共轭对合矩阵的若干结果

第１０卷第９期　南阳师范学院学报　Ｖｏ１．１０　ＮＯ．９　２　０　１　１年９月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｓｅｐ．２０１１　共轭对合矩阵的若干结果　黄允发　（韩山师范学院数学与信息技术系，广东潮州５２１０４１）　摘　要：利用分块矩阵乘法，讨论了共轭对合矩阵的一些性质以及与准对角矩阵、次准对角矩阵、　－可逆矩阵的联系　获得了一些新的结论．　关键词：共轭对合矩阵；准对角矩阵；次准对角矩阵；Ｋ－可逆矩阵　中图分类号：０　１５１．２ｌ　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７１—６１３２（２０１１）Ｏ９—００２４一Ｏ３　１　引言及定义　共轭对合矩阵是与对合矩阵相近的但又是不同的矩阵，例如（一０ｆ　）是对合矩阵，但不是共轭对合矩　阵，而ｆ：　）是共轭对合矩阵，但不是对合矩阵．特别地，对于实矩阵来说，对合与共轭对合是一致的，共　轭对合矩阵与对合矩阵在矩阵理论中都起着重要的作用．本文在共轭对合矩阵以及分块矩阵乘法的基础　上，讨论了共轭对合矩阵的一些性质以及与准对角矩阵、次准对角矩阵、Ｋ．可逆矩阵的联系，获得了一些新　的结论．本文用ｊ　、，　表示ｎ阶、２ｎ阶单位矩阵，　表示矩阵Ａ的共轭矩阵，Ａ‘表示矩阵Ａ的伴随矩阵，ＩＡ１　表示矩阵Ａ的行列式，记２ｎ阶矩阵Ｋ＝ｆ　］，ｃ　表示所有ｍ阶复方阵的集合，Ａｏ　表示矩阵Ａ　与Ｂ的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积…．本文在没有特殊声明的情况下所提的矩阵均指复方阵．　定义１　Ｅ∈Ｃｎ　ｘ　ｎ称为共轭对合矩阵或圆矩阵，如果Ｅ　＝，　．　定义２　Ａ　Ｅ　ｃｎ　ｘ　ｎ称为对合矩阵，如果Ａ　＝，　．　定义３…　设Ａ，Ｂ∈Ｃ　“　，若ＡＢ＝ＢＡ＝Ｋ，则称Ａ为Ｋ．可逆矩阵．　定义４　设Ａ∈２ｎ￣２ｎ若Ａ　Ｉ　Ａ，】，其中　是ｎ阶方阵　：ｌ，２）＇则称Ａ为准对角矩阵；若Ａ＝　，０　Ａ，、　Ｉ．１＾，　　Ｕ　ｊＩ　，则称Ａ为次准对角矩阵．　引理１　设Ａ，Ｂ，ｃ，Ｄ为ｎ阶方阵，则（ＡＱＢ）（ｃｏＤ）：ＡＣ￣ｎＯ．　２　主要结果　定理１　若Ａ∈Ｃ　为共轭对合矩阵，则Ａ　也为共轭对合矩阵．　证明：因Ａ为共轭对合矩阵，所以ＡＡ＝ＡＡ＝ＡＡ＝Ｉｎ，而　‘Ａ　＝Ａ　Ａ’＝Ｊ　Ｉ　Ｉ　Ｊ』４～＝　ｌＡ　ｌ　ＩＡ　ＩＡ　Ａ。。＝ＩＡＡ　ｌ（ＡＡ）～＝，　，故Ａ　为共轭对合矩阵．　定理２若Ａ，Ｂ∈Ｃ　为共轭对合矩阵，则Ａｏ　也为共轭对合矩阵．　证明：因Ａ，日为共轭对合矩阵，所以ＡＡ：，　，ＢＢ＝，　，而（Ａｏ　（ＡｏＢ）＝（ＡＯＢ）（Ａ＠Ｂ）＝　（ＡＡ）ｏ（ＢＢ）＝Ｉｎ⑧，　＝，　故ＡｏＢ为共轭对合矩阵．　收稿日期：２０１１—０３—０１　基金项目：韩山师范学院大学生创新性实验（实践）项目（２００９—３６）　作者简介：黄允发（１９８５一），广东汕头人，主要从事高等代数研究．　第９期　黄允发：共轭对合矩阵的若干结果　・２５・　定理３　若　Ｅ　ｃ　为共轭对合矩阵，则　＿　ｉ（ＩＨ。　　］也为共轭对合矩阵．　证明：因Ｈ　为共轭对合矩阵，所以　＝，　，而　２　所以Ｈ　为共轭对合矩阵．　定理４设日　Ｅ　ｃ　ד为共轭对合矩阵，Ｂ　１（，　＋日　），则　为共轭对合矩阵的充要条件是日ｎ＋　＝。　证明：必要性．因Ｈ　，Ｂ为共轭对合矩阵，则日　一Ｈ＝ｎ，　，Ｂ百：，　，而　Ｂ　：１（１　＋日　）　（丽）：ｌ（ｉ　＋Ｈａ）（，　＋　）：　（，　＋　＋　＋日　）：　，／２，／２　一　÷（　＋　＋日　）＝　＋　１（　＋　）＝　故Ｈ　＋　＝０．　充要性．因日　为共轭对合矩阵且Ｈ　＋一Ｈ：０●，而　一２　Ｂ　：　１（，　＋日　）　（丽）：－（Ｉ　＋日　）（，　＋　）　＝一　÷（，　＋　＋　＋　）＝丢（，＼　●●　●　一　　＋　＝，●　√２　√２　Ｊｌ，故　Ｂ为共轭对合矩阵．　…　…对合　＝　为共轭对合矩阵的充　要条件是Ｈ　＋Ｈ　＝０．　证明：必要性．因Ｈ　，Ｍ为共轭对合矩阵，所以Ｈ　Ｈ　＝，　，ＭＭ＝，　．而　［　Ｉ，ｌ　ｌ（Ｈ，　ｎ　÷　，　＝　巩日　，＋　—　÷　故Ｈ　＋Ｈ　＝０．　