曲线曲面逼近与插值的统一表示

曲线曲面逼近与插值的统一表示

严兰兰，黄

涛

YANLanlan,HUANGTao

东华理工大学理学院，南昌330013

CollegeofScience,EastChinaUniversityofTechnology,Nanchang330013,China

YANLanlan,HUANGTao.Unifiedexpressionofcurvesandsurfacesfromapproximationtointerpolation.Com-puterEngineeringandApplications,2018,54（5）：180-185.

Abstract：Thispaperaimsatrealizingtheconversionfromapproximationtointerpolationusingonemodel.Ablendingfunctionwithoneparameterisconstructedinthepolynomialspace.Acurveonfour-pointpiecewiseschemeisdefinedbasedontheblendingfunction.Thenewcurvecanbeconsideredasalinearcombinationofanapproximationcurveandaninterpolationcurvewhicharedefinedbythesamesetofcontrolpoints.TheapproximationcurveisthecubicB-splinecurve.Theinterpolationcurvepassesthroughthecontrolpointsexceptthefirstandthelastone.ThecurveisC2continuouswithuniformparametersegmentationandcanreachC3continuitywhentakingspecialparameter.Intheprocessofparameterchange,thepositionofthestartingpointandendpointofeachcurvesegmentchange,whilethefirstandsecondderivativeatthesepointsalwaysremainthesameasthecubicB-splinecurve.Theshapeofacurveiscloselyrelatedwiththeendpointconditions,andB-splinecurvehasgoodshapepreservingproperty.Thesefactorsmakethecurvecanalwayskeepwellthecharacteristicofthecontrolpolygonintheprocessofshapechange.Byadoptingthemethodoftensorproduct,thecurveisextendedtosurface.Thecurveandsurfacelegendshowstheeffectivenessofthemethodinmodelingdesign.Keywords：curveandsurfacedesign;B-splinemethod;approximationandinterpolation;piecewisecombination;shapeparameter摘

要：为了用一种模型实现从逼近到插值的转换，在多项式空间上构造了含一个参数的调配函数，由之定义了基

于4点分段的曲线，该曲线可以理解为由相同的一组控制顶点定义的逼近曲线和插值曲线的线性组合，其中的逼近曲线为3次均匀B样条曲线，插值曲线经过除首末点以外的所有控制点。在均匀参数分割下，曲线具有C2连续性，取特殊参数时可达C3连续。在参数变化过程中，曲线各段起点、终点的位置发生改变，但这些点处的一阶、二阶导矢始终保持不变，即始终与3次B样条曲线相同。曲线形状与端点条件密切相关，而B样条曲线具有良好的保形性，这些综合因素使得曲线在形状变化的过程中始终可以较好地保持控制多边形的特征。采用张量积方法将曲线推广至曲面，曲线曲面图例显示了该方法在造型设计中的有效性。

关键词：曲线曲面设计；B样条方法；逼近与插值；分段组合；形状参数文献标志码：A

中图分类号：TP391

doi：10.3778/j.issn.1002-8331.1608-0417

1引言性质的缺点，解决了Bézier方法在描述复杂形状时面临在当前的CAD/CAM系统中，B样条曲线曲面已成

的拼接问题。虽然集众多优点于一身，但在工程应用为几何造型的核心部分[1]。B样条方法具有表示与设计中，B样条方法依然表现出一些不足和不便之处。例自由型曲线曲面的强大功能，是目前最广泛流行的形状如，当控制顶点和节点向量固定时，B样条曲线曲面的数学描述方法之一。B样条方法兼具了Bézier方法的一形状便随之唯一确定。若形状不满意需要调整，只能依切优点，克服了Bézier方法由于整体表示而不具备局部

靠修改控制顶点的方式。然而这种做法不仅使用不方

基金项目：国家自然科学基金（No.11261003）；江西省自然科学基金（No.20161BAB211028）；江西省教育厅科技项目（No.GJJ14493）。作者简介：严兰兰（1982—），女，博士，副教授，研究方向为计算机辅助几何设计。收稿日期：2016-08-23

修回日期：2016-11-28

文章编号：1002-8331（2018）05-0180-06

CNKI网络优先出版：2017-03-13,http://kns.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20170313.1714.034.html

