浅海中静态电偶极子电场分布的镜像法研究

第３４卷　第４期　２０１０年８月　武汉理工大学学报（交通科学与工程版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｗｕｈａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　（Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）　Ｖｏ１．３４　ＮＯ．４　Ａｕｇ．２０１０　浅海中静态电偶极子电场分布的镜像法研究＊　陈　聪¨　李定国¨　龚沈光　’　（海军工程大学理学院”　武汉４３００３０）　（海军工程大学兵器工程系。　武汉４３００３０）　摘要：利用镜像法，依据电磁场惟一性原理，在空气一海水一海床３层模型下，推导了位于海水中的任　意方向静态电偶极子在海水区域中产生的标量电位及静态电场分布的解析表达式，并对其分布特　征进行了数值计算和分析．在实验室中模拟海洋环境和电偶极子，对水下标量电位分布进行了测　量．测量结果和理论计算结果一致，表明推导过程和所得解析表达式的正确性．　关键词：电偶极子；镜像法；标量电位；静态电场；浅海　中圈法分类号：０４４１．４　ＤＯＩ：１０．３９６３／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６－２８２３．２０１０．０４．０１８　电偶极子是模拟舰船或水中兵器在海水中的　１　３层媒质模型　所研究问题的物理模型见图ｌ＿　！　＝０　一一一一　电场特性的常用基本单元，长期以来吸引了很多　研究者的关注＿１。］．为了更贴近实际海洋环境，有　必要选用空气一海水一海床３层模型来进行电场分　布特性的研究．由于３层模型电磁特性的复杂性　Ｏ　…－－－－－－－－　空气￡。，　一　Ｉ　＿，ｄｋ　………－—－・…………－－：。　—－　使得模型中电偶极子的场分布的求解十分困难，　通常只能得到一个复杂的Ｆｏｕｒｉｅｒ—Ｂｅｓｓｅｌ积分，　，．…一　．．一。．．．Ｊ．．．　．。．．．２‘＝　然后寄希望于数值求解＿＿４　］．这给海洋环境中舰船　或水中兵器的电场建模或电场的深度换算增加了　难度．多年来，众多研究者一直致力于获得静态电　偶极子电场分布的解析表达式　～一．　＿－ｊ　．－　ｒ　一图１　３层媒质模型　　镜像法是根据惟一性原理求解某些具有导体　边界的电磁场边值问题的一种经典方法．本文将　其用于３层平行导电媒质模型中，对空气一海水一　全空间被　一０和ｚ—Ｄ２个平面分成３个部　分．其中　一０为空气和海水分界面，　—Ｄ为海底　平面．分成的３个区域分别为：０一空气；１一海水；２一　海床，对应媒质的电容率、磁导率及电导率分别为　海床３层媒质组成的浅海环境下海水中的静态电　偶极子在海水中产生的标量电位分布进行了推　导，并由此得到海水中静态电场分布的解析表达　（￡　，　，　），ｉ一０，１，２．建立直角坐标系，以垂直于　海平面向下为　轴正向，可设电偶极子Ｉｄｌ位于　（　。，Ｙ。，ｚ。）处，　。＜Ｄ，即电偶极子源位于海水区　域中．场点坐标为（ｚ，Ｙ，ｚ），若０≤ｚ≤Ｄ，则表示　式．对标量电位和电场分布特征进行了仿真计算　和分析．并在实验室中模拟海洋环境和电偶极子，　对其水下标量电位分布进行了测量．测量结果表　明所得解析表达式的正确性．研究结果为海水中　舰船或水中兵器的电磁数学模型的建立及电场的　场点位于海水区域中．水平电偶极子Ｉｄｌ的方向　平行于　一０平面；垂直电偶极子Ｉｄｌ的方向平行　于　方向，图１中所示为水平电偶极子，下文以水　平电偶极子（Ｉｄｌ＝Ｉ　ｄｌｉ）为例进行推导．　深度换算提供了理论基础．　收稿日期：２０１０—０３　１　２　陈聪（１９７１一）：女，博士，副教授，主要研究领域为导电媒质中的电磁场研究、微弱信号检测、水中兵器应用等　国防预研基金项目资助（批准号：５１４４４０７０１０５ＪＢ１１）　第４期　陈聪，等：浅海中静态电偶极子电场分布的镜像法研究　・７１７・　２　３层模型中镜像法的应用　２．