专题04 一次方程（组）及其应用
考向1 一次方程（组）及其解法
【母题来源】（2021·浙江温州）
【母题题文】解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ） A．﹣4x+1＝﹣x
B．﹣4x+2＝﹣x
C．﹣4x﹣1＝x
D．﹣4x﹣2＝x
【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号． 【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x， 去括号得：﹣4x﹣2＝x， 故选：D．
【母题来源】（2021·浙江金华） 【母题题文】 已知
是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 ．
【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：把∴m＝2， 故答案为：2．
【母题来源】（2021·浙江嘉兴）
【母题题文】已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 ． 【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可． 【解答】解：x+3y＝14， x＝14﹣3y， 当y＝1时，x＝11， 则方程的一组整数解为故答案为：
．
代入方程得：3×2+2m＝10，
（答案不唯一）．
【母题来源】（2021·浙江丽水） 【母题题文】 解方程组：
．
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可． 【解答】解：
，
把①代入②得：2y﹣y＝6， 解得：y＝6，
把y＝6代入①得：x＝12， 则方程组的解为
．
【母题来源】（2021·浙江台州） 【母题题文】解方程组：
．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：
，
①+②得：3x＝3，即x＝1， 把x＝1代入①得：y＝2， 则方程组的解为
．
【试题分析】以上中考真题主要考察了一元一次方程与二元一次方程组的解法步骤以及二元一次方程的多解问题；
【命题意图】一次方程（组）的解法是对等式基本性质的熟悉程度的检验，也是后续方程求解的基础，准确掌握一元一次方程以及二元一次方程组的解法，是考生拿到此考点分值的重点；
【命题方向】一次方程（组）的解法在浙江中考中占比不大，分值在0~6分，个别城市几乎不会单独出题，出题也基本在选择或者填空题的前半部分，属于难度较小的一类题。而简答题出题通常放在第17-18题，考生复习过程中，主要熟悉该方程类型中的解法步骤，不在过程上失分即可。 【得分要点】 一．等式的基本性质
等式的概念 等式 的性质 性质1 性质2 等式的传递性
二．一元一次方程及其解法
表示相等关系的式子，叫做等式 如果a=b，那么a±c=b±c 如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么如果a=b，b=c，那么a=c ab(c0) cc1.一元一次方程：只含有1个未知数（元），未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程。 2.解一元一次方程的一般步骤及注意事项： 步骤 名 称 方 法 注 意 事 项 1 去分母 在方程两边同时乘以所有分母的①不含分母的项也要乘以最小公倍数；最小公倍数（即把每个含分母的部②分子是多项式的一定要先用括号括起分和不含分母的部分都乘以所有分来 母的最小公倍数） 去括号法则（可先分配再去括号） 注意正确的去掉括号前带负数的括号 2 3 4 去括号 移项 5 *6 把未知项移到议程的一边（左移项一定要改变符号 边），常数项移到另一边（右边） 分别将未知项的系数相加、常数合并同类项 单独的一个未知数的系数为“±1” 项相加 在方程两边同时除以未知数的系不要颠倒了被除数和除数（未知数的系系数化为“1” 数（即方程两边同时乘以未知数系数作除数——分母） 数的倒数） 方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。 ①若左边＝右边，则x=a是方程的解； 检根x=a ② 若左边≠右边，则x=a不是方程的解。 注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。 ☆：上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解
三．二元一次方程（组）及其解法
1. 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程
☆：①二元一次方程的解必须是两个未知数同时确定的组合，用大括号括起来即可； ②1个二元一次方程的解不唯一，可能有无数个； ③二元一次方程中用一个未知数来表示另一个未知数，依据的是等式的基本性质； 2. 二元一次方程组：由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组 3. 二元一次方程组解法：代入消元法——加减消元法 ☆：代入消元法解题步骤：
①将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；
②用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值； ③把这个未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值； ④写出方程组的解； ☆：加减消元法解题步骤：
①将其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）； ②通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
④将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值； ⑤写出方程组的解；
考向2 一次方程（组）的应用
【母题来源】（2021·浙江杭州）
【母题题文】 某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则（ ） A．60.5（1﹣x）＝25 C．60.5（1+x）＝25
B．25（1﹣x）＝60.5 D．25（1+x）＝60.5
【分析】依题意可知四月份接待游客25万，则五月份接待游客人次为：25（1+x），进而得出答案． 【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为x（x＞0），则 25（1+x）＝60.5． 故选：D．
【母题来源】（2021·浙江宁波）
【母题题文】我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷
子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A．
B．
C． D．
【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据“拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设清酒x斗，醑酒y斗， 依题意得：故选：A．