严兰兰，黄涛：曲线曲面逼近与插值的统一表示2018，54（5）181

便，而且当控制顶点是取自实物的精确点时，该方式略C2连续性，并且插值曲线具备良好的保形性。

显勉强。另外，在取一般的节点向量时，B样条曲线曲为了实现上述目标，本文采用将逼近曲线和插值曲面不经过任何控制顶点。因此在采用B样条方法构造线进行混合的方式来构造新的曲线。若分别对给定点插值曲线曲面时，需解方程组反求控制顶点。

进行逼近或插值，需要采用两套表示方法，与之相比，本与非有理B样条方法相比，有理B样条方法因为引文则给出了逼近与插值的统一表示方法。统一之后的入了权因子，可以在不改变控制顶点的情况下自由调整另一个好处是可以得到逼近与插值之间的若干曲线，供曲线曲面形状，从而克服了B样条方法在形状调整上的设计者选择使用。虽然将曲线混合得到新曲线的方式不足。但有理B样条方法中基函数的有理形式导致了在很多文献中有提及，但本文中被混合的逼近曲线是具其积分、求导等运算的复杂性，而且权因子的选取问题有良好保形性质的3次均匀B样条曲线，插值曲线是精目前仍未得到有效解决[2]。此外，采用有理B样条方法心构造的在端点处具有和3次均匀B样条曲线相同一进行插值，依然存在需要解方程组反求控制顶点的不阶、二阶导矢的曲线，这使得混合后的曲线在端点处也便。鉴于这种现状，不少文献给出了B样条方法的改进始终保持和3次均匀B样条曲线相同的一阶、二阶导方案。

矢，而一阶、二阶导矢对曲线形状起着决定性作用，因此为了增强B样条方法形状调整的灵活性，一些带形混合曲线总是和3次均匀B样条曲线形状相似，从而总状参数的曲线曲面模型纷纷被提出。例如：文献[3]在是可以较好地保持控制多边形的几何特征。若被混合一组2次初始函数的基础上，采用积分递推的方式构造的曲线是随意挑选的，就无法保证混合曲线一定具有较n+1次调配函数，给出了含形状参数的任意n次均匀B

好的保形性，这也是本文方法与已有曲线混合方法的不样条扩展曲线；通过将3次B样条基函数的次数提升至同之处。

4次，文献[4-5]给出了含形状参数的3次均匀B样条扩展曲线。文献[6]利用一个对称的调配函数，并结合权2调配函数及其性质

的思想，在曲线控制顶点处引进调配参数，给出了含形本文目标是构造既具有逼近性又具有插值性，既具

状参数的3次均匀B样条扩展曲线。通过对同一组控有C2连续性又具有良好保形性的曲线。为了实现该目制顶点在不同排序下定义的3次均匀B样条曲线进行标，打算将问题分解，分别给出具有相应性质的逼近曲线性组合，文献[7]给出了以组合系数为形状因子的3次线和插值曲线，然后采用线性组合的方式将二者混合为均匀B样条扩展曲线。通过将定义区间由固定区间最终需要的曲线。将3次均匀B样条曲线选为做组合[0,1]扩展为动态区间[0,α]，文献[8]给出了以定义区间

的逼近曲线，下面借助Hermite插值的基本形式来构造长度为形状参数的3次均匀B样条扩展曲线。

C2连续的插值曲线。

为了避免用B样条方法插值时繁琐的计算，一些可考虑5次Hermite插值曲线段：

以直接插值控制顶点的曲线曲面设计方法被提出。例ri(t)=PiH05(t)+di(1)

H15(t)+di(2)

H25(t)+di(2)

+1H35(t)+

如：文献[9]中给出的C2连续的4次插值样条曲线，文献[10]中给出的高次多项式插值样条曲线，文献[11]中给di(1)

+1H45

(t)+Pi+1H55(t)（1）

出的三角样条插值曲线曲面，文献[12]中给出的代数三其中t∈[0,1]，Hi5(t)(i=0,1,…,5)为5次Hermite插值基角混合插值样条曲线，文献[13]中给出的任意阶连续的函数，Pj为插值数据点，dj(k)

为数据点Pj处的k阶导向对称插值样条曲线，都可以在避免反求控制顶点的情况量，这里j=i,i+1，

k=1,2。插值点处的导向量直接影下实现插值。

响插值曲线段的形状，B样条曲线具有良好的保形性，在上述文献中，有的解决了B样条方法的形状调整由四点Pi-1、Pi、Pi+1、Pi+2定义的3次均匀B样条曲问题，有的解决了B样条方法的插值问题，也有文献综线段qi(t)在端点处的一阶、二阶导向量为：

