一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是 ； 结论2：DM、MN的位置关系是 ； 拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的
两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又
∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．
2．如图1，在□ABCD中，AB=6，∠B= (60°<≤90°). 点E在BC上，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B与AD上的点F重合，连接EF. (1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)如图2，点M是BC上的动点，连接AM，把线段AM绕点M顺时针旋转得到线段MN，连接FN，求FN的最小值(用含的代数式表示).
sin(【答案】（1）详见解析；（2）FE·【解析】 【分析】
－90°)
(1)由四边形ABCD是平行四边形得AF∥BE，所以∠FAE=∠BEA，由折叠的性质得
∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA,所以∠BAE=∠FEA，故有AB∥FE，因此四边形ABEF是平行四边形，又BE=EF,因此可得结论；
(2)根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明∠ENG＝90°－∠FEN＝【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠FAE=∠BEA，
由折叠的性质得∠BAE=∠FAE，∠BEA=∠FEA, BE=EF， ∴∠BAE=∠FEA， ∴AB∥FE，
∴四边形ABEF是平行四边形， 又BE=EF，
∴四边形ABEF是菱形；
－90°，再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.
，利用菱形的性质得到
（2）①如图1，当点M在线段BE上时，在射线MC上取点G，使MG＝AB，连接GN、EN.
∵∠AMN＝∠B＝，∠AMN+∠2＝∠1+∠B ∴∠1＝∠2
又AM＝NM，AB＝MG ∴△ABM≌△MGN ∴∠B＝∠3，NG＝BM ∵MG＝AB＝BE ∴EG＝AB＝NG
∴∠4=∠ENG= (180°－)＝90°－ 又在菱形ABEF中，AB∥EF ∴∠FEC＝∠B=
∴∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－ )＝
－90°
②如图2，当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取MG＝AB，连接GN、EN.
同理可得：∠FEN＝∠FEC－∠4=－ (90°－综上所述，∠FEN＝
－90°
)＝－90°
∴当点M在BC上运动时，点N在射线EH上运动(如图3) sin(当FN⊥EH时，FN最小，其最小值为FE·【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠FEN＝
－90°，再运用垂线段最短求出FN的最小值.
－90°)
3．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°） （1）当OC∥AB时，旋转角α＝ 度；
发现：（2）线段AC与BD有何数量关系，请仅就图2给出证明． 应用：（3）当A、C、D三点共线时，求BD的长．
拓展：（4）P是线段AB上任意一点，在扇形COD的旋转过程中，请直接写出线段PC的最大值与最小值．
【答案】（1）60或240；(2) AC=BD，理由见解析；（3）最大值=3，PC的最小值=3﹣1． 【解析】
13+1131或；（4）PC的22分析：（1）如图1中，易知当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°．
（2）结论：AC=BD．只要证明△AOC≌△BOD即可． （3）在图3、图4中，分别求解即可．
（4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．
详解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠AOB=∠COD=60°，∴当点D在线段AD和线段AD的延长线上时，OC∥AB，此时旋转角α=60°或240°． 故答案为60或240；
（2）结论：AC=BD，理由如下：
如图2中，∵∠COD=∠AOB=60°，∴∠COA=∠DOB．在△AOC和△BOD中，
OAOBCOADOB，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD； COOD
（3）①如图3中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H． 在Rt△COH中，∵OC=1，∠COH=30°，∴CH=HD=AH=OA2OH2=
13，OH=．在Rt△AOH中，2211313，∴BD=AC=CH+AH=．
22 如图4中，当A、C、D共线时，作OH⊥AC于H．
易知AC=BD=AH﹣CH=131． 2 综上所述：当A、C、D三点共线时，BD的长为
131131或； 22 （4）如图5中，由题意，点C在以O为圆心，1为半径的⊙O上运动，过点O作OH⊥AB于H，直线OH交⊙O于C′、C″，线段CB的长即为PC的最大值，线段C″H的长即为PC的最小值．易知PC的最大值=3，PC的最小值=3﹣1．
点睛：本题考查了圆综合题、旋转变换、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆上的点到直线的距离的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．
4．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．
