海南省文昌中学2015届高三下学期5月段考数学试卷(文科)

海南省文昌中学2015届高三下学期5月段考数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）

1．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁UN=﹛2，4﹜，则N=（） A． {1，2，3} B． {1，3，5} C． {1，4，5} D．{2，3，4}

2．已知a、b分别为直线y=x+1的斜率与纵截距，复数z=应的点到原点的距离为（） A． 1 B． 2

*

在复平面上对

C． 4 D．

3．已知点An（n，an）（n∈N）都在函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）的图象上，则a2+a10与

2a6的大小关系为（） A． a2+a10＞2a6 B． a2+a10＜2a6 C． a2+a10=2a6 D． a2+a10与2a6的大小与a有关

4．下列命题正确的是（） A． 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B． 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C． 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D． 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

5．设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a4”是“数列{an}是递增数列”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

6．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） （锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）

A． 3

7．已知双曲线C：

B． 2

C．

D．1

=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，

则△PF1F2的面积等于（）

A． 24

B． 36

C． 48 D．96

）的部分图象如图所示，如果x1、

8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜x2∈

，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）

A．

9．设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x+px+1=0有实数根的概率为（） A．

B．

C．

D．

2

B． C． D．1

10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（） A． 50，0 B． 30，20 C． 20，30 D．0，50

11．已知a为常数，若曲线y=ax+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（） A． [﹣，+∞）

12．已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得最小值为（）

2

B． （﹣∞，﹣] C． [﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]

，则的

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

13．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．

14．已知向量=为 󰀀．

15．设函数

方程f（x）=x的解的个数为．

16．已知等比数列{an}满足an+1+an=9•2，n∈N，设数列{an}的前n项和为Sn．若不等式Sn

*

＞kan﹣2对一切n∈N恒成立，则实数k的取值范围是．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在△ABC中，

，tan（A+B）=7，

．

n﹣1

*

，=（x，1），其中x＞0，若（﹣2）∥（2+），则x的值

若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

18．某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周

岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？

附表及公示

2

P（K≥k） k K=

2

0.100 2.706 0.050 3.841

．

0.010 6.635 0.001 10.828

19．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=90°，P、Q分别为DE、AB的中点．

（1）求证：PQ∥平面ACD； （2）求几何体B﹣ADE的体积．

20．已知椭圆

的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点

．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形

AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

21．设函数f（x）=

﹣lnx，其中a=1为大于零的常数．

（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范围．

选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）

22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）证明：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=4，AE=2，求CD．

选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分） 23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程是 ＜π），射线θ=φ，θ=φ+（1）求证：|OB|+|OC|=（2）当φ=

，θ=φ﹣|OA|；

（t为参数，0≤α

（与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．

时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．

选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分） 24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x+a|

（1）a=﹣3时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．

海南省文昌中学2015届高三下学期5月段考数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的代号，涂在答题卡上）

1．设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩∁UN=﹛2，4﹜，则N=（） A． {1，2，3} B． {1，3，5} C． {1，4，5} D．{2，3，4}

考点： 交、并、补集的混合运算．

分析： 利用集合间的关系，画出两个集合的韦恩图，结合韦恩图求出集合N．

解答： 解：∵全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩CuN=﹛2，4﹜， ∴集合M，N对应的韦恩图为 所以N={1，3，5} 故选B

点评： 本题考查在研究集合间的关系时，韦恩图是常借用的工具．考查数形结合的数学思想方法．

2．已知a、b分别为直线y=x+1的斜率与纵截距，复数z=

应的点到原点的距离为（） A． 1 B． 2 C． 4 D．

考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 通过直线y=x+1可知a=b=1，进而化简可知z=﹣2i，即得结论． 解答： 解：∵a、b分别为直线y=x+1的斜率与纵截距， ∴a=b=1，

在复平面上对

∴z=====﹣2i，

∴复数z=在复平面上对应的点为（0，﹣2），

∴所求距离为2，

故选：B．

点评： 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．

3．已知点An（n，an）（n∈N）都在函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）的图象上，则a2+a10与2a6的大小关系为（） A． a2+a10＞2a6 B． a2+a10＜2a6 C． a2+a10=2a6 D． a2+a10与2a6的大小与a有关