充要性．因Ｈ　为共轭对合矩阵，且Ｈ　＋Ｈ　＝０，则　１（２１一　，　。故Ｍ为共轭对合矩阵．同理可证得Ｎ为共轭对合矩阵的充要条件是Ｈ　＋日　＝０．　定理６若日　为共轭对合矩　（　：］，则Ｆ与　互为　＿可逆矩阵，即Ｆ　：　Ｆ＝Ｋ　ｉｔ明：因Ｈ　为共轭对合矩阵，所以Ｈ　Ｈ　：Ｈ　Ｈ　＝Ｈ　日　＝，　，而　Ｆ　（　１／一　２　＝０Ｌ　…　…，　故Ｆ与　互为Ｋ．可逆矩阵．　定理７若　Ｅ　ｃ　“为共轭对合矩阵，．ｓ＝　ｆ　ｓ　可逆　矩阵．　证明：因日　为共轭对合矩阵，所以日　Ｈ　＝Ｈ　Ｈ　＝Ｈ　Ｈ　＝，　，而　・２６・　南阳师范学院学报　第１Ｏ卷　ｓ　（　（　￣ｌ＝ｉＩ一老　Ｈａ＋　Ｈ．Ｈ“］＝０Ｌ　ＩｏＩ　定理８若Ｈ　为共轭对合矩　＝　ｎ］，则存在矩阵Ｑ＝（：＝　，使得　ＡＱ＝　Ａ与　相似．　１日　一Ｈ　Ｊ　证明：由于Ｑ　＝（　］（　二　］＝２（　］，故Ｑ～＝÷Ｑ，所以　Ｑ　ＡＱ＝÷（　二　］（　］（　二　］＝÷（　：　二Ｈｎ　］（　一Ｉｎ　］　２【日　二一　：日　＋　日Ⅳ　＋日　一Ｈ等　Ｈｒ　Ｈ　一　Ｈ　一　Ｈ　Ｊ　　、　Ｈａ一　ＪＨ　　定理９若　ｃ…为共轭对合矩　＝　Ｈｎ　为准对角矩阵．　—证明：因Ｈ　为共轭对合矩阵，则Ｈ　一Ｈ：Ｈｎ—Ｈ一＝ｎ．ＨｎＨ　＝Ｉｎ，而　Ａ　＝（　］日　一　ｊＨｎ　　（　－日　／－　Ｈｎ］　一＝ｆＨ—ｎＨ　二　Ｈ　Ｈ日　参二＋　Ｊ　］　＝（　０＋　Ｈ：：＋　］　：／　，定理・。若日　Ｅ　ｃ　为共轭对合矩阵，ｓ磅（　］，则　为次准对角矩阵．　—证明：因Ｈ　为共轭对合矩阵，所以Ｈ　一ＨＨｎ—Ｈ一：＝ｎ．ＨｎＨ　＝ｊ　，而　ｓ　（　Ｈ．Ｊ］￣　ｆｔ，－　．　］＝丢（　ｎ－暑Ｈｎ　一　］＝　扣　扣］　故ｓ　为次准对角矩阵．　致谢：感谢韩山师范学院刘玉教授的指导！　参　考　文　献　【１］方保镕，周继东，李医民．矩阵论［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４．　［２］　陈景良，陈向晖．特殊矩阵［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００１．　［３］　黄允发．Ｋ．可逆矩阵与Ｋ－可换矩阵［Ｊ］．韩山师范学院学报，２００９，３０（６）：２１—２５．　［４］　黄允发．　可换矩阵与Ｋ－反可换矩阵的性质［Ｊ］．南阳师范学院学报，２０１０，９（６）：１１—１３　ｆ５］　张贤达．矩阵分析与应用［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４．　●一２　十　０　第１０卷第９期　２　０　１　１年９月　南阳师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎａｎｙａｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．１０　ＮＯ．９　Ｓｅｐ．２０１１　金属流体钾在极端条件下的电导率研究　周大伟，宋金瑶，李根全　（南阳师范学院物理与电子工程学院，河南南阳４７３０６１）　摘要：采用基于第一原理的从头算分子动力学和Ｋｕｂｏ－ＧｒｅｅｎＷｏｏｄ公式计算了不同密度和温度下金属流体Ｋ的电导　率．发现随密度的增加，金属流体Ｋ的电导率先增加后减小，并且在０．７５ｐ。（Ｐ。为通常条件下的固体Ｋ的密度）密度处形成　一个电导率最大值．通过分析流体Ｋ的电子结构，对其电导率随密度变化呈现不同趋势的原因进行了探讨．　关键词：从头算分子动力学；电导率；流体　中图分类号：Ｏ　４６９　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７ｌ一６１３２（２０１１）０９—００２７—０４　０　引言　物质的电导率因物质的不同而有非常大的变　化．比较金属和理想半导体的电导率，会发现一个　的相变过程中出现了与金属Ｎａ和重碱金属Ｒｕ、Ｃｓ　相同的结构，这意味着金属Ｋ是金属Ｎａ、Ｒｕ和Ｃｓ　之间的过渡元素，因此出现在金属Ｌｉ、Ｎａ中的奇特　电子结构特征也可能出现在金属Ｋ中．其中金属　数量级高达１０”的变化，这可能是除了压力之外，　最大的变化物理量之一．