北京中考试数学试卷

数学试卷

考生须知：

1. 本试卷共4页，28道题；满分120分；考试时刻120分钟。 2. 试题答案一律填涂、书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3. 认真填写学校名称、姓名和准考证号。

4. 解题前，请认真阅读答题卡的要求，按要求解答。解答题要写明要紧步骤，结果必须明确。 5. 作答用笔要求请见答题卡。 一. 选择题：（本题共40分，第1~8题各3分，第9~12题各4分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。 1. 图1是圆规示意图，张开的两脚所形成的角是（ ） A. 平角 B. 钝角 C. 直角 D. 锐角

图1

1的算术平方根是（）4

1111A. B. - C. D. 22162 2. 3. 从“第二届互联网大会”上获悉，中国的互联网上网用户已超过7800万，居世界第二位。7800

万用科学记数法表示为（ ）

A. 7.8×106 B. 7.8×107 C. 7.8×108 D. 0.78×108

x20,4.不等式组的解集为（x10

B.x2 A.x1 C.1x2）

D.x1或x2

B.a10a2a5 D.4aa3a

5. 下列各运算中，结果正确的是（ ）

3412A.aaa

C.aaa

2356.在反比例函数y2的图象上的一个点的坐标是（x）

A.2，1B.2，1

1C.2，2 1D.，22

7. 若两个圆只有两条公切线，则这两个圆的位置关系是（ ）

A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 内含

228.若a的值使得x4xa(x2)1成立，则a的值为（

）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

9.在ABC中，C90°，若cosB32333，则sinA的值为（212

）

A.3B.C.D. 10. 如图2所示，在圆O中，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C。若AO=5，OC=3，则弦AB的长为（ ）

A. 10 B. 8 C. 6 D. 4

图2

11. 多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果是（ ） A.(ab)(abc) B.(ab)(abc) C.(ab)(abc) D.(ab)(abc)

12. 图3是饮水机的图片。饮水桶中的水由图4的位置下降到图5的位置的过程中，假如水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（ ）

图3 图4 图5

y y y y O A x O B x O C x O D x

二. 填空题：（本题共28分，第13~19题每空3分，第20题4分）

13. 已知梯形中位线的长为6，下底的长为7，那么上底的长为______________。

xy5,xy5,xy5,14.方程组2可化为两个方程组2xy0,xxy2y0

15. 下表是食品营养成份表的一部分（每100克食品中可食部分营养成份的含量）

蔬菜种类 碳水化合物（克） 绿豆芽 4 白菜 3 油菜 4 卷心菜 4 菠菜 2 韭菜 4 胡萝卜（红） 7

在表中提供的碳水化合物的克数所组成的数据中，中位数是______________，平均数是______________。

16.已知3x|2xy|0，那么xy的值为.

17. 假如圆柱的底面半径为3cm，母线长为3cm，那么那个圆柱的侧面展开图的面积是______________cm2。

18. 某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图6所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为_______________cm。

图6

 19.如图7所示，在圆O中，ABACCD，AB3，AEED5，则EC的长________________。

为

图7

20. 观看下列各等式：

262，2464 532，5434 712，7414 1022，10424

)2成立)4

(20 依照以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式204(

三. （本题共23分，第21题5分，第22~24题各6分）

2121.计算：(314.)02 31

x15x22.解方程6.xx1

23. 已知：如图8所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且CE=CF。 （1）求证：ABEADF；

（2）过点C作CG//EA交AF于H，交AD于G。若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHC

的度数。

2

图8

24. 已知：如图9所示，梯形ABCD中，AD//BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，

BDBC43，求梯形的面积。

图9

四. （本题共13分，第25题6分，第26题7分） 25. 列方程（组）解应用题：

在某校举办的足球竞赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某班足球队参加了12场竞赛，共得22分。已知那个队只输了2场，那么此队胜几场？平几场？ 26. 已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m。 （1）试分别判断当a1，c3与a2，c2时，m4是否成立，并说明理由；

（2）若关于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值。

五. （本题共16分，第27、28题各8分）

27. 已知：如图10所示，A、K为圆O上的两点，直线FN⊥MA，垂足为N，FN与圆O相切于点F，∠AOK=2∠MAK。

（1）求证：MN是圆O的切线；

（2）若点B为圆O上一动点，BO的延长线交圆O于点C，交NF于点D，连结AC并延长交NF于点E。当FD=2ED时，求∠AEN的余切值。

图10

28. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，2），以OA为直径作圆B。若点D是x轴上的一动点，连结AD交圆B于点C。

（2）过点D作DP//y轴与过B、C两点的直线交于点P，请任意求出三个符合条件的点P的坐标，并确定图象通过这三个点的二次函数的解析式；

（3）若点P满足（2）中的条件，点M的坐标为（-3，3），求线段PM与PB的和的最小值，并求出现在点P的坐标。

（1）当tanDAO1时，求直线BC的解析式；2

北京市2004年高级中等学校招生统一考试（海淀卷）

数学试题参及评分标准

一. 选择题：（本题共40分，第1~8题各3分，第9~12题各4分） 1. D 2. A 3. B 4. C 6. A 7. B 8. C 9. B 11. A 12. C