合两类文献之长，通过构造端点性质特殊的调配函数，r′i(0)=1使得曲线不仅形状可调，而且取特殊参数时可以直接插2(Pi+1-Pi-1),r′i(1)=12(Pi+2-Pi),值控制顶点，如文献[14-17]。在均匀参数化下，文献r″i(0)=Pi-1-2Pi+Pi+1,r″i(1)=Pi-2Pi+1+Pi+2

[14-15]中的插值曲线具有C1

鉴于此，为了保证插值曲线的形状，在式（1）中取：

连续性，文献[16-17]中的插值曲线分别具有C2、C5连续性。注意到文献[15-17]di(1)=12(Pi+1-Pi-1),di(1)

+1=12(Pi+2-Pi),

均定义在非多项式空间上，文献[17]中插值曲线的连续di(2)

=Pi-1-2Pi+Pi+1,di(2)

+1=Pi-2Pi+1+Pi+2

阶虽高，但曲线形状并不理想。考虑到在所有函数类型再将曲线段ri(t)按照Pi-1、Pi、Pi+1、Pi+2进行整理，中多项式函数计算最为简单，而C2连续可以满足工程并记作：

中的大多数需求，因此本文希望构造一种定义在多项式3

空间上集逼近插值于一体的曲线曲面，要求插值时具有

ri(t)=∑Pi+j-1Cj(t)

j=01822018，54（5）ComputerEngineeringandApplications计算机工程与应用

其中

t)

5-j

(j=0,1,…,5)表示成如下形式：

ìïïC0(t)=-1t(1+2t)(1-t)3ìï2ïb0(t;α)=1-αN05(t)+2-5αN5(t)+1-10αN5(t)

ïïC(t)=1-t2ï

6301602ï1-9ïí

2t3+152t4-3t5ï,t∈[0,ï

b1(t;α)=2+3αN05(t)+2+3αN15(t)+17+3010αN25(t)+

ïïC2(t)=12t+12t2+92t3-152t4+3t

51]ï

ïïï5-2αN35(t)+8-5αN45(t)+1-αN5

5(t)ïC3(t)=-1(1-t)(3-2t)t3

í

12306î

2ïb2(t;α)=1-αN05(t)+8-5αN15(t)+5-2αN25ï(t)+称Cj(t)(j=0,1,2,3)为插值函数。

ï63012将3次均匀B样条基函数记作Bï17+10αN35(t)+2+αN45(t)+2+αN5(t)

j(t)(j=0,1,2,3)，将ï

30B10α335j(t)和Cj(t)做线性组合，

记ïî

b3(t;α)=1-6N35(t)+2-305αN45

(t)+1-6αN55(t)

bj(t;α)=(1-α)Bj(t)+αCj(t)（2）

由Bernstein基函数的非负性可知，当α∈[-17其中α∈[0,1]，j=0,1,2,3。经过整理，得到bj(t;α)(j=

10,101]0,1,2,3)的表达式如下：

时，

α函数非负。ìïïb0(t;α)=1(1-t)3(1-α-3αt-6αt2)

ï

63α曲线

ïïïb1(t;α)=2+α-t2+(1-5α)t3+15αt4-3αt53.1

曲线定义及性质

í

323ï定义1给定2维或3维空间中n+1个控制点

ïïb(t;α)=1-α+1t+1t2-(1-5α)t3-15αt4+3αt5（3）2ï62222Pj(j=0,1,…,n)，节点u1ï

ï3

î

b3(t;α)=16t3(1-10α+15αt-6αt2)

pi(t)=∑Pi+j-1bj(t;α)

（6）

其中t∈[0,1]，称b(t)(j=0,1,2,3)为含参数α的5次多j=0j项式调配函数，简称α函数。

为由α函数bj(t;α)(j=0,1,2,3)定义的含参数α的5次直接由定义式（3），可以推出α函数的下列性质。多项式曲线段，简称α曲线段，在式（6）中t∈[0,1]，（1）退化性：当α=0时，

bj(t;α)(j=0,1,2,3)恰为3次i=1,2,…,n-2。所有曲线段构成分段组合曲线：

均匀B样条基函数。

p(u)=pi(u-u（2）对称性：

bΔui

i)（7）

j(t;α)=b3-j(1-t;α)(j=0,1,2,3)。3

其中u∈[ui,ui+1]⊂[u1,un-1]，

Δui=ui+1-ui，i=1,2,…,（3）规范性：∑bj(t;α)=1。

n-2，

称p(u)为α曲线。j=0

（4）端点性质：在定义区间的端点处，有：

由式（2）、（6）可推出：ìpi(t)=(1-α)qi(t)+αri(t)