虽然对于简单金属在正常　条件下的电导的理论解释是比较直观和简单的，但　是在低密度和高密度下金属电导率的变化出现非　常大的起伏，不能够采用简单金属的模型进行描　述．例如，如果金属流体在超过熔点热膨胀到临界　区域，由于电子局域在原子周围，金属就会发生从　Ｌｉ流体的电导率随密度变化已经被理论预测　；　其电导率随着压力的增加不是上升，而是一直下　降．本文采用从头算分子动力学和Ｋｕｂｏ．Ｇｒｅｅｎ．　Ｗｏｏｄ公式相结合对流体Ｋ的电导率进行了计算，　期待能够给出其电导率变化的清晰的物理图像和　详细解释．　金属到绝缘体的相变．因此它是涉及关联、热激发、　无序等等的多体量子问题，如此等等，引起了人们　的广泛兴趣．　１　计算方法和细节　对于金属Ｋ性质的计算过程，采用Ｖｉｅｎｎａ　ａｂ．　ｉｎｉｔｉｏ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　Ｐａｃｋａｇｅ（ＶＡＳＰ）软件包　．离子和　碱金属在通常条件下被称为“简单金属”，但　是最近发现，Ｌｉ、Ｎａ在高压下呈现出复杂的结构和　奇异的电子结构¨　．金属Ｋ由于其处于金属Ｎａ　电子的相互作用采用投影扩充波（ＰＡＷ）方法描　述　，由于涉及在高压下进行计算，所以采用３ｐ　、　４ｓ　共７个电子作为价电子，交换关联泛函选为　ＰＢＥ　，在状态方程和焓曲线计算过程中采用截断　和重碱金属Ｒｕ和ｃｓ之间，实验发现其在高压下　Ｓｏｍｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｂｏｕｔ　ｃＯｎｉｎＶＯｌｕｔｏｒｙ　ｍａｔｒｉｘ　ＨＵＡＮＧ　Ｙｕｎ．ｆａ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｎｓｈａｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｏｚｈｏｕ　５２　１　０４　１，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｂｌｏｃｋ　ｍａｔｒｉｘ　ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｓｏｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｃｏｎｉｎｖｏｌｕｔｏｒｙ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｎｉｎｖｏｌｕｔｏｒｙ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ａｌｍｏｓｔ　ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ，ａｌｍｏｓｔ　ｓｕｂ—ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ，Ｋ—ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｍａ・　ｔｒｉｘ，ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅ　ｓｏｍｅ　ｎｅｗ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｉｎｖｏｌｕｔｏｒｙ　ｍａｔｒｉｘ；ａｌｍｏｓｔ　ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ；ａｌｍｏｓｔ　ｓｕｂ－ｄｉａｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ；Ｋ—ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｍａｔｒｉｘ　收稿日期：２０１１—０４—２０　基金项目：河南省科技攻关项目（１１２１０２２１００１９），河南省科技厅基础与前沿研究项目（１１２３００４１０１２１）　作者简介：周大伟（１９７８一），吉林四平人，博士，讲师，主要从事第一原理和高压物性计算．