二面角求法总结

二面角求法总结

一、定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1:（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD2，DCSD2，点M在侧棱SC上，ABM=60° （I）证明：M在侧棱SC的中点 （II）求二面角SAMB的大小。

练习1:（山东）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，ABC60,E，F分别是BC, PC的中点. （Ⅰ）证明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为

1

6，求二面角E—AF—C的余弦值. 2

二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

例2．(山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。

（1） 证明：直线EE1//平面FCC1； （2） 求二面角B-FC1-C的余弦值。

练习2（天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60． （Ⅰ）证明AD平面PAB；

（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角PBDA的大小．

2

三、射影面积法（coss射影S）

S射S斜凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos的大小。

例3（北京理）如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，

P

）求出二面角

APBPAB，PCAC．

（Ⅰ）求证：PCAB；

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小；

练习3： 如图，E为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.

四、向量法 1.法向量

A1

A

D1

B1

D B E C1 C A

B

C

3

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。

例4：（天津卷理）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD 1(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小； (II) 证明平面AMD平面CDE； 求二面角A-CD-E的余弦值。

练习4：（湖北）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1. （Ⅰ）求证：ABBC；

（Ⅱ）若直线AC与平面A1BC所成的角为,二面角A1BCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明

4

2.

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