【母题来源】（2021·浙江绍兴）
【母题题文】我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两．银子共有 两．
【分析】通过设两个未知数，可以列出银子总数相等的二元一次方程组，本题得以解决． 【解答】解：设有x人，银子y两， 由题意得：故答案为46．
【母题来源】（2021·浙江衢州）
【母题题文】《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ） A．C．
B．D．
，解得
，
．
【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：∵五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）， ∴5x+6y＝16，
∵雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重， ∴5x﹣x+y＝6y﹣y+x，即4x+y＝5y+x， ∴故选：A．
【母题来源】（2021·浙江台州）
【母题题文】小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．
（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量； （2）求小华从输液开始到结束所需的时间．
，
【分析】（1）先求出药液流速为5毫升/分钟，再求出输液10分钟的毫升数，用250减去输液10分钟的毫升数即为所求；
（2）可设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，根据输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升，列出方程计算即可求解． 【解答】解：（1）250﹣75÷15×10 ＝250﹣50 ＝200（毫升）．
故输液10分钟时瓶中的药液余量是200毫升；
（2）设小华从输液开始到结束所需的时间为t分钟，依题意有
（t﹣20）＝160，
解得t＝60．
故小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟． 【母题来源】（2021·浙江温州）
【母题题文】某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．
营养品信息表
营养成分 配料表
原料 甲食材 乙食材
规格 A包装 B包装
每包食材含量
1千克 0.25千克
每千克含铁42毫克
每千克含铁 50毫克 10毫克 每包单价 45元 12元
（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？
（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完． ①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【分析】（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可；
（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，根据（1）的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可； ②设A为m包，则B为
包，根据“A的数量不低于B的数量”求出m的取值范围；设总利润为
W元，根据题意求出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元， 由题意得解得a＝20，
经检验，a＝20是所列方程的根，且符合题意， ∴2a＝40（元），
答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元； （2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
，
由题意得，解得，
答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克； ②设A为m包，则B为∵A的数量不低于B的数量， ∴m≥2000﹣4m， ∴m≥400，
设总利润为W元，根据题意得：
W＝45m+12（2000﹣4m）﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000， ∵k＝﹣3＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝400时，W的最大值为2800，
答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．
＝（2000﹣4m）包，
【试题分析】这些题都考了在实际问题中一元一次方程或二元一次方程组的应用；
【命题意图】中考中对一次方程（组）的应用，旨在考察考生对列方程（组）解应用题的一般方法步骤，单独出题时难度都不大，找准等量关系，结合其一般方法步骤即可解决；
【命题方向】一元一次方程或者二元一次方程组的应用在浙江中考中占比不大，单独出题时考题主要以选择或者填空题出题，综合出题时可和一元一次不等式或者函数等知识点结合，此时方程应用部分的难度一般不大；故在该考点的中考复习中，一是要熟悉其解题步骤，二是要注意步骤之外的关系转化，如行程问题中的单位统一等； 【得分要点】
列方程解应用题的一般步骤：
步骤 “审”（即审题） “设”（即设未知数） “点睛” “审”题目中的已知量、未知量、基本关系； 一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较大的量 “列”【即列方程（组）】 找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程 “解”【即解方程（组）】 根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答中体现 “验”（即检验） 检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题意 “答”（即写出答案）
最后的综上所述
1.（2021•宁波模拟）我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为（ ） A．C．
B．D．
【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组即可．
【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：故选：A．
2.（2021•滨江区三模）以方程组A．第一象限
B．第二象限
的解为坐标，点（x，y）在（ ）
C．第三象限
D．第四象限
．
【分析】此题可解出的x、y的值，然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内． 【解答】解：①+②得，2y＝1， 解得，y＝．
把y＝代入①得，＝﹣x+2， 解得x＝．
∵＞0，＞0，根据各象限内点的坐标特点可知， 点（x，y）在平面直角坐标系中的第一象限． 故选：A．