１仅存在海水和空气的分界面　如图２所示．若场点位于海水中，即ｚ≥０，则　由镜像法可设像　ｄｚ位于（ｚ。，Ｙ。，～ｚ。），全空间　视为充满海水，源和像共同在场点产生的标量电　位可计算为　一　＋　（ｚ≥０）　（１）　Ｉ』　Ｑｌ　。，　，一　）：、、　空气￡。　０，ｏｂ　、’　ｏ　：　一　……一．ｒ　一一　……一－　：：：：：：：：ｊ：：　。篓誊露装　珊　。　　ｌ，　０，　孙　童＊　Ｉ　图２存在空气一海水分界面时镜像法求海水中的场　式中：Ｒ　一（ｚ—ｚ０）　＋（　—　ｏ）　＋（　＋　ｏ）　；Ｒ　一　（ｚ—ｚｏ）　＋（　—　０）。＋（　＋　ｏ）　．　若场点位于空气中，即　≤０，则由镜像法可　设像位于（ｚ。，ｙ。，ｚ。），和源位于同一位置，两者合　起来偶极矩　ｄｚ，此时全空间视为充满空气，则　ｄｚ在场点产生的标量电位为　一　（　≤０）　（２）　￡士７Ｃ￡ｎ』　１　式中：Ｒ　一（１ｚ－－Ｘ。）　＋（　—　ｏ）　＋（　＋　）。．　镜像法要求原边界条件仍然满足，因此西空　和　海应满足：　１）分界面两边标量电位连续，即：　海ｉ　一。＋一　空ｌ　一０一　可得：　一　±　（３）　ｅ　０　盯ｉ　２）电流密度的法向分量连续．此时分界面两　边应满足边界条件Ｊ　Ｊ　一。＋一　。　ｌ　一。～，　即　ｉ　一。＋一氏　ｉ二。一由于空气电导率　ｄ　为ｏ，所以只能有一　墼１　一。＋一。　可得　一Ｉ　（４）　式（３），（４）联立可解得　—Ｚｅｒｏ　Ｉ　（５）　上述分析表明，水平直流电偶极子源Ｉ　ｄｚ位　于海水中（　。，Ｙ。，　）处，存在海水和空气的分界　面时，若场点位于海水中，则像Ｉ　ｄｆ位于（ｚ。，ｙ。，　一ｚ。），若场点位于空气中，则像位于（ｚ。，ｙ。，　），　和源位于同一位置，两者合起来相当于电偶极子　ｄ１．　盯１　２．２仅存在海水和海床的分界面　若存在海水与海床的分界面，则可同２．１中　一样分析可知，水平直流电偶极子源　ｄＺ位于海　水中（ｚ。，Ｙ。，　）处，若场点位于海水中，则像　Ｏ＇１　Ｔ　０＂２　ｄｌ位于（ｚ。，ｙｏ，一ＺＯ），若场点位于海床　中，则像位于（ｚ。，Ｙ。，　），和源位于同一位置，两　９　者合起来相当于电偶极子　竿一　ｄｆ．Ｏ－１　Ｉ　Ｄ２　　２．３存在２个平行界面　存在２个平行界面时，电偶极子在两个界面　之问不断“镜像”，因此在图１所示的浅海模型中，　位于海水中一个水平电偶极子在海水中的场点处　产生的场可以用图３所示的无穷多个镜像水平电　偶极子在无限大的海水空间分别产生的场的叠加　来替代．无穷多个电偶极子的位置和相应的电偶　极矩分别如图３所示．　ｉ　（　缸　・２Ｄ－ｚｏ）．　．　兰』　ｄ，　＂４－　…‘　（　・２Ｄ＋ｚｏ）　；二　，　ｄｆ　ｃｒ：　）　＿ｚｃ）＿　Ｉ　ｄｌ　空　ｄ，　：　鼎薯毒蕊　＊焉　等－…．　Ｄ　Ｚ’　图３　２个平行分界面时的水平电偶极子的镜像　所有的电偶极子及其镜像可划分为４类，其　位置以及相应的电偶极矩分别为：　１）位置　（ｚ。，　。，２ｋＤ—ｚ。）；电偶极矩：　（　）　Ｉ　ｄｌ＝矿工　ｄｌｉ，ｋ一１，２，…，场点相对于　武汉理工大学学报（交通科学与工程版）　２０１０年第３４卷　该点的位置矢量为ｒ　；　’２）位置　（ｚ。，Ｙ。，２ｋＤ＋　。），电偶极矩：　Ｚ　＿Ｊ　ｒ　４７【　二至　上　１　ｒ　１　Ｔ　２　）　ｆ　ｄｌ－－ｋ　ｄｆｉ，是一１，２，…，场点相对于该　４丌　ｌ　ｒ２。　］一　　（６）　点的位置矢量为，　式中：　，ｒ　ｒ　，ｒ２　表达式同前．　３）位置　（ｚ。，　，一２ｒｏＤ＋　），电偶极矩：　Ｏ＇ｌ－０＂２）　ｄｌ＝Ｔｆ　ｄｉｆ，ｍ—ｏ，ｌ，２，…，场点相对　３　海水中的水平电偶极子在海水中　于该点的位置矢量为，估罾年暑　，　．　Ｉ　Ｊ　目丁心　，／／√／√。　