（8）

ïb0(0;α)=b2(0;α)=1-α,b1(0;α)=2+α,b3(0;α)=0

ï

63其中

ïb1(1;α)=b3(1;α)=1-α,b2(1;α)=2ì3

ï

6+3α,b0(1;α)=0

ïï

qi(t)=∑Pi+j-1Bj(t;α)

ïíj=0íb′0(0;α)=-12,b′2(0;α)=1,b′(0;α)=b′3(0;α)=0

（4）ï

121

ï

)=ï∑3ïri(tPi+j-1Cj(t;α)

î

j=0ï

b1(1;α)=-1,b3(1;α)=,b′0(1;α)=b′2qi(t)和ri(t)分别为由点Pi-1、Pi、Pi+1、Pi+2定义的3

ï

b″(0;α)=b2″2(1;α)=0

ï02(0;α)=1,b″1(0;α)=-2,b″3(0;α)=0îb″1(1;α)=b″3(1;α)=1,b″2(1;α)=-2,b″0(1;α)=0

次均匀B样条曲线段和插值曲线段。因此由式（8）可另外，当α=101时，还有：

知：

α曲线可理解为由相同的一组控制顶点定义的3次均匀B样条曲线和插值曲线的线性组合，这与最初构造

b‴j(0;α)=b‴j(1;α)=0,j=0,1,2,3

（5）

调配函数时的设想一致。当α∈(0,1)时，

α曲线介于3调配函数的非负性是决定曲线凸包性的因素之一，次均匀B样条曲线和插值曲线之间，由于插值曲线必定虽然本文目标是构造集逼近插值于一体的曲线，当曲线位于控制顶点的凸包之外，因此当α在[0,1]的某个子插值时必然要放弃凸包性，但还是希望知道如果只使用区间中取值时，所得曲线也会位于控制点凸包之外，这曲线的逼近性，当α在什么范围中取值时，可以保证曲就是在逼近性的基础上获取插值性的代价。

线的凸包性，为此下面分析α函数的非负性条件。

结合α曲线的定义以及α函数的性质，可以推出αα函数可以用5次Bernstein基函数Nj5(t)=C5jtj

(1-曲线的下列性质。

严兰兰，黄涛：曲线曲面逼近与插值的统一表示2018，54（5）183

（1）凸包性。当α∈[-1710,101]时，α曲线位于控制

（8）形状可调性。由于α函数中含有参数，故在不顶点的凸包之中。

改变控制顶点的情况下，依然可通过改变α的值对α曲（2）几何不变性。由α函数的规范性可知：

α曲线线的形状进行调整（见图1）。

的形状只与控制顶点和参数α的取值有关，而与坐标系的选取无关。

（3）对称性。由α函数的对称性可知：将α曲线的控制点顺序取反，不会改变曲线形状，只会改变曲线走向。

（4）局部性。移动一个控制点，至多改变4条相邻α曲线段的形状。

（5）端点性质。由式（4）~（6）可以推出，对任意的参数α，有：

图1

取不同参数的α曲线

ìïpi(0)=1-αPi-1+2+αPi+2-αiPi+1图1为由相同数据点和不同参数α所确定的α曲ï

636ï线，从下到上依次取α=0,1ï

pi(1)=1-6αPi+2+3αPi+1+1-6αPi+2

2,1。从图中可以看出，随着

ï参数取值的增加，曲线由逼近控制多边形逐渐过渡到插

íp′i(0)=1(P-ï

2i+1

Pi-1)

（9）

值控制顶点，取不同α值时的曲线具有“相似性”。实际ïï

p′i(1)=12(Pi+2-Pi)

上，由式（9）可知，参数α的改变会引起曲线段起止点位ï置的改变，但起止点处的一阶、二阶导矢始终保持不变，ï

p″i(0)=Pi-1-2Pi+Pi+1îp″i(1)=Pi-2Pi+1+Pi+2

这就导致取不同α值时的曲线之间看上去是“平行”的。

注：这里的平行指的是不同曲线上参数相同的点的另外，当α=101时，还有：

切线看上去是平行的。平行的优势体现在曲线设计上，

ìí

p‴i(0)=0îp‴（10）

因为三次均匀B样条曲线具有良好的保形性，因此与之i(1)=0

“平行”的曲线同样可以较好地体现控制多边形的几何（6）插值性。由式（9）可知：当α=1时，有特征，这样一来，不管形状参数取指定范围内的哪个值，pi(0)=Pi，pi(1)=Pi+1，

