数m=3

m3所以p(A)

n31

5

（2）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5

13C5C5210C5510， p(2)， p(3) 又p(1)3131313131315C545C51p(4)， p(5)

31313131故的分布列为：

 P 1 5 312 3 4 5 1 3110105 313131101055180从而E1+2+3+4+5

3131313131312

18．解：（1）设C: y＝2px,

∵P(1,1)为MN的中点，∴点(2,2)在C上，∴代入得p=1∴C:抛物线y2＝2x

(2)逆命题：“在直线l2与抛物线C相交于A、B两点，若直线l2过点(3,0)，则→OA·→OB＝3”

是真命题.

证明：法一：设l：x＝ty＋3，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6，

→

OA·→OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2

＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3.

→→

∴OA·OB＝3，故为真命题．

法二：讨论斜率，设成点斜式证明。

19.解：（1）证明：AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，

∴AC垂直圆柱的底面，即AC平面BDF， （1分） ∵BE平面BDF，∴BEAC （2分） ∵DE是圆柱上底面的直径，∴BEBD （3分） ∵AC平面ACD，BD平面ACD，且ACBDB （4分） ∴BE⊥平面ACD （5分） （2）解：DE是圆O的直径，∴DBE是直角，DEBF2AB4

设BDx,(0x4),在直角三角形BDE中，BEDE2BD216x20，（6分）

SDBE11x216x22BDBEx16x4， 2242 （8分）

6

当且仅当x16x2，即x22时“”成立， （9分） ∵三棱锥DBCE的体积等于三棱锥CDBE的体积，而三棱锥CDBE的高BC2， ∴三角形BDE的面积最大时，三棱锥的体积也最大，

此时，BDBE22，即三角形BDE是等腰直角三角形 ∴BODE

∵ACDE，∴DE平面AOC 连结CO，AO，

从而有CODE,AODE，∴AOC是二面角CDEA的平面角 在三角形AOC中，AOCBOCAOB 又tanBOCBC21，0BOC，∴BOC

24BO242同理可得AOB，∴AOC

cosAOCcos20，即二面角CDEA的平面角的余弦值为0. （13分）

法二：如果只直观判断出来BODE，后用向量亦可，但要着情给分。

c0a120．解：（1）由已知得abc3，b2，f(x)x22x „„„„„„„„„3分

c0b12a（2）设函数f(x)图像上的任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y)，则x0x,y0y，因Q(x0,y0)在f(x)图像上，所以yx22x，亦即g(x)x22x„„„„„„„„5分 所以F(x)x22x(x22x)在1,1上单调递增，得F'(x)2(1)x2(1)0对任意x1,1恒成立，所以由于x1,1，有

1x对任意x1,1恒成立„„„„„„„„„„„„„7分 1x1x0，所以,0为所求 „„„„„„„„„„„„„„„8分 1x1（3）设方程ax2bx20的两根为x1,x2(x1x2)，又a0，所以函数H(x)的定义域为

bx1,x2，则Lx1x2b24a所以

b24aa2114ab222b，易知H(x)的值域为0,b4a„„„„10分 a21124abb2b2,a4„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

4a 7

b24a故La21b21b2162，所以区间长度L的最小值为2„„„„„„„„14分

42b22313121.（1）解：（Ⅰ）依题意T，所以detT4， 2222114． ----------3分 所以T1213241125114（Ⅱ）由T，得T2． ----------7分 13624即x+4 =0,这就是直线l的方程 „„„„„„„„(7分)

2（2）解:（Ⅰ）sin

422sincos2,sincos1.----------------2分 22所以，该直线的直角坐标方程为：xy10.----------------3分 （Ⅱ）圆M的普通方程为：x2(y2)24----------------4分

圆心M(0,2)到直线xy10的距离d021232所以，圆M上的点到直线的距离的最小值为2.----------------7分

22x2,x3(3)解:（Ⅰ）f(x)x1|x3|4,3x1 „„„．．3分

2x2,x1则当x[3,1]时，f(x)为常函数． „．．4分 （Ⅱ）法一：画图，由（1）得函数f(x)的最小值为4，„．．6分

x1x3x1(x3);法二：：

x1x34,32.---------------5分 2等号当且仅当x[3,1]时成立。得函数f(x)的最小值为4，„„„．．6分 则实数a的取值范围为a4． …．．7分

8