一种数字全通滤波器的最小二乘设计法

()文章编号:10005471201312009005

第38卷 第12期

西南师范大学学报(自然科学版)

2013年12月

Dec.2013

一种数字全通滤波器的最小二乘设计法

2

刘渭清1,

①

1.西安文理学院物理与机械电子工程学院,西安710065;2.西安电子科技大学电子工程学院,西安710065

)摘要:探讨了在复倒谱系数条件下,利用加权最小二乘法(实现等波纹逼近数字全通滤波器的设计方案.对WLS倒谱系数之间的关系,采用最小二乘等波纹逼近求得分母多项式的倒谱系数;然后,依据全通滤波器分母多项式与

于平稳的数字全通滤波器,其分母多项式一定具有最小相位;该方法是基于最小相位滤波器的群延迟函数和其复其复倒谱系数的关系求得分母多项式.由全通滤波器的特性可知,分母多项式系数可完全确定全通滤波器的传递函数.这种方法能够使所设计的滤波器的群延迟特性在整个频带上近似理想群延迟,其误差在整个频带上呈均匀分布,同时降低了误差的最大值.中图分类号:TN713.7

);全通滤波器;群延迟;等波纹逼近;复倒谱系数;最小相位关 键 词:加权最小二乘法(WLS

文献标志码:A

波器的应用在相关文献中均有描述,此处不再详述.文献[使用自回归方法从倒谱系数产生滤波器的系1]]],提出了运算量较小的设计方法;文献[]]文献[改进了文献[和[则采用加权最小均方误差准则意义3245]方法的误差有所改善.本文采用基于倒谱系数的加权最小二乘逼近法设计下求解复倒谱系数,对文献[3数字全通滤波器,使误差在整个频带上呈等波纹分布且误差的极值明显降低.

数字全通滤波器常用于实现指定群延迟的线性系统,以满足整个系统对相位的要求.有关数字全通滤

]数;文献[采用希尔伯特变换的方法,根据傅立叶变换的相位和对数幅度的关系计算全通滤波器的系数;2

1 基于复倒谱系数的全通滤波器设计原理

N阶全通数字滤波器的系统函数

N(z)n=0

H(z)=()=NDz∑an=0

NN-nz-nn-

)可知,系统可完全由其分母多项式确定.对于一个平稳的滤波器,它的分母多项式一其中a1,由式(10=定具有最小相位;而一个最小相位序列的群延迟函数及其复倒谱系数之间满足关系:

(τ(ω)kc(k)coskω)=∑

k=1¥

∑azn()1

()做傅立叶反变换:其中复倒谱序列ck)一定是实因果序列.利用傅立叶变换的对称性质,对式(2

①

()2

收稿日期:20121204

,男,西安人,讲师,博士研究生,主要从事信号处理,模式识别方面的研究.作者简介:刘渭清(1966)

2://西南师范大学学报(自然科学版) httxbbb.swu.cn 第38卷pj

1nc(n)in](IDFT[τ(ω)kc(k)coskω)W-=∑∑M=

Mi=0k=12

M-1

¥

()3()4

即,可由群延迟函数求出复倒谱系数;根据复倒谱的基本理论,最小相位序列与其复倒谱系数之间满足:

))其中,可得分母多项式的系数.它的主要步骤是:首先,根据指定的全通滤波器群延迟函a(01.由式(4=数,得到分母的群延迟函数;其次,由分母群延迟函数得到分母多项式的倒谱系数;最后,由倒谱系数求得]分母多项式的系数,进而确定出滤波器的传递函数,该方法的详细设计原理和步骤可参考文献[3-5.

köæç÷

ac(k)an=∑nk-nèøk=0

nn>0

2 基于倒谱系数的最小二乘等波纹逼近法设计原理

]一定的条件下,只能对所求的倒谱系数进行截断,因此造成设计结果的低频和高频附近误差较大.文献[3给出滤波器阶数N=20时的设计结果和误差波形.对此,本文采用的设计方案是:在滤波器阶数一定的条件下,使设计的分母群延迟函数以等波纹误差近似理想的(设计目标)群延迟函数,从而使设计结果的误差在整个频带上呈均匀分布,进而降低了误差的最大值.2.1 最小二乘等波纹逼近法设计原理2.1.1 构造加权最小二乘逼近

(,(设τ是目标群延迟函数(相当于分母群延迟函数)为τ在全频带[上的逼近函exω)τω)exω)0,π]ppx(

2

EmsωEωe=l)α(l)∑W(

)做傅立叶逆变换求出复倒谱系数,但在滤波器阶数通过对上述方法分析可知,其核心思想是由式(2

数.根据最小二乘法(WLS)的相关理论,定义误差函数的加权平方和:

Kl=1

)其中E是误差函数,为加权函数,可ω)τω)τω)W(ω)K是在误差函数上的采样点数目.由式(2=-α(exx(p(知,逼近函数τω)应定义为:x(

(τω)kc(k)coskω)=∑x(

k=1N()5

T

,则式()(,上式中N为滤波器的阶数(不是最终设计的阶数)可用矩阵形式表示为b.令b(k)kc(k)6sω)=

()6

其中,

∂Emse

为了使加权平方和Emsb=d.其中,=0,得到一个线性方程组Ae最小化,令)∂b(iT

((A=∑W(ωsωsωl)l)l)

T

),),),…,]b=[b(0b(1b(2b(N)

T

(sω)1,cosω,cos2ω,…,cosNω]=[

kl=1k)采用柯列斯基分解法(choleskecomosition.求解方程后可以得到使Emsω).ydpe最小化时的逼近函数τx(

但此时的误差逼近函数Eω)并不是等波纹分布的.图1给出了误差函数的一般形式.有关最小二乘法α(2.1.2 加权函数W(ω)的确定

的详细原理可参阅数值分析教材的相关章节.

这里A是一个实对称的正定矩阵

[6]

.因此方程有唯一解b.在求解方程组时,为了避免求矩阵的逆矩阵,可

(d=∑W(ωτωsωl)exl)l)p(

l=1

[]

ω)可由误差函数Eω)的包络轨迹来确定7.k(α(β,由图1可知,E上的谷底频率处具有局部极小值αω)在[0,π]i=2,3,…,7)αα(i(1和α8是边界

,更新函数是第K次迭代的加权函数,那么,第K+1次迭代的加权函数可定义为Wk+1(ω)ω)ω)=Wk(k(β为了实现等波纹逼近,需要确定合适的加权函数.加权函数W(ω)可采用迭代方法来求出.设Wk(ω)

第12期 刘渭清:一种数字全通滤波器的最小二乘设计法频率.误差函数在两个连续的αi之间的极大值可表示为:

其中1≤i≤u-1,u-1为谷底频率的个数,αα1和u1+是滤波器的边界频率.更新函数可以定义为:

{Eraxω)} αi=mα(i≤ωl≤αi1+

3

ω=l)β(

k更新函数β表示了在每次迭代后,误差函数的分ωk(l)布情况.令同时令

{

r1ri…,αi=2,3,ui<ωl≤αi1 +

α1≤ωl≤α2

()7

图1 误差函数的一般形式

T

,…]ωωωN)k(1)k(2)k(q=[βββ(axx=mqmaq)

(inn=mqmiq)

),如果,设定ε为一个较小的正数(例如,0.01

qmaqmix-n

c=≤εxqma

成立,则认为误差函数达到了等波纹分布.否则,按Wk+1(ω)ω)ω)调整加权函数,并且对加权函=Wk(k(βθ更新权函数,其中θ在1这一点很必要)ω)ω.2至1.7之间(.=Wk(k(l)β数用其最大值做归一化处理.在首次运算时,可设W0(ωω)=1.另外,为了提高迭代的速度,可按Wk+1(l)

2.1.3 最小二乘等波纹逼近法的计算步骤

)初始化权函数W0(;1ωl))计算误差函数E3ω).α(

)计算矩阵A和d,并求解线性方程组A2b=d.)确定α和c.4ωi和ri;进而求得βk(l)2.2 求逼近函数τω)所对应的倒谱序列x(序列的倒谱系数乘以K的值:

)如果c≤ε(),计算逼近函数τ,退出;否则,更新权函数,返回第二步.例如05.01ω)x(

)),可求得设计目标(若设滤波器的阶数为N,根据式(和式(相当于分母多项式)群延迟函数所对应63

)]kc(k)IFFT[τi=2*x(

()8

)即可求得分母多项式系数a将计算结果代入式(4n,进而得到所需的全通滤波器的传递函数.然而,值得

)注意的是,若上述计算没有任何误差,式(的计算结果除前N+1项外,其余项应为0.但在使用最小二乘8)求得的分母多项式的阶数比N阶要大一些,但对整体设计效果无4+1项外,仍有几项非零值.这样由式(

影响.在具体设计时,可根据设计精度要求确定N.