考点： 对数函数的图像与性质．

*

专题： 函数的性质及应用．

分析： 由已知结合对数的运算性质，可得a2+a10=loga20，2a6=loga36，再由对数函数的图象和性质，可判断其大小．

*

解答： 解：∵点An（n，an）（n∈N）都在函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）的图象上， ∴an=logan，

∴a2+a10=loga2+loga10=loga20， 2a6=2loga6=loga36，

当0＜a＜1时，loga36＜loga20，即a2+a10＞2a6， 当a＞1时，loga36＞loga20，即a2+a10＜2a6， 故a2+a10与2a6的大小与a有关， 故选：D

点评： 本题考查的知识点是对数的运算性质，对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．

4．下列命题正确的是（） A． 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B． 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C． 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D． 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

考点： 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题： 简易逻辑．

分析： 利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．

解答： 解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误； C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；

D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D． 故选C．

点评： 本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．

5．设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a4”是“数列{an}是递增数列”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质． 专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 利用{an}是等比数列，结合充要条件的判断方法，即可得出结论． 解答： 解：∵{an}是等比数列，

∴由“a1＜a2＜a4”可得，公比可为负数，数列{an}可以是递增数列，故充分性不成立． 若数列{an}是递增数列，则一定有a1＜a2＜a4，故必要性成立． 综上，“a1＜a2＜a4”是“数列{an}是递增数列”的必要不充分条件， 故选：B．

点评： 本题考查充分条件、必要条件的定义，递增数列的定义，判断充分性是解题的难点，属于中档题．

6．某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） （锥体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高）

A． 3 B． 2 C． D．1

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题；空间位置关系与距离．

分析： 根据三棱锥的俯视图与侧视图判定三棱锥的一个侧面与底面垂直，判断三棱锥的高与底面三角形的形状及边长，把数据代入棱锥的体积公式计算．

解答： 解：由三棱锥的俯视图与侧视图知：三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为， 底面为等边三角形，边长为2，

∴三棱锥的体积V=××2×故选：D．

×=1．

点评： 本题考查了由三棱锥的侧视图与俯视图求体积，判断三棱锥的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键．

7．已知双曲线C：

=1的左右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，

则△PF1F2的面积等于（）

A． 24 C． 48 D．96

考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题；压轴题．

分析： 先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的额性质求得||PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．

B． 36

解答： 解：∵双曲线

∴F1（﹣5，0），F2（5，0）

∵|PF2|=|F1F2|，

∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16

作PF1边上的高AF2，则AF1=8， ∴

∴△PF1F2的面积为故选C．

中a=3，b=4，c=5，

点评： 此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．

8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜x2∈

）的部分图象如图所示，如果x1、

，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）等于（）

A． B． C． D．1

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．

分析： 通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，

得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可． 解答： 解：由图观察可知，T=2×（∴ω=

=2，

，0），

+

）=π，

∵函数的图象经过（﹣∴可得：0=sin（﹣∵|φ|＜

，

，

+φ），

∴可解得：φ=

∴f（x）=sin（2x+∴f（x1+x2）=sin

），x1+x2=2×=

．

=，

故选：C．

点评： 本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力，属于中档题．

9．设p在[0，5]上随机地取值，则关于x的方程x+px+1=0有实数根的概率为（） A．

B．

C．

D．

2

考点： 几何概型． 专题： 概率与统计．

分析： 由题意知方程的判别式大于等于零求出p的范围，再判断出所求的事件符合几何概型，再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率．

解答： 解：若方程x+px+1=0有实根，则△=p﹣4≥0， 解得，p≥2或 p≤﹣2；

∵记事件A：“P在[0，5]上随机地取值，关于x的方程x+px+1=0有实数根”，

2

由方程x+px+1=0有实根符合几何概型， ∴P（A）=

=．

2

22

故选C．

点评： 本题考查了求几何概型下的随机事件的概率，即求出所有实验结果构成区域的长度和所求事件构成区域的长度，再求比值．

10．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（） A． 50，0 B． 30，20 C． 20，30 D．0，50

考点： 函数最值的应用． 专题： 计算题．

分析： 设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元，然后根据题意建立关于x与y的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的x和y的值即可．

解答： 解：设种植黄瓜和韭菜的种植面积分别为x，y亩，种植总利润为z万元．

由题意可知

一年的种植总利润为z=0.55×4x+0.3×6y﹣1.2x﹣0.9y=x+0.9y 作出约束条件如下图阴影部分，

平移直线x+0.9y=0，当过点A（30，20）时，一年的种植总利润为z取最大值． 故选B．

点评： 本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于基础题．

11．已知a为常数，若曲线y=ax+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线，则实数a的取值范围是（） A． [﹣，+∞）

