龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
离心率的求法探究
作者：白 雪
来源：《中学教学参考·理科版》2011年第04期
求椭圆与双曲线离心率和范围是圆锥曲线这一章的重点题型.下面从几个方面谈谈如何确定椭圆、双曲线的离心率e和及其范围. 一、 直接求出a、c，求解e
已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=ca来求解. 【例1】过双曲线M：
-＞0)
的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）. A. 10B.5 C.103 D.52
解：易知A（-1，0），则直线l的方程为y=x+1.直线与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为
-1b+1，
、C(1b-1，bb-1)，又|AB|=|BC|，可解得
，则c=10，故
有e=ca=10，从而选A.
二、根据离心率的范围，估算e
即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e∈(0，1)，双曲线的离心率e＞1，抛物线的离心率e=1来解决. 【例2】设θ∈(0，π4)，则二次曲线 A. (0，12)B.(12，22) C.(22，2) D.(2，+∞)
解：由θ∈(0，π4)，故有cotθ＞0，tanθ＞0，因此所给的二次曲线是双曲线.由双曲线的离心率e＞1，应排除A、B、C，而选D. 三、构造a，c齐次式，解出e
根据题设条件关系式，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e.
-＝1的离心率的取值范围为（ ）.
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
【例3】 已知
、
是双曲线
-＞0，b＞0) ，若边
的中点在双曲
的两个焦点，以线段线上，则双曲线的离心率是 A. 4+23 B.3-1 C. 3+12 D.3+1 图1 解：如图1， 由｜
｜＝12｜
｜=-（）
为边作正三角形
的中点为P，则点P的横坐标为-c2.
｜=c，
-a，有c=-ca×(-c2)-a，
焦半径公式｜ 即 有
-
-2ac=0，
-2e-2=0，
解得e=1+3(e=1-3，舍去)，选D. 四、 统一定义法
由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题. 【例4】 椭圆
＞0，b＞0)
的左焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点且F分向量BA的比为2/3，求椭圆的离心率e. 解：设点
，，即
，
，-a-，由焦半径公式可得
，所以
-，则
因为直线倾斜角为45°，所以有2e•22｜AB｜｜AB｜，所以e=25.
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系.焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率.一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式. 五、数形结合巧解离心率 图2 如：例4
另解：｜BE｜=1e｜BF｜
｜
｜，｜｜，｜AC｜=22｜AB｜， ∵｜AD｜-｜BE｜=｜AC｜，
∴1e•35｜AB｜-1e•25｜AB｜=22｜AB｜， 即e=25.
(责任编辑 金 铃）
AD｜=1e｜AF｜＝
｜