二. 填空题：（本题共28分，第13~19题每空3分，第20题4分）

5. D 10. B

13. 5 14. x+2y=0 15. 4，4 16. 9 17. 18π 18. 13 19. 2 20. -12，-12

三. （本题共23分，第21题5分，第22~24题各6分）22(314.)01 21. 解：312 2(31) (31)(31)143分

313

325分

22. 解：方法一：方程两边同乘以x(x+1)，得

(x1)25x26x(x1)2分

整理得4x=1 1

x45分

经检验，x1 4是原方程的根

原方程的根为x146分

设x1 方法二：

xy，1分

原方程变形为y5

y62分

y26y50 解得y11，y254分

x11，此方程无解；x x1当y5时，5，x

当y1时， 去分母，得x+1=5x，

x145分

1是原方程的根。4

1原方程的根为x.6分4

经检验，x 23. （1）证明：四边形ABCD是菱形， ABADBCDC， BD， CECF， BEDF1分

2分

3分

　4分

ABEADF。 （2）解：ABEADF, DAFBAE25° 四边形ABCD为菱形， BADBCD130° EAF80° CG//EA，

EAHAHC180° AHC100°5分

6分

图1

24. 方法一：过点B作BE⊥DA交DA的延长线于E。 1分 BAD120° EAB60° BD平分ABC， 12 AD//BC 32 1330°2分

在Rt△BDE中， BD43，

BE12BD23，EDBDcos30°分

在Rt△BEA中，

AEBEcot60233

32

ADEDAE6245分

S1梯形2(ADBC)EB12443234312

图2

方法二：过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥BC于F。 1分 ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 ∵AD//BC，

6分

∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3 ∴AB=AD

∵∠BAD=120°

∴∠2=∠3=∠1=30° 2分 BD43

ED1BD2323分

在RtAED中，AD

234cos30°4分

在RtBFD中，DF

S梯形1BD235分2

11(ADBC)DF443234312226分

图3

四. （本题共13分，第25题6分，第26题7分）

25. 解：设这支足球队胜x场，平y场。 1分 依题意，得

xy212, 3xy22. 解那个方程组，得

4分

x6 y45分

答：这支足球队胜了6场，平了4场。 6分 26. 解：（1）当a1，c3时，m4成立； 当a2，c2时，m4不成立。

2当a1，c3时，原方程为x2x30，则x11，x23

m1(3)164，

2 即m≥4成立。

2当a2，c2时，原方程为2x4x20

2由4220，可设方程的两根分别为x1，x2

则x1x22，x1x222

22m(xx)(xx)4x1x24224， 1212

即m4不成立。3分

（2）依题意，设原方程的两个实数根是x1，x2，

c则x1x22，x1x2.a

4c可得m(x1x2)24a

对于任意一个非零的实数a都有44c4，a

c05分

6分

2当c0时，a0

c0，m47分

五. （本题共16分，第27、28题各8分）

27. （1）证明：如图4所示，延长AO交圆O于G，连结KG，则AG为直径。 AKG90° 22G， 又221， G1 G390°

MAO1390° 点A在圆O上， MN是圆O的切线。2分

（2）解：依题意，分两种情形：

情形一：如图5所示，连结AB，OF。BC为圆O的直径， BAC90° FNMA于N， ANE90° MN是圆O的切线， 1B 42 又23， 43 DCDE。 NF切圆O于F， OFN90° 又NAO90° 四边形AOFN是矩形 OAOF，

矩形AOFN是正方形 ANNFOF NF切圆O于F，

4

图 FDDCDB

设圆O的半径为r，ED=x。 FD2ED， (2x)x(x2r)

22解得x

2r3

在AEN中，ANE90°

cotAENNENFFE3r3.ANANr6分

图5

情形二：如图6所示，设圆O的半径为r，ED=x。

类似地，有x

2r3

在AEN中，ANE90°，

1rNENFFE31cotAENANANr3

1AEN的余切值为3或。8分3

图6

28. 解：（1）如图7所示，当点D在x轴的正半轴上时，连结OC，过C点作CK⊥y轴于点K。 OA为圆B的直径，点C在圆B上， ACO90° 12

12

1tan2.2

tan1 设OK的长为x，则KC=2x，可得AK=4x 点A的坐标为（0，2），OKKAOA 点B的坐标为（0，1），5x2.

25

4KC5

x24点C的坐标为，55

设直线BC的解析式为ykx1(k0)

24k155

3k4

得3直线BC的解析式为yx14

当点D在x轴的负半轴上时，同理可得直线BC的解析式为y

3x14 2分

33满足题意的直线BC的解析式为yx1或yx1.44

图7

（2）∵DP//y轴， DPx轴。

当点D位于如图7的位置时，有D（1，0）。

可得P点的纵坐标为y

3111.44

1点P的坐标为1，4

如图8所示，当点D的坐标为（2，0）时，△AOD为等腰三角形。

连结OC，

OA为圆B的直径， OCAD C为AD中点 BC//OD 又DP1//y轴， 点P1的坐标为（2，1）

图8

如图9所示，类似地，可得点P2的坐标为（-2，1）

2设图象经过P、P、P三点的二次函数的解析式为yaxbxc(a0) 12

14abc,得14a2bc,14a2bc 1a,4解这个方程组，得b0,c0.

∴图象经过这三个点的二次函数的解析式为y

12x.46分

图9

（3）如图10所示，∵AB//PD，

PDx轴，ABBCDPPC

ABBC，

DPPC

PMPBPMPCBC PMPDBC

由几何知识可知，当直线DP通过点M（-3，3）时，PM+PD的值最小。 又BC是圆B的半径，

∴当直线DP过点M时，PM+PB的值最小。 ∴PM+PB的最小值是MD+BC=3+1=4 7分 ∵OD=3，OA=2 由勾股定理有AD ODDCAD

213

又可证DO是圆B的切线。

CD

94，则AC1313 ABDC9AC4

　8分

可求DP9点P的坐标为3，4

图10