这表明此时的α曲线段pi(t)插得到的曲线形状总是可以接受的。

值于内控制点Pi与Pi+1，而整条α曲线则顺序插值于3.2曲线设计

除首末点以外的所有控制点。

从图1可以直观看出，

α曲线能反映除首末控制边（7）连续性。由式（9）、（10）可以推出：以外的控制多边形的特征，若希望构造一条能反映整个

pi(k-)

1(1)=pi(k)

(0)

（11）

控制多边形特征的曲线，则可以在首末控制点之外各添其中k=0,1,2，特别的，当α=加一个辅助点，记作P101时，

k=0,1,2,3。又因-1和Pn+1，然后以控制点Pj(j=-1,0,…,n+1)构造α曲线即可。

为对u∈[ui,ui+1]，t=u-uΔui

i

，有：

辅助点P-1和Pn+1的位置决定α曲线首末段的形p(k)(u)=(状，这里以使首末曲线段关于其中点对称为目标来选取Δ1u)k(k)i

pi(t)

辅助点。为此，选择与点P2关于边P0P1的中垂线对称故

的点作为P-1，与点Pn-2关于边Pn-1Pn的中垂线对称ìïp(k)的点作为Pï(ui-)=(1)kp(k-)Δun+1。

i-1i1(1)

íï（12）

图2、图3给出了用α曲线设计的一些图案。图2从ïî

p(k)(ui+)=(Δ1ui)kp(i

k)(0)左至右分别为数字5、数字6、&符号的设计图，图3为企

综合式（11）、（12），可得：p(k)

(ui-)=(ΔΔuuik(k)i-1

)p(ui+)（13）

其中k=0,1,2，当α=101时k=0,1,2,3。式（13）表明：

在一般情况下，α曲线在分段连接点处G2连续，当α=101时则G3连续；若节点等距分布，则分段点处的连

续性为C2或C3。

图2α曲线设计的字符

1842018，54（5）ComputerEngineeringandApplications计算机工程与应用

鹅的设计图。图2、图3中圆点为原始控制点，星形点应参数α=0、α=1为辅助点，蓝色、黑色、红色曲线分别对应参数α=0、2、α=1。

α=12、α=1。4α曲面

采用张量积方法，可以将α曲线推广至四边域曲

面。由于两个参数方向的α函数可以取不同的α值，因此曲面中将包含两个参数。

定义2给定(m+1)×(n+1)个控制点Pij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)∈ℝ3，节点u13

3

pij(r,t)=∑=0∑Pl=0i+k-1,j+l-1bk(r;α1)bl(t;α2)

k图3α曲线设计的企鹅

为由α函数定义的含参数α1和α2的曲面片，简称α曲当控制点Pj=0,1,…,n)形成封闭多边形，即面片。其中局部参数r,t∈[0,1]，

bk(r;α1)和bl(t;α2)分j(P0=Pn时，添加辅助点使Pn+1=P1，Pα函数。所有曲面片构成分片组合n+2=P2，再以控

别含参数α1和α2的制点P曲面：

j(j=0,1,…,n+2)构造α曲线，即可得到封闭且光滑的曲线（见图4）。

p(u,v)=pij(

u-uΔuivi,-vj

Δvj

)其中全局参数u∈[ui,ui+1]⊂[u1,um-1]，Δui=ui+1-ui，i=1,2,…,m-2；v∈[vj,vj+1]⊂[v1,vn-1]，Δvj=vj+1-vj，j=1,2,…,n-2，称p(u,v)为α曲面。

归因于张量积的构造方式，α曲面具有与α曲线类似的性质。例如：当α1=α2=0时，α曲面片为3次均匀B样条曲面片；

α1=α2=1时，α曲面插值于除边界点以外的所有控制点；在一般情况下，

α曲面关于u、v方向图4封闭光滑的α曲线

均G2连续；当α1=α2=101时，关于u、

v方向均G3连续。图4中圆点为原始控制点，星形点为辅助点（与之图5、图6给出了由相同控制网格和不同参数所定

重合的圆点标记被覆盖），蓝色、黑色、红色曲线分别对

义的α曲面。图5中各曲面沿两个参数方向的α值相

图5不同方向取相同参数的α曲面

图6不同方向取不同参数的α曲面

严兰兰，黄涛：曲线曲面逼近与插值的统一表示2018，54（5）185

同，从左至右依次取αi=0、αi=13、αi=23、αi=1，

其中[2]LüYG，WangGZ，YangXN.Uniformhyperbolic

i=1,2。图6中各曲面沿两个参数方向取不同的α值，polynomialB-splinecurves[J].ComputerAidedGeometricDesign，2002，19（6）：379-393.