（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；
（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．
（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值． 【答案】1 【解析】
分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论． 由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；
（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．
（3）分两种情况讨论即可．
详解：（1）D’A=1．理由如下： 过D′作D′N⊥CD于N．
∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′=
1CD′=1． 2
由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1， ∴四边形ACED’为平行四边形． 又∵∠DCE=90°， ∴四边形ACED’为矩形；
（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．
∵∠DCE=∠D’CE’=90°， ∴∠DCE’=∠D’CG． 又∵D’C= DC，CG=CE’， ∴△DCE’≌△D’CG， ∴GD’=E’D．
（3）分两种情况讨论：①如图1．
∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．
②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
5．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D是△ABC内部一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE． （1）①依题意补全图形；
②请判断∠ADC和∠CDE之间的数量关系，并直接写出答案．
（2）在（1）的条件下，连接BE，过点C作CM⊥DE，请判断线段CM，AE和BE之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD中，AB=的距离．
，如果PD=1，∠BPD=90°，请直接写出点A到BP
【答案】（1）①作图见解析；②∠ADC+∠CDE=180°；（2）AE=BE+2CM，理由解析；（3）【解析】
试题分析：（1）①作CE⊥CD，并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到的，再连接DE即可；②根据∠ADC和∠CDE是邻补角，所以∠ADC+∠CDE=180°．
（2）由（1）的条件可得A、D、E三点在同一条直线上，再通过证明△ACD≌△BCE，易得AE=BE+2CM．
（3）运用勾股定理，可得出点A到BP的距离． 试题解析：解：（1）①依题意补全图形（如图）； ②∠ADC+∠CDE=180°．
（2）线段CM，AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM，理由如下： ∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°． ∴∠CDE=∠CED=45°． 又∵∠ADC=135°， ∴∠ADC+∠CDE=180°，
∴A、D、E三点在同一条直线上． ∴AE=AD+DE． 又∵∠ACB=90°，
∴∠ACB－∠DCB=∠DCE－∠DCB，
．
即∠ACD=∠BCE． 又∵AC=BC，CD=CE， ∴△ACD≌△BCE． ∴AD=BE．
∵CD=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE． ∴DE=2CM． ∴AE=BE+2CM． （3）点A到BP的距离为
．
考点：作图—旋转变换．
6．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。 （1）概念理解:
如图1,在ABC中,AC6 ,BC3.ACB30,试判断ABC是否是“等高底”三角形，请说明理由. （2）问题探究:
如图2, ABC是“等高底”三角形,BC是“等底”，作ABC关于BC所在直线的对称图形得到ABC,连结AA交直线BC于点D.若点B是z13ai,z212i的重心,求（3）应用拓展:
如图3,已知l1//l2,l1与l2之间的距离为2.“等高底”ABC的“等底” BC在直线l1上,点A在直线l2上,有一边的长是BC的2倍.将ABC绕点C按顺时针方向旋转45得到
AC的值. BCABC,AC所在直线交l2于点D.求CD的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】
2AC1310,22,2 （3）CD的值为3BC2分析：（1）过点A作AD⊥直线CB于点D，可以得到AD=BC=3，即可得到结论； （2）根据 ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC， 再由 ΔA′BC与ΔABC关于
直线BC对称， 得到 ∠ADC=90°，由重心的性质，得到BC=2BD．设BD=x，则AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得AC=13x，即可得到结论；
（3）分两种情况讨论即可：①当AB=2BC时，再分两种情况讨论； ②当AC=2BC时，再分两种情况讨论即可． 详解：（1）是．理由如下：
如图1，过点A作AD⊥直线CB于点D， ∴ΔADC为直角三角形，∠ADC=90°． ∵ ∠ACB=30°，AC=6，∴ AD=∴ AD=BC=3，
即ΔABC是“等高底”三角形．
1AC=3， 2
（2）如图2， ∵ ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC， ∵ ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称， ∴ ∠ADC=90°． ∵点B是ΔAA′C的重心， ∴ BC=2BD． 设BD=x，则AD=BC=2x，∴CD=3x ， ∴由勾股定理得AC=13x， ∴
