三角形的五心问题

三角形的五心问题

一．重心：中线交点 1.AG:GD2:1 2.AD3.SGBC2A111AB2AC2BC2 2241SABC 3222222FGBDEC4.（1）BC3GACA3GBAB3GC(2)GAGBGC2222(AB2AC2BC2) 32221(AB2AC2BC2) 3(3) GAGBGC最小。

二．外心：三边中垂线交点，外接圆圆心。 如图，OEBC交BC于D。 1.OAOBOCR

2.BOC2A（非钝角三角形） BOC2(180A)（钝角三角形） 3.BDDC,BEEC 4.SABCBAOCDEabc 4R三．内心：角平分线交点，内切圆圆心。

设ABC的内切圆O切边AB于点P，AI（I为内心）的延长线交外接圆于D，内切圆半径为r，则

A1A 2A12.APrcot(bca)

223.DBDCDI

r4.SABC(abc)

21.BIC90四．垂心：高线的交点

设O,G,H分别是ABC的外心、重心和垂心，

PIOCBDAODBC于D，AH的延长线交外接圆于H1,则

1.AH2OD

2.H与H1关于BC成轴对称。

BFHGODCH13.

BCH与ABC的半径相同。

4.ABHCBO,BCOACH,BAHCAO

5.旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个内角的角平分线相交于一点，这个交点即为三角形的旁心。

设在ABC中，A内的旁切圆

I1（半径为

P2CI1r1）与AB的延长线切于P1，则

1A 2A12.APrcot(abc) 112213.AI1BC

214.SABCr1(bca)

21.BI1C90ABP1例1：如图，设I是ABC的内心，M,N分别是边AB,AC上的点，且使得

ABINIC,ACIMIB。求证：点M,N,I三点共线。

AMIBNC例2：BC为圆O的直径，A为圆O上一点，0AOB120，D是弧AB（不含C的弧）的中点，过O平行于DA的直线交AC于I，OA的垂直平分线交

O于E,F。求证：

I是CEF的内心。

ADEBOICF例3：点A在KMN内，点B在KM上，点C在MN上。若CBMABK,

BCMACN.求证：BCM的外心在AM上。

B

A NMC

例4：设O为ABC的外心，ABAC,D是AB中点，G是ACD的重心，连接AO并延长交CD于M，连接CG并延长交AB于E。求证：OGCD.

A

E GDO

M

C B

例5：在锐角ABC中，ACBC,ADBC于D，BEAC于E，AB2DE,O,I分别是ABC的外心和内心，取AB的中点M，连接EM,DM,AO,BO,BI.求AIO.

KCEOIDAMB作业：

1.如图，I是ABC的内心，I关于边BC,CA,AB的对称点分别为A,B,C.证明：若

ABC的外接圆过点B，则ABC60。

B'AC'CBA'2.如图，在ABC中，A的平分线与外接圆交于点D,I是内心，M为BC中点，P为I关于M的对称点，延长DP与外接圆相交于N。求证：线段AN,BN,CN中有两个的和等于第三个。（提示：面积法）

AIBNPDMC3.已知在ABC中，由点A分别向B和C的平分线引垂线，垂足分别为A1和A2，同理，定义B1,B2和C1,C2.求证：2(A1A2B1B2C1C2)ABBCCA.（52页）

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