从左至右依次取α1=12和α2=0、

α1=1和α2=0、α1=0[3]王文涛，汪国昭.带形状参数的均匀B样条[J].计算机辅助

和α设计与图形学学报，2004，16（6）：783-788.

2=12、α1=0和α2=1。从图中可以直观看出，

因为[4]韩旭里，刘圣军.三次均匀B样条曲线的扩展[J].计算机辅

曲面在两个参数方向可以取不同的α值，因此与曲线相

助设计与图形学学报，2003，15（5）：576-582.

比较，曲面的变化更加多样。

[5]HanXL.Piecewisequarticpolynomialcurveswithalocal

shapeparameter[J].JournalofComputationalandApplied5总结

Mathematics，2006，195（1）：34-45.

逼近和插值都属于拟合问题，从拟合精度的角度考

[6]张贵仓，耿紫星.三次均匀B样条曲线的α扩展[J].计算机

虑，在曲线（曲面）从逼近控制多边形（控制网格）到插值辅助设计与图形学学报，2007，19（7）：884-887.

控制顶点的过渡过程中，拟合精度在不断提高，在需要[7]梁锡坤.基于曲线线性组合的3次均匀B样条曲线的拓

构造具有不同拟合精度的曲线曲面时，逼近与插值之间展[J].中国图象图形学报，2011，16（1）：118-123.

的曲线曲面就可以派上用场。这类似于用几何迭代法[8]李军成，刘成志.三次参数曲线的区间扩展[J].浙江大学学

构造插值曲线曲面的过程，迭代的最初是逼近曲线曲报：理学版，2016，43（1）：79-86.

[9]韩旭里，陈仕河，王文涛.C2连续的4次插值样条曲线[J].中

面，当迭代次数n→∞时，迭代的极限状态得到的是插南工业大学学报，2001，32（3）：328-330.

值曲线曲面，取不同迭代次数时得到的曲线具有不同的[10]熊建，郭清伟，朱功勤.可整体或局部的C3，C4连续

拟合精度或者说误差。

的插值曲线[J].数值计算与计算机应用，2011，32（3）：本文以逼近与插值的统一表示为出发点，以曲线在165-173.

形状变化的过程中始终保持良好的形态为目标，通过构[11]李军成，赵东标，杨炼.拟三次三角样条插值曲线与曲面[J].

造性质合适的调配函数，定义出可以从逼近到插值自由小型微型计算机系统，2013，34（3）：680-684.

变换的曲线曲面。对于曲线而言，它可以表示成参数α[12]杨炼，李军成，匡小兰.一类局部可调的三次代数三角插

取0和1时所得结果的线性组合，而α取0时为3次B样值样条[J].计算机工程与科学，2013，35（5）：130-135.条曲线，α取1时为插值曲线，因此当α从0到1自由变[13]ZhangRJ.Uniforminterpolationcurvesandsurfaces

化时，曲线就从逼近控制多边形逐渐变换为插值控制顶basedonafamilyofsymmetricsplines[J].Computer点。该曲线不仅实现了逼近与插值的统一表示，而且由AidedGeometricDesign，2013，30（9）：844-860.于在参数α的变化过程中，曲线的每一段在起止点处的[14]严兰兰，韩旭里，应正卫.集逼近插值于一体的分段3次

一阶、二阶导向量始终保持不变，因此不管α取什么值，多项式曲线曲面[J].计算机应用研究，2015，32（8）：2529-曲线都和3次B样条曲线一样，能够较好地保持控制多2532.

[15]严兰兰，韩旭里.具有多种优点的三角多项式曲线曲面[J].

边形的几何特征，这也是本文方法优于已有的一些含参计算机辅助设计与图形学学报，2015（10）：1971-1979.数的曲线造型方法之处。

[16]YanLL，LiangJF.Aclassofalgebraic-trigonometric

blendedsplines[J].JournalofComputationalandApplied参考文献：

Mathematics，2011，235（1）：1713-1729.

[1]朱心雄.自由曲线曲面造型技术[M].北京：科学出版社，

[17]严兰兰，韩旭里.高阶连续的形状可调三角多项式曲线曲

2000.

面[J].中国图象图形学报，2015，20（3）：2529-2537.