B． （﹣∞，﹣]

C． [﹣1，+∞）

D．（﹣∞，﹣1]

2

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用；直线与圆．

分析： 根据题意，曲线y=ax+3x﹣lnx存在与直线x+y﹣1=0垂直的切线，转化为f′（x）=1有正根，分离参数，求最值，即可得到结论．

2

解答： 解：令y=f（x）=ax+3x﹣lnx，

由题意，x+y﹣1=0斜率是﹣1，则与直线x+y﹣1=0垂直的切线的斜率是1， ∴f′（x）=1有解

∵函数的定义域为{x|x＞0}， ∴f′（x）=1有正根，

2

∵f（x）=ax+3x﹣lnx， ∴f′（x）=2ax+3﹣=1有正根 ∴2ax+2x﹣1=0有正根 ∴2a=

﹣=（﹣1）﹣1

2

2

2

∴2a≥﹣1， ∴a≥﹣．

故选A．

点评： 本题考查导数知识的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，属于中档题．

12．已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得最小值为（） A．

B．

C．

D．

，则

的

考点： 等比数列的性质．

专题： 综合题；等差数列与等比数列．

分析： 根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项am，an使得n之间的关系，结合基本不等式得到最小值． 解答： 解：设等比数列的公比为q（q＞0），则 ∵a7=a6+2a5，

2

∴a5q=a5q+2a5， 2

∴q﹣q﹣2=0， ∴q=2，

∵存在两项am，an使得∴aman=16a1， m+n﹣2∴q=16， ∴m+n=6 ∴

=（m+n）（

=

）=（10+；m=2，n=4时，，

）

=

．

2

，写出m，

，

m=1，n=5时，∴

的最小值为

故选B．

点评： 本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答卷上）

13．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是10．

考点： 茎叶图；循环结构． 专题： 阅读型．

分析： 根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．

解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数； 根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个 故答案为：10

点评： 本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．

14．已知向量=，=（x，1），其中x＞0，若（﹣2）∥（2+），则x的值

为

󰀀4．

考点： 平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 计算题．

分析： 利用向量的坐标运算求出条件列出方程求出x．

与的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要

解答： 解：由已知

（8﹣2x）（x+1）=（

=（8﹣2x，x﹣2），

， ）（16+x）

=（16+x，x+1），

解得x=4（x＞0）． 故答案为：4

点评： 本题考查向量的坐标运算公式、向量共线的坐标形式的充要条件．

15．设函数

若f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，则关于x的

方程f（x）=x的解的个数为3．

考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 计算题．

分析： 利用条件先求当x≤0时的函数解析式，再求x≤0时f（x）=x的解的个数；最后求当x＞0时方程f（x）=x的解为2．从而得关于x的方程f（x）=x的解的个数为3．

2

解答： 解：当x≤0时f（x）=x+bx+c， 因为f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2，

所以

2

，得：b=4，c=2，

所以当x≤0时f（x）=x+4x+2，

2

方程f（x）=x，即x+3x+2=0，解得两根为：﹣1，﹣2． 当x＞0时方程f（x）=x，即x=2．

则关于x的方程f（x）=x的解的个数为 3． 故答案为：3．

点评： 本题考查分段函数对应方程根的问题，需分段求解，用到了一元二次方程的解法．

16．已知等比数列{an}满足an+1+an=9•2

*

n﹣1

，n∈N，设数列{an}的前n项和为Sn．若不等式Sn

*

＞kan﹣2对一切n∈N恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，）．

考点： 数列的求和．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 利用等比数列{an}满足an+1+an=9•2确定数列的公比与首项、求出an、Sn，再利用不等式Sn＞kan﹣2，分离参数、求最值，进而即可求实数k的取值范围． 解答： 解：设等比数列{an}的公比为q，