AC13x13． BC2x2
（3）①当AB=2BC时，
Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E， DF⊥AC于点F． ∵“等高底” ΔABC的“等底”为BC，l1//l2， l1与l2之间的距离为2， AB=2BC， ∴BC=AE=2，AB=22， ∴BE=2，即EC=4，∴AC= 25．
∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，∴∠CDF=45°． 设DF=CF=x ．
∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴
DFAE1，即AF=2x． AFCE2∴AC=3x=25，可得x=225，∴CD=2x=10． 33
Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形， ∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C， ∴ ΔACD是等腰直角三角形， ∴ CD=2AC=22．
②当AC=2BC时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形． ∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C， ∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．
Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC， ∴AC=2BC=2AE，∴∠ACE=45°，
∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时， 点A′在直线l1上，
∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点．
210，22，2． 3综上所述：CD的值为点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．
7．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为 度；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值。
【答案】（1）90 （2）答案见解析 （3）4秒或16秒 【解析】 【分析】
（1）根据旋转的性质知，旋转角是∠MON；
（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件“∠AOC：∠BOC＝1：2”求得∠AOC＝60°；然后由直角的性质、图中角与角间的数量关系推知∠AOM﹣∠NOC＝30°；
（3）需要分类讨论：（ⅰ）当直角边ON在∠AOC外部时，旋转角是60°；（ⅱ）当直角边ON在∠AOC内部时，旋转角是240° 【详解】
解：（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON＝90°． 故答案是：90；
（2）如图3，∠AOM﹣∠NOC＝30°． 设∠AOC＝α，由∠AOC：∠BOC＝1：2可得 ∠BOC＝2α．
∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴α+2α＝180°． 解得 α＝60°． 即∠AOC＝60°．
∴∠AON+∠NOC＝60°．① ∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠AON＝90°．②
由②﹣①，得∠AOM﹣∠NOC＝30°；
（3）（ⅰ）如图4，当直角边ON在∠AOC外部时， 由OD平分∠AOC，可得∠BON＝30°． 因此三角板绕点O逆时针旋转60°． 此时三角板的运动时间为：
t＝60°÷15°＝4（秒）．
（ⅱ）如图5，当直角边ON在∠AOC内部时， 由ON平分∠AOC，可得∠CON＝30°． 因此三角板绕点O逆时针旋转240°． 此时三角板的运动时间为： t＝240°÷15°＝16（秒）．
【点睛】
本题综合考查了旋转的性质，角的计算．解答（3）题时，需要分类讨论，以防漏解．
8．如图，正方形ABCD，点M是线段CB延长线一点，连结AM，ABa，AMb
（1）将线段AM沿着射线AD运动，使得点A与点D重合，用代数式表示线段AM扫过的平面部分的面积.
（2）将三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，点M落在点N，用代数式表示线段AM扫过的平面部分的面积.
（3）将三角形ABM顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除外），请在如图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角
【答案】（1）a2；（2）b或b；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）根据平移的性质和平行四边形的面积计算即可； （2）根据扇形的面积计算即可；
（3）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【详解】
解：（1）AD•DCa2
142342答：线段AM扫过的平面部分的面积为a2
（2）三角形ABM绕着点A旋转，使得AB与AD重合，则三角形ABM旋转的角度是90°或270° ∴S扇形AMN90°b2270°b2或S扇形AMN °°3603601232b或b 44142∴S扇形AMN答：扇形AMN的面积为b或b
（3）如图1，旋转中心：AB边的中点为O，顺时针180
342
如图2，旋转中心：点B，顺时针旋转90
如图3，旋转中心：正方形对角线交点O，顺时针旋转90
【点睛】
本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答．