，
3.（2021•丽水模拟）某学校组织师生去衢州市中小学素质教育实践学校研学．已知此次共有n名师生乘坐m辆客车前往目的地，若每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车．以下四个方程：①40m+15＝45（m﹣1）；②40m﹣15＝45（m﹣1）；③
．其中正确的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
＝
﹣1；④
【分析】根据题意“每辆客车坐40人，则还有15人没有上车；若每辆客车坐45人，则刚好空出一辆客车”，列出方程求出答案． 【解答】解：由题意可得： 40m+15＝45（m﹣1）；故①正确；
＝故选：B．
4.（2021•宁波模拟）我国民间流传的数学名题：“只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（1斤等于10两）”，其大意是：听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？设有x个人，共分y两银子，根据题意，可列方程组为（ ） A．C．
B．D．
+1，故④正确．
【分析】根据“每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得：故选：D．
5.（2021•金华六校联考）“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是 元．
【分析】设该书包的进价为x元，根据售价×80%﹣进价＝进价×利润率列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设该书包的进价为x元， 根据题意得：130×80%﹣x＝30%x， 整理得：1.3x＝104，
．
解得：x＝80，
则该书包的进价是80元． 故答案为：80．
6.（2021•南浔区模拟）《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问一牛一羊共直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问一头牛和一只羊共值金多少两？”根据题意可得，一头牛和一只羊共值金 两．
【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到两个等量关系，即可列出方程组．
【解答】解：设l头牛值金x两，1只羊值金y两， 由题意可得，
，
．
上述两式相加可得，x+y＝故答案为：
．
7.（2021•浙江丽水）解方程：．
【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤进行计算求解． 【解答】解：
，
去分母，得：2（3x﹣1）＝6﹣（4x﹣1）， 去括号，得：6x﹣2＝6﹣4x+1， 移项，得：6x+4x＝6+1+2， 合并同类项，得：10x＝9， 系数化1，得：x＝
．
8.（2021•温岭市一模）某水果量贩店出售一批菠萝蜜，分两种销售方式：
销售方式 整个（没剥好）
单价 6元/kg
促销
备注
总价不足50元优惠3元；满50元优惠6元； 整个菠萝蜜可剥
没有优惠
果肉约占30%．
菠萝蜜果肉（剥好） 18元/kg
小李买了一整个菠萝蜜，却发现两种销售方式中果肉的单价相同，则这个菠萝蜜的重量为 kg． 【分析】设菠萝蜜的重量为x千克，则可剥出果肉0.3千克，分情况讨论列出方程，求解即可． 【解答】解：设菠萝蜜的重量为x千克，则可剥出果肉0.3千克，
当6x＜50，即x＜时，
根据题意可得：6x﹣3＝0.3x×18， 解得：x＝5， 当6x≥50，即x≥
时，
根据题意可得：6x﹣6＝0.3x×18， 解得：x＝10，
∴这个菠萝蜜的重量为5千克或10千克， 故答案为：5或10．
9.（2021•绍兴市五校模考）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？ 【分析】（1）利用二元一次方程组解决问题；
（2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值．
【解答】解：（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得
解这个方程组得：
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8﹣a）台，根据题意得
解这个不等式组得
∵a为正整数
∴a的取值为2，3，4，
∴该公司有3种购买方案，分别是 购买甲型机器人2台，乙型机器人6台 购买甲型机器人3台，乙型机器人5台 购买甲型机器人4台，乙型机器人4台
设该公司的购买费用为w万元，则w＝6a+4（8﹣a）＝2a+32 ∵k＝2＞0
∴w随a的增大而增大
当a＝2时，w最小，w最小＝2×2+32＝36（万元）
∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
10.（2021•乐清市一模）某物流公司现有货物67吨，计划同时租用A型和B型两种车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．已知用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货13吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货21吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）若现租x辆A型车和y辆B型车，且两种车辆总数不超过20辆． ①求y关于x的函数表达式． ②求该物流公司有几种租车方案．
【分析】（1）设1辆A型车装满货物一次可运货m吨，1辆B型车装满货物一次可运货n吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货13吨；用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货21吨”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①由租用的两种车一次可运送67吨货物，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后即可得出y关于x的函数表达式；
②由①的结论，x+y≤20及x，y均为正整数，即可得出各租车方案．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货m吨，1辆B型车装满货物一次可运货n吨， 依题意得：解得：
．
，
答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货5吨． （2）①依题意得：3x+5y＝67， ∴y关于x的函数表达式为y＝
．
②∵3x+5y＝67，x+y≤20，且x，y均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司有3种租车方案， 方案1：租4辆A型车，11辆B型车； 方案2：租9辆A型车，8辆B型车； 方案3：租14辆A型车，5辆B型车．