n﹣1*

∵an+1+an=9•2，n∈N， ∴当n=1时，有：a2+a1=9， 当n=2时，有：a3+a2=18，

n﹣1

∴q===2，

又∵a2+a1=2a1+a1=9， ∴a1=3， ∴an=3•2

n﹣1

，Sn=

=3•2﹣3，

*

n

∵不等式Sn＞kan﹣2对一切n∈N恒成立，

nn﹣1

即3•2﹣3＞3k•2﹣2， ∴k＜2﹣

≤2﹣

=，

∴k∈（﹣∞，）， 故答案为：（﹣∞，）．

点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．在△ABC中，

，tan（A+B）=7，

．

（Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）求△ABC的面积．

考点： 正弦定理．

专题： 计算题；解三角形．

分析： （Ⅰ）利用三角形的内角和，求解tanC，通过同角三角函数的基本关系式，求解sinC的值；

（Ⅱ）利用A求解sinB，通过正弦定理求解c，然后求解△ABC的面积． 解答： （本小题满分13分） 解：（I）在△ABC中，因为A+B+C=π…

所以tanC=tan[π﹣（A+B）]=﹣tan（A+B）… 因为tan（A+B）=7，所以tanC=﹣7…

又

解得…

因为C∈（0，π）， 所以

…

（II）因为解得

…

，所以

因为C∈（0，π），所以由正弦定理所以

…

，代入得到c=7… =

…

点评： 本题考查三角形的内角和，同角三角函数的基本关系式的应用，正弦定理的应用，考查计算能力．

18．某工厂有25周岁以上（含25周岁）的工人300名，25周岁以下的工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2名，求至少抽到一名25周岁以下的工人的概率．

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”？

附表及公示

2

P（K≥k） k K=

2

0.100 2.706 0.050 3.841

．

0.010 6.635 0.001 10.828

考点： 性检验的应用． 专题： 应用题；概率与统计．

分析： （1）由分层抽样的特点可得样本中有25周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上、下组工人的人数分别为3，2，由古典概型的概率公式可得答案；

（2）由频率分布直方图可得“25周岁以上组”中的生产能手的人数，以及“25周岁以下组”中的生产能手的人数，据此可得2×2列联表，可得k≈1.79，由1.79＜2.706，可得结论． 解答： 解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×25周岁以下组工人100×

=40名，

=60名，

2

所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人）， 25周岁以下组工人有40×0.05=2（人）， 故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共故所求的概率为：

；

=10种，

=7种，

（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），

“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下： 生产能手 非生产能手 合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以可得K=

2

≈1.79，

因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．

点评： 本题考查性检验，涉及频率分布直方图，以及古典概型的概率公式，属中档题．

19．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=90°，P、Q分别为DE、AB的中点．

（1）求证：PQ∥平面ACD； （2）求几何体B﹣ADE的体积．

考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 计算题；证明题．

分析： （1）由OQ是△ABC的中位线，可得OQ∥AC，OQ∥面ACD；由OP是梯形BCDE的中位线，得OP∥CD，OP∥面ACD，由面OPQ∥面ACD，得到 PQ∥平面ACD． （2）D、C两点到 面ABE的距离相等，故VB﹣ADE=VD﹣ABE=VC﹣ABE，故求出VC﹣ABE即为所求．

解答： 解：

（1）证明：取BC的中点O，∵P、Q分别为DE、AB的中点，则OQ是△ABC的中位线，∴OQ∥AC，OQ∥面ACD．

∵EB∥DC，∴OP是梯形BCDE的中位线，∴OP∥CD，OP∥面ACD． 这样，面POQ中，由两条相交直线 OQ、OP都和面ACD 平行，∴面OPQ∥面ACD，∴PQ∥平面ACD．

（2）由EB∥DC 可得DC∥面ABE，故D、C两点到 面ABE的距离相等， ∴B﹣ADE的体积VB﹣ADE=VD﹣ABE=VC﹣ABE． C到AB的距离等于 VC﹣ABE=（•AB•BE）•

=．故几何体B﹣ADE的体积为 ．

=

=

．

点评： 本题考证明查线面平行的方法，求三棱锥的体积，把求B﹣ADE的体积转化为求 VC﹣ABE是解题的难点．

20．已知椭圆

的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经过点

．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形

AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）由椭圆

的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），且经

过点．可得，解得即可；

（II）假设存在符合条件的点M（x0，y0），设直线l的方程为x=my﹣1，与椭圆的方程联立得

到根与系数关系，利用平行四边形的对角线相互垂直的性质可得点M的坐标，代入椭圆方程若有解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），

且经过点．

∴，解得，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x0，y0）， 设直线l的方程为x=my﹣1， 由