１　．．　的标量电位和静态电场分布　、星４）位置：（Ｘ０，　ｏ，一２ｒｏＤ—ｚｏ），电偶极矩：　）ｍＩ　ｄ／＝矿工　ｄｌｉ，ｍ一０，１，２，…，场点相对　用同样的方法，可以求出　和ｚ方向的电偶　１　Ｔ　２　。　极子在海水中产生的标量电位分布．总之，位于海　于该点的位置矢量为，　．　水中（ｚ。，　。，ｚ。）处的直流电流源Ｉｄｌ＋Ｉｙｄｆｉ十　则场点处的标量电位为：　ｄｌｊ十　ｄｌｋ在海水中（ｚ，　，　）处产生的场等效　一耋１＝　［攀　ｌ　ｌ　＋　为无限大海水区域中，源及其通过两个界面形成　垒　兰二　４耐１ｒ　３　Ｊ　ｆＬ　的无数个镜像在场点处产生的场的叠加，因此海　水中的标量电位分布为　西（ｚ，　，ｚ）一　（　，　，ｚ）＋　（ｚ，Ｙ，　）＋　（ｚ，Ｙ，ｚ）一　兰二　上　垡　二　一　！　兰二　墨　±兰　∑　４ｈａ１ｒ　４７【　１ｒ　４ｎａ１ｒ　＋　＝１　一－　！　！　二　！一－　！　二　！一－　！　三二　二　’４ｈａｌｒ；＾　。４ｈａ１ｒｉ女　。　４７【　】ｒｉ　『　！　二　！＋　！　二　＋　！　兰±　二兰　ｌ　４碱ｒｉ　。４ｈａ１ｒ　。４ｈａ：ｒ　１一Ⅱ　二兰　＋　二　一　！！　兰±　±兰　（７）　Ｌ　４ｈａ１ｒ｛　４ｎａ１ｒｉ　４ｈａ１ｒｉ　海水中的电场分布则可利用ｅ一～　直接求出为　Ｊ。矿　ｚ　＋３矿　ｚ　Ｅ一　一　３矿　ｚ　一　ｄｚ　＋　＋３矿　ｚ　＋３矿　ｚ　一ｒＦＩ￣ｄｌ　＋３圹　ｄｚ　＋一　∑　ｍ一０　３矿工　ｄｚ　暑　一矿　ｄｚ　＋　（８）　３　ｄ　～ｓ　ｄ　３矿　ｚ　～矿　ｚ　一　Ｅｙ一　一薹　３矿　ｚ　＋ｓ矿　ｚ　一　十　矿　ｚ　＋３矿　ｚ　第４期　陈聪，等：浅海中静态电偶极子电场分布的镜像法研究　・７１９・　３圹　ｄｚ　二二　３矿　ｄｚ　一　Ｊ　ｄｚ　呈　二　＋３矿工　ｄｚ　＋　一　（９）　７］ｍＩ￣ｄｚ　一３杜ｄｚ　讥ｄｚ　Ｅ　一　一＋３矿　ｚ　＋］　牡ｄｚ　砉　＋３杜ｄｚ　＋』＋　３　ｄｚ　一杜ｄｚ　ｊ　３　ｄｚ　ｄｚ　＿］　圹　ｄｚ　二旦　＋３矿　ｄｚ　＋ｆ　ｓ　７］ｍＩｙｄｚ　＋　ｄｚ　Ｊ　４　Ｏ　ｃＰ　ｍ　Ｍ坞　可对电偶极子的场分布进行仿真计算．坐标　方某平面上的ｕＥＰ分布进行了测量，实验装置　建立同图１，设水深２０　ｍ，电偶极子位于水深５　ｍ　示意图如图６所示．　处，坐标为（０，０，５）．海水电导率　一４　Ｓ／ｍ，相对　电容率ｅ，　一８１，海床电导率　一０．０４　Ｓ／ｍ，电偶　极矩计算时均取为１　Ａ・ｍ．　以水下标量电位和Ｅ　分布为例，用Ｍａｔｌａｂ　编程，在计算过程中，对无穷级次的求和，采取相　邻前后项相减，若差的绝对值小于１Ｏ　时，停止　（　●　２　４　６　８　ｌ●　ｌ　求和．计算结果如图４、５所示．仿真结果和参考文　献［８］是一致的，表明推导过程的正确性．　图５　Ｅ　分布　ｘ／ｍ　图４标量电位三维分布图　图６　测量装置的几何尺寸　实验中测量电极阵列不动，沿阵列垂线方向　移动电偶极子，每移动１０　ｃｍ测量一次电极和参　４　电偶极子水下ＵＥＰ分布测试　考电极之间的电位差．测量点的分布使得在电偶　极子下方形成了一个网格状测量平面．测量结果　在长、宽、深分别为８，５，１．５　ｍ的无磁性实　如图７所示，和仿真结果对比可见，两者十分吻　验水池中，用铂铌丝电极对模拟电偶极子，对其下　合，表明本文提出的推导方法和所得结果可信．　　１　・　７２０　・　武汉理工大学学报（交通科学与工程版）　２０１０年第３４卷　用来推导３层模型下海水中电偶极子产生的标量　Ｏ．Ｏ１０　电位、场分布时，过程清晰明了，计算简捷，同时结　０　００５　果和其他文献所得结果相吻合．研究结果对舰船　或水中兵器在海水中的电场分布建模分析和电场　０　深度换算将十分有价值．　参考文献　Ｏ．８　０．０ｌＯ　Ｅｌｉ　Ｋｉｎｇ　Ｒ　Ｗ　Ｐ．