)法做有限次迭代,使得最终求得的逼近函数τ存在微小的计算偏差,从而导致式(的计算结果除前Nω)8x(

3 设计举例

]在设计举例中给定的全通滤波器群延迟特性为文献[3

2

)τ(ω)10ω-3ω 0≤ω≤π=(

]其特性如图2所示.本文以此为例,设计一个等波纹逼近全通滤波器并与文献[中的方法进行比较.在设3计时,抽样点数取M=512,按照上述各步骤,分别仿真了阶数等于20和30两种情况,经过迭代运算,最终所得全通滤波器的阶数分别为N=26和N=36.误差函数分别如图3和图4所示.可以看出设计结果的误

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差在整个频带上呈均匀分布,且随着阶数的增加误差明显减小.此外,图5给出了在滤波器阶数N=26时,]采用文献[方法设计所得滤波器的群延迟函数及其误差函数.其中,图5的最大绝对误差值为03.2012,而纹逼近法设计所得到的2式中有效位数稍有取舍)6阶滤波器分母多项式的系统函数(.

)列出了N=2在相同阶数下,本文的最大绝对误差值如图3所示为0.14.下面式(90时采用最小二乘等波

123456------D(z)1-0.3659z.6839z.2531z.1431z.0562z.0185z=-0+0+0-0-0+

7101112------0.0078z.001z.0002z.0012z.0004z.0008z-0+0-0+0-0+131415161718------0.0003z.0006z.0002z.0004z.0002z.0004z-0+0-0+0-0+192021222324------0.0001z.0034z.0013z.0026z.001z.0005z-0+0+0+0-0+2526--0.0002z.00008z-0

()9

图2 理想群延迟函数图3 滤波器阶数=26的误差函数

图4 滤波器阶数=36的误差函数]方法所产生的误差函数图5 由文献[3

4 结 论

文中提出了以复倒谱系数为基础,利用最小二乘法实现等波纹逼近数字全通滤波器的设计方法并给出

]相比,其误差的最大值减小,同时了实验仿真结果.该方法与其它基于倒谱系数的设计方法如文献[3-5简单,计算方便,易于应用.参考文献:

逼近误差在整个频带上均匀分布,且随着阶数的增加,其设计精度明显提高.此外,该方法的设计思路较

[]Y1EGNANARAYANAB.DesinofRecursiveGrouelailtersbutoreressiveModelinJ].IEEETrans.gpDyFyAgg[[]]2 REDDYGR,SWAMYMNS.DiitalAllPassFilterDesinthrouhDiscreteHilbertTransform[J.IEEEInternaggg--[]]3 RAJAMANIK,YHEAN-SENL.ANovelMethodforDesininllassDiitalFilter[J.IEEESinalProcessinggApggg

,():tionalSmosiumonCircuitsandSstems199016-9.ypy,,AcoustSech,SinalProCessin1982,30:632-637.pgg-

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,():Letters1999,68207-209.

5

[]4 JOVANOVIC-DOLECEKG,DIAZ-CARMONAJ.DiitalAllPassFilterDesinMethodBasedonComlexCestrumggpp-[]]():5 耿 烜,谢志远.一种数字全通滤波器的改进设计方法[J.华北电力大学学报,2004,313-92.

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OnaWeihtedLeast-SuaresTechniuegqq

forDesinAll-assDiitalFiltergpg

12

LIUWeiinqg-,

1.MechanicalandElectronicEnineerineartment,Xi’anUniversitfArtsandScience,Xi’an710065,China;ggDpyo2.SchoolofElectronicandInformationEnineerinXidianuniversitXi’an710065,Chinagg,y,

teriscertaintohaveaminimumhase.Basedontherelationshietweenthedelafunctionandthecesppbyp--,tralcoefficientsthecomlexcestralcoefficientscanbedeterminedbeihtedleastsuarestechppyawgq--tainedbasedontherelationbetweenthecomlexcestrumcoefficientandthestableminimumphasesepp-uence.Theallasstransferfunctioniscomleteleterminedfromitsdenominatorcoefficients.Theqppyd-,rouelafdesinedfiltercanaroximatethedesiredgrouelanallbandanderrorisauniformgpdyogpppdyidistribution.

;mcientsinimumphase

;,niuebeansofthecomlexcestralcoefficientstheallassfilterdenominationcoefficientsareobqymppp--

niuebasedoncestralcoefficientshasbeenpresented.Thedenominatorpolnomialofastableallassfilqpyp-

:AbstractAprocedureforthedesinofeuirilediitalallassfilterwithaweihtedleastsuarestechgqppgpgq---

:;;;;Keordsweihtedleastsuaresallassfilterrouelaeuirilearoximationcestralcoeffigqpgpdyqpppppyw---

责任编辑 汤振金

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