2

2

得：（3m+4）y﹣6my﹣9=0，

22

△=36m+36（3m+4）＞0， ∴

∴AB的中点为

，

，

∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：

∴，

4

2

把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m﹣24m﹣80=0 解得

，

．

∴存在符合条件的直线l的方程为：

点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根

与系数的关系、平行四边形的性质、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．

21．设函数f（x）=

﹣lnx，其中a=1为大于零的常数．

（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的综合应用．

分析： （1）将a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间； （2）先求出函数的导数，问题转化为求函数f（x）在[1，2]上的最小值f（x）min＞2，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，得到关于函数最小值的解析式，求出a的值即可．

解答： 解：（1）当a=1时，f′（x）=x﹣=，

令f′（x）＞0，得，x＞1，令f′（x）＜0，得0＜x＜1， 故函数，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）， 从而f（x）在（0，+∞）的极小值为f（1）=，f（x）无极大值．

（2）f′（x）=x﹣=（x＞0），

f（x）在[1，2]上恒成立⇔f（x）在[1，2]上的最小值f（x）min＞2， ∵a＞0，∴令f′（x）=0，解得：x=；

①当0＜≤1，即0＜a≤1时，函数f（x）在[1，2]上递增， f（x）的最小值是f（1）=＞2，解得：0＜a＜，

②当

．

．

③当1＜

＜2，即1＜a＜4时，函数f（x）在[1，

]递减，在[，2]递增，

所以f（x）的最小值是f（

）=﹣lna＞2，无解；

综上，所求a的取值范围为（0，）．

点评： 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．

选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）

22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）证明：AE是⊙O的切线； （2）如果AB=4，AE=2，求CD．

考点： 与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定． 专题： 选作题；立体几何．

分析： （1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，证明OA∥CE，利用AE⊥CE，可得AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；

（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，求出∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，可得DE=AEtan30°，利用切割线定理，可得结论．

解答： （1）证明：连结OA，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA， 又∠ODA=∠ADE，所以∠ADE=∠OAD，所以OA∥CE． 因为AE⊥CE，所以OA⊥AE． 所以AE是⊙O的切线．…

（2）解：由（1）可得△ADE∽△BDA，

所以=，即=，则BD=2AD，

所以∠ABD=30°，从而∠DAE=30°， 所以DE=AEtan30°=

2

．

由切割线定理，得AE=ED•EC， 所以4=

（

+CD），所以CD=

．…

点评： 本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及线段长度的求法，要求学生掌握常

见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分） 23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程是 ＜π），射线θ=φ，θ=φ+（1）求证：|OB|+|OC|=（2）当φ=

，θ=φ﹣|OA|；

（t为参数，0≤α

（与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．

时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．

考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 坐标系和参数方程．

分析： （1）由题意可得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+差公式展开可得|OB|+|OC|=

×4cosφ，即可证明．

），|OC|=4cos（φ），利用和

（2）当φ=C

即可得出．

时，B，C．化为直角坐标B，

．可得直线BC的方程，又曲线C2是经过点（m，0），且倾斜角为α的直线，

），|OC|=4cos（φ

|OA|．

），

解答： （1）证明：由题意可得：|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+∴|OB|+|OC|=4cos（φ+∴|OB|+|OC|=（2）解：当φ=C

|OA|． 时，B．

=

（x﹣1），化为y=﹣，C

）+4cos（φ

）=8cosφ×

=

×4cosφ=

．化为直角坐标B，

∴直线BC的方程为：，

曲线C2是经过点（m，0），且倾斜角为α的直线， ∴m=2，tanα=﹣∴m=2，

，解得．

．

点评： 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、和差公式，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题．

选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分） 24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x+a|

（1）a=﹣3时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）＞a恒成立，求实数a的取值范围．

考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： （1）a=﹣3时，由f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≤6，通过对x取值范围的讨论，去掉原不等式中的绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并即可；

（2）利用绝对值不等式的几何意义，可得|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1﹣（2x+a）|=|1﹣a|，从而可求得实数a的取值范围． 解答： 解：（1）∵a=﹣3时，f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≤6，

∴或或

，

解得＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣， 即原不等式的解集为：{x|﹣1≤x≤2}…

（2）∵|2x+1|+|2x+a|≥|2x+1﹣（2x+a）|=|1﹣a|，

∴…

点评： 本题考查绝对值不等式的解法，考查通过分类讨论去掉原不等式中绝对值符号的应用，考查恒成立问题与运算求解能力，属于中档题．