概率论与数理统计复习资料

第一章随机事件与概率

1．概率P(A)满足的三条公理及性质：

（1）0P(A)1 （2）P()1（3）对互不相容的事件A1,A2,,An，有P(Ak)P(Ak)（n可以取）（4）P()0 （5）P(A)1P(A)

k1k1nn（6）P(AB)P(A)P(AB)，若AB，则P(BA)P(B)P(A)，P(A)P(B) （7）P(AB)P(A)P(B)P(AB)

（8）P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) 2．条件概率

P(A|B)（1）

P(AB)（2）乘法公式：P(AB)P(B)P(A|B) （3）P(B)ni1全概率公式： P(A)P(Bi)P(A|Bi) （4）Bayes公式：

P(Bk|A)P(Bk)P(A|Bk)P(B)P(A|B)iii1n

第二章 随机变量与概率分布

1． 离散随机变量：取有限或可列个值，P(Xxi)pi满足（1）

（2）pi=1（3）对任意DR，P(XD)pi pi0，

ii: xiD2． 连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足（1）

-f(x)0, （2）P(aXb)f(x)dx；（3）对任意aR，f(x)dx1；

abP(Xa)0 3.几个常用随机变量 名称与记号 两点分布B(1,p) 二项式分布B(n,p) Poisson分布P() 几何分布G(p) 均匀分布U(a,b) 指数分布E()

分布列或密度 P(X1)p，P(X0)q1p kknkP(Xk)Cnpq,k0,1,2,n， 数学期望 p 方差 pq npq np P(Xk)ekk!,k0,1,2,  1 pab 21 q 2p(ba)2 121 2P(Xk)qk1p, k1,2, 1f(x), axb， baf(x)ex, x0 1

 (x) 正态分布1 2 f(x)e2 2N(,) 23． 分布函数 F(x)P(Xx)，具有以下性质 （1）F()0, F()1；（2）单调非降；（3）右连续； （4）P(aXb)F(b)F(a)，特别P(Xa)1F(a)； （5）对离散随机变量，F(x)pi；（6）对连续随机变量，

22i: xixF(x)f(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，F'(x)f(x)

x4． 正态分布的概率计算 以(x)记标准正态分布N(0,1)的分布函数，则有（1）(0)0.5；（2）(x)1(x)；（3）若X~N(,2)，则F(x)(x则P(Xu)1(u)

)；（4）以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，

5． 随机变量的函数 Yg(X)（1）离散时，求Y的值，将相同的

概率相加；（2）X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则fY(y)fX(g1(y))|(g1(y))'|，若不单调，先求分布函数，再求导。 第三章 随机变量

1． 二维离散随机向量，联合分布列P(Xxi,Yyj)pij，边缘分布列P(Xxi)pi，P(Yyj)pj有

（1）pij0；（2）pij1；（3）pipij，pjpij

ijji2．

二维连续随机向量，联合密度f(x,y)，边缘密度fX(x), fY(y)，

P((X,Y)G)f(x,y)dxdy；有（1）f(x,y)0；（2）（3） f(x,y)1；G （4）fX(x)f(x,y)dy，fY(y)f(x,y)dx 3． 4． 个

1, (x,y)G 二维均匀分布f(x,y)，其中m(G)为G的面积 m(G)0, 其它2二维正态分布(X, Y)~N(1,2,12,2,)，其密度函数（牢记五

参

1212数的含义）

f(x,y)2(x1)(y2)(y2)21(x1)exp22222(1)1212122且X~N(1,12), Y~N(2,2)；

5． 二维随机向量的分布函数 F(x,y)P(Xx,Yy)有

（1）关于x,y单调非降；（2）关于x,y右连续；（3）F(x,)F(,y)F(,)0；（4）F(,)1，F(x,)FX(x)，

2

F(,y)FY(y)；

（5）P(x1Xx2, y1Yy2)F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)；

2F(x,y) （6）对二维连续随机向量，f(x,y)

xy6．随机变量的性 X,YF(x,y)FX(x)FY(y) （1） 离散时 X,Ypijpipj

（2） 连续时 X,Yf(x,y)fX(x)fY(y)

2（3） 二维正态分布X,Y0，且XY~N(12,122) 7．随机变量的函数分布 （1） 和的分布

ZXY的密度fZ(z)f(zy,y)dyf(x,zx)dx

第四章 随机变量的数字特征 1．期望

(1) 离散时 E(X)xipi，E(g(X))g(xi)pi ； (2) 连续时E(X)xf(x)dx，E(g(X))g(x)f(x)dx；

(3) 二维时E(g(X,Y))g(xi,yj)pij，E(g(X,Y))g(x,y)f(x,y)dxdy

i,jii(4)E(C)C；（5）E(CX)CE(X)；（6）E(XY)E(X)E(Y)； （7）X,Y时，E(XY)E(X)E(Y) 2．方差

（1）方差D(X)E(XE(X))2E(X2)(EX)2，标准差(X)D(X)； （2）D(C)0, D(XC)D(X)；（3）D(CX)C2D(X)； （4）X,Y时，D(XY)D(X)D(Y) 3．协方差

（1）Cov(X,Y)E[(XE(X))(YE(Y))]E(XY)E(X)E(Y)； （2）Cov(X,Y)Cov(Y,X), Cov(aX,bY)abCov(X,Y)； （3）Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y)；

（4）Cov(X,Y)0时，称X,Y不相关，不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y) 4相关系数 XYCov(X,Y)|XY|1a,b, P(YaXb)1 ；有|XY|1，

(X)(Y)5．k 阶原点矩kE(Xk)，k 阶中心矩kE(XE(X))k 第六章 样本及抽样分布

21n1样本数字特征：样本均值XXi（E(X)，D(X)）；

nni11n2 样本方差S(XiX)2（E(S2)2）样本标准差n1i1

3

1nk1n2S(XiX)样本k阶原点矩kXi，样本k阶中心矩ni1n1i11nk(XiX)k

ni12．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）

（1）2分布 2X12X22Xn2~2(n)，其中X1,X2,,Xn同分布于标准正态分布N(0,1)，若X~2(n1), Y~2(n2)且，则XY~2(n1n2)； （2）t分布 tXY/nX/n1 （3）F分布 F~F(n1,n2)，其中X~2(n1),Y~2(n2)且，

Y/n211有下面的性质 ~F(n2,n1), F 1  ( n1,n2)FF(n2,n1)~t(n)，其中X~N(0,1), Y~2(n)且；

3．正态总体的抽样分布 （1）X~N(,/n)；（2）212(Xi1ni（3）)~(n)；

22(n1)S22~2(n1)且与

X；（4）tXS/n~t(n1)；（5）

2(XY)(12)n1n2(n11)S12(n21)S22t~t(n1n22)，S

Sn1n2n1n22S12/12（6）F22~F(n11,n21)

S2/2第七章 参数估计 1．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min{xi}或max{xi}）

ˆ)，则为无偏；(2) 有效性：2．估计量的评选原则(1)无偏性：若E(两个无偏估计中方差小的有效； 3．参数的区间估计（正态） 参数 条件 估计函数 置信区间 2已x[xu] un知 /n2 s2未x[xt(n1)] tn知 s/n22 未知 2(n1)s22 (n1)s2(n1)s2[2,] (n1)2(n1)212 4

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