第1讲 不等式、含有绝对值的不等式
基础巩固题组 (建议用时：50分钟)
一、填空题
1．不等式|2x－1|＜3的解集为________．
解析 |2x－1|＜3⇔－3＜2x－1＜3⇔－1＜x＜2. 答案 (－1，2)
2．不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为________． 解析 法一 原不等式即为|2x－1|＜|x－2|， ∴4x2－4x＋1＜x2－4x＋4，∴3x2＜3，∴－1＜x＜1. 法二 原不等式等价于不等式组
1＜x＜2，x≥2，
①或②2或 2x－1－（x－2）＜02x－1＋（x－2）＜01x≤，③2 －（2x－1）＋（x－2）＜0.
11不等式组①无解，由②得2＜x＜1，由③得－1＜x≤2. 综上得－1＜x＜1，所以原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 答案 {x|－1＜x＜1}
3．不等式|x＋2|－|x|≤1的解集为________．
解析 ①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式恒成立． ②当－2＜x＜0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1，
11
∴2x≤－1，∴x≤－2，∴－2＜x≤－2.
③当x≥0时，原不等式可化为x＋2－x≤1，不成立．
1
综上，原不等式的解集为xx≤－2.
答案
1
xx≤－
2
4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为________．
解析 由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4， 即
－4＋b4＋b＜x＜33，
∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则 －4＋b0≤3＜1，4≤b＜7，
⇒∴5＜b＜7. 4＋b
5＜b≤8，
3＜3≤4答案 (5，7)
5．(2013·江西卷)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1(x∈R)的解集是________． 解析 由||x－2|－1|≤1，得－1≤|x－2|－1≤1，即0≤|x－2|≤2，∴－2≤x－2≤2，∴0≤x≤4. 答案 {x|0≤x≤4}
6．不等式|x＋1|－|x－2|＞k的解集为R，则实数k的取值范围是________． 解析 法一 根据绝对值的几何意义，设数x，－1，2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB＞k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.
故当k＜－3时，原不等式恒成立． 法二 令y＝|x＋1|－|x－2|，
－3，x≤－1，
则y＝2x－1，－1＜x＜2，要使|x＋1|－|x－2|＞k恒成立，从图象中可以看出，
3，x≥2，
只要k＜－3即可．故k＜－3满足题意． 答案 (－∞，－3)
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝
－2x＋1（x≤－1），3 （－1＜x＜2）， 2x－1 （x≥2），
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解， ∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3. 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)
1
8．(2014·重庆卷)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a＋2a＋2对任意实数x恒成立，则实
2
数a的取值范围是________． 解析 法一 设y＝|2x－1|＋|x＋2|
－x＋3， －22， ＝1
3x＋1， x≥2，115∴当x＝2时，y取最小值3×2＋1＝2， 51
∴|2x－1|＋|x＋2|≥2≥a2＋2a＋2， 1
即2a2＋a－1≤0，∴－1≤a≤2.
11
法二 |2x－1|＋|x＋2|＝|x－2|＋|x－2|＋|x＋2|
115
≥0＋x－2－（x＋2）＝2，当且仅当x＝2时取等号，因此函数y＝|2x－1|
551212
＋|x＋2|的最小值是2.所以a＋2a＋2≤2，即2a＋a－1≤0，解得－1≤a≤2，1
即实数a的取值范围是－1，2.
1
答案 －1，2
9．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则
－3x－1， x≤－2，
甲是乙的________条件．
解析 |a－b|＝|a－1＋1－b|≤|a－1|＋|b－1|＜2h，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件． 答案 必要不充分 二、解答题
10．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值．
1
解 (1)法一 令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－2，x＝4.原不等式可化为： 11x＜－－≤x＜4x≥4，2或2或
x＋5＞2.－x－5＞23x－3＞2
5
∴原不等式的解集为xx＜－7，或x＞3.
法二 f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝1
3x－3－2≤x＜4
x＋5（x≥4）
画出f(x)的图象
5
求得y＝2与f(x)图象的交点为(－7，2)，3，2.
由图象知f(x)＞2
5
的解集为xx＜－7，或x＞3.
1
－x－5x＜－2
9
(2)由(1)的法二知：f(x)min＝－2. 11．(2014·辽宁卷)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N. (1)求M；
1(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤4. 3x－3，x∈[1，＋∞），
(1)解 f(x)＝
1－x，x∈（－∞，1）
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当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤3，故1≤x≤3； 当x<1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x<1. 4
所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤3}．
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(2)证明 由g(x)＝16x－8x＋1≤4得16x－4≤4，解得－4≤x≤4.
2
因此故
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N＝x|－4≤x≤4，
3x|0≤x≤M∩N＝4.
当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是
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xf(x)＋x·[f(x)]＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝4－x－2≤4.
2
2
12．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 解 (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，
－2x，x＜－1，
f(x)＝2，－1≤x≤1，
2x，x＞1.
作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象． 由图象可知，不等式f(x)≥3的解集为
33xx≤－，或x≥.
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(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|， 不满足题设条件；
－2x＋a＋1，x≤a，
若a＜1，f(x)＝1－a，a＜x＜1，
2x－（a＋1），x≥1，
f(x)的最小值为1－a；
－2x＋a＋1，x≤1，
若a＞1，f(x)＝a－1，1＜x＜a，
2x－（a＋1），x≥a，
f(x)的最小值为a－1.
∴对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2， ∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．