Ｔｈｅ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ａ　ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｄｉｐｏｌｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｃｅ　ｏｆ　ａ　ｔｈｒｅｅ—ｌａｙｅｒｅｄ　ｒｅ—　ｇｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐ１．Ｐｈｙｓ．１９９１，６９（１２）：７９８７—７９９５．　Ｅ２２颜锦奎，纽茂德，徐得名．导体表面有耗介质层中垂　０　Ｏｌ０　直电偶极子激励的场［Ｊ］．微波学报，１９９７，１３（２）：　Ｏ　０　００５　１１５～１２０．　ｘｆ　Ｅ３２张红旗，潘威炎，沈凯先．位于介质覆盖的导电基底　０　中水平电偶极子的场［Ｊ］．电波科学学报，２００１，　１６（４）：４５１－４６０．　［４］Ｃｈｅｗ　Ｗ　Ｃ．Ａ　ｑｕｉｃｋ　ｗａｙ　ｔｏ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ａ　Ｓｏｍｍｅｒ—　０　０ｌＯ　ｆｅｌｄ—ｗｅｙｌ～ｔｙｐｅ　ｉｎｔｅｇｒａｌ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ａｎ—　ｂ）等势线　ｔｅｎｎａｓ　ａｎｄ　ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ，１９８８，３６（１１）：１６５４—１６５７．　图７实验结果　ｒ５］Ｄｖｏｒａｋ　Ｓ　Ｌ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆａｓｔ　ｆｃＩｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ　ｔＯ　ｔｈｅ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｆｏｒ　ａ　５　结束语　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｄｉｐｏｌｅ　ａｂｏｖｅ　ａ　ｈａｌｆ－ｓｐａｃｅ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　ｔｒａｎｓ，１９９２，ＡＰ一４０（７）：７９８—８０５．　［６］江滨浩，刘永坦．有限导电平面上电偶极子电磁场的　本文利用静电场（稳恒电场）的镜像法，在空　解析公式［Ｊ］．电波科学学报，１９９９，１４（１）：１３—１６．　气一海水一海床３层模型下，在电磁场惟一性原理　［７］卢新城，龚沈光，周　骏，等．深海中极低频时谐垂直　的基础上，推导了海水中任意方向直流电流元在　电偶极子电磁场的解析解［Ｊ］．武汉理工大学学报：交　海水中产生的标量电位的分布及静态电场的解析　通科学与工程版，２００３，２７（６）：７４６—７４９．　表达式，并进行了仿真计算及实验验证，实测结　Ｅ８］孙　明．舰船感应电场和极低频电场研究［Ｄ］．武汉：　果和理论计算结果进行了对比，结果表明镜像法在　海军工程大学信息工程学院，２００３：１２—２５．　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｆｉｅｌｄ　Ｐｒｏｄｕｃｅｄ　ｂｙ　Ｓｔａｔｉｃ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｄｉｐｏｌｅ　Ｌｏｃａｔｅｄ　ｉｎ　Ｓｈａｌｌｏｗ　Ｓｅａ　ｗｉｔｈ　Ｍｉｒｒｏｒ　Ｉｍａｇｅ　Ｔｈｅｏｒｙ　Ｃｈｅｎｇ　Ｃｏｎｇ　Ｌｉ　Ｄｉｎｇｇｕｏ　’　Ｇｏｎｇ　Ｓｈｅｎｇｕａｎｇ。’　’（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎａｖａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ　４３００３０，Ｃｈｉｎａ）　（Ｄｅｐｔ．ｏｆ　Ｗｅａｐｏｎｒｙ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｖａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｗｕｈａｎ　４３００３０，Ｃｈｉｎａ）。　ｉｍａｇｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ　ｆｉｅｌｄ．Ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｃａｌａｒ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｉｃ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｃａｓｅ　ｏｆ　ｓｈａｌｌｏｗ　ｓｅａ　ａｎｄ　ａ　ｓｔａｔｉｃ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｄｉｐｏｌｅ　ｓｏｕｒｃｅ　ｈａｖｅ　ｂｅｅｎ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｉｎ　ｌａ—　ｂｏｒａｔｏｒｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓｃａｌａｒ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｉｎ　ｓｅａｗａｔｅｒ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｍｅａｓｕｒｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｕ】ｔｓ　ｏｆ　ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　ａｃ—　ｃｏｒｄｅｄ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ，ａｎｄ　ｔｈｕｓ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｃｔｎｅｓｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｏ．ｉＳ　ｖａｌｉｄａｔｅｄ．Ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｐｒｏｖｉｄｅ　ａ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａＩ　ｂａｓｅ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｍｏｄｅｌｉｏｇ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｉｃ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ａ　ｓｈｉｐ　ｏｒ　ｏｔｈｅｒ　ｕｎｄｅｒｗａｔｅｒ　ｗｅａｐｏｎｒｙ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｄｉｐｏｌｅ；ｍｉｒｒｏｒ　ｉｍａｇｅ　ｔｈｅｏｒｙ；ｓｃａｌａｒ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ；ｓｔａｔｉｃ　ｅｌｅｃｔｒｉｃ　ｆｉｅｌｄ；ｓｈａｌｌｏｗ　Ｓｅａ