第一讲
图形计数
课前复习
数一数下面的图形
.
（ 10 ）条线段（ 18 ）个长方形
（ 10 ）个正方形（ 16 ）个三角形（ 8 ）个圆
同学们，我们已经会数平面图形的个数了（如三角形、正方形、长方形、圆形等）这一节我们要一起来学习数立体图形，比如数小方块等，在数这一类图形中，一定要认真仔细观察图形特点及摆布特点，有次序地去数，不能遗漏也不能重复，只有这样我们才能又快又准的数出这些图形的个数
同学们，加油吧！
实践应用
【例1】
下面的这堆木方块共有多少块
?
【分析】引导学生按顺序来数，可以一层一层的数；也可以一排一排的数；还可以先数看得见的，再数看不见的，我们一般根据图形的特点来选择合适的方法.
（1）3+1=4（块）（2）5+2=7（块）（3）7+4=11（块）
（4）4×2=8（块）
.
.
拓展训练
数一数，下面的方块各有多少？
（ 9 ）块（ 10 ）块（ 9 ）块
列式：5+4=9（块）或：4+3+2=9（块）
列式：6+3+1=10（个）列式：6+3=9（块）或：5+4=9（块）
（ 12 ）块（ 16 ）块（ 12 ）块
列式：6×2=12（块）
【例2】
列式：9+5+2=16（块）
?
列式：9+3=12（块）
下面的图形中一共有几个小方块
【分析】这个图形的数法非常多，在众多的方法中要经过比较，找到最简便的方法：
拓展训练
这堆方木块共有多少块?
方法一：分层数：一共有木方块方法二：分列数：6×６=36(块)
【例3】
下面这堆木方块共有多少块
6+12+18=36(块)或6×6=36（块）.
?(中间打阴影部分是空心)
【分析】因为中间是空心的，所以一层只有延伸：
想一想还可以怎样数
?
8块，一共8×４=32(块).
方法二：第一列有 12+8+12=32
12个，第二列有（块）
8个，第三列有12个，一共有：
4个，
方法三：不看阴影部分一共有：12×3=36（块），中间缺得部分是
一共有方块：36-4=32（块）
拓展训练
下图由多少块正方体组成?（中间阴影部分是空心的）
【分析】虽然部分方块被遮住了，但是我们还是可以发现，如果不看中间空心的部分，每边是共3层.
方法一：9+6+9=24（块）或3×8=24（块）方法二：一层方法三：3×9-3=24（块）
8个，共8×3=24（块）
3个方块，
【例4】数一数，图1和图2中各有多少黑方块和白方块?
【分析】
图1：仔细观察图1，可发现黑方块和白方块同样多．因为每一行中有4个黑方块和
4个白方块，共有
行，所以黑方块是：4×8＝32(个)；白方块是：4×8＝32(个). 图2：再仔细观察图
2，从上往下看：第一行．白方块
5个，黑方块
4个；，
第二行
白方块4个，黑方块
5个；
第三、五、七行同第一行，第四、六、八行同第二行；但最后的第九行是白方块
5个，黑方块4个．可见白方块总数比黑方块总数多
1个．
白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4＋5＝41(个) 黑方块总数：4+5+4-5+4+5+4＋5+4＝40(个) 再一种方法是：
每一行的白方块和黑方块共9个．
共有9行，所以，白、黑方块的总数是：
9×9＝
81(个)．
由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是
41个，黑方块是
40个．
【例5】书库里把书如图所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？
【分析】
方法1：从左往右一摞一摞地数：
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135（本）. 方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成
.长方形中的书 10×11=110 三角形
中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
总数：110+25=135（本）.
【例6】请你数一数，这个跳棋盘上可以放多少个棋子？
【分析】要知道可以放多少个棋子，就要数有多少个棋孔.因为棋孔较
多，应找出排列规律，以便于计数
.仔细观察可知，图中大三角
形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，
7，8，9，10，11，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是
1，
2，3，所以棋孔总数是：
（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）+（1+2+3）×3=66+6×3=84（个）.
8
【例7】 (1)3 (2)4 (3)5
将10个小长方体组成一个“工
? ? ?
\"字形，再将表面涂成蓝色，然后把小正方体分开，
面涂成蓝色的小长方体有几个面涂成蓝色的小长方体有几个面涂成蓝色的小长方体有几个
【分析】整个图形表面涂成蓝色，只有那些“黏在一起”的面没有被涂色.左、右两端中间各有4个小正方体4面涂色，剩下的涂成蓝色的小正方体有蓝色的有4个.
1个小正方体3面涂色，中间的4个小正方体都是
5面涂色.3面4个；5面涂成
2个；4面涂成蓝色的有
【例8】一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在
这些切成的小立方体中，问：（1）1面涂成红色的有几个？（2）2面涂成红色的有几个？（3）3面涂成红色的有几个？
【分析】仔细观察图形，并发挥想象力，可知：
（1）上下两层中间的（2）每层四边中间的（3）每层四角的
2块只有一面涂色；1块有两面涂色，上下两层共
2+8+8=18（个）.
8块；8块.
4块有三面涂色，上下两层共有
最后检验一下小立体总块数：
【例9】一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”
完全拆开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块？
【分析】3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）附加题（以下提供的内容，供老师参考使用）
1.如图所示为一块地板，它是由
1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成．问这三种瓷砖各用了多少块
【分析】因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行分类数，再进行统计：
.
?
1统计： 2 3
号瓷砖共12块号瓷砖共16块号瓷砖共8块
总数：36块．
2.下图中还差多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？
【分析】先从整体上考虑组成一个较大的正方体需要多少个小正方体，再数出已有的小正方体的个数，便能得出相差的个数已有小正方体个数：还差正方体个数：
.
3×3×3＝27（个）
9＋6＋3＝18（个）27－18＝9（个）
.
组成较大的正方体需要的小正方体个数：
答：还差9个小正方体可以组成一个较大的正方体
3.染色问题补充：右图是一个正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后沿图中虚线竖直切开的面共有几个？
.没有涂颜色
【分析】先分析能切成多少块，再考虑每块上有几个面没涂颜色
解：2×8＝16(个）4. 下图所示为棱长
.
4厘米的正方体，将它的表面全染成蓝色，然后锯成棱长1厘米的小正方体.
问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？
8块；（2）有2面被染成蓝色的多少块？ 24块；（3）有1面被染成蓝色的多少块？ 24块；（4）各面都没有被染色的多少块？
8
块；（5）锯成的小正方体木块共有多少块？
块.
练
习一
1．图中有多少个小正方体
?
【答案】 7+2=9(个). 2．这堆木方块共有多少块
?你能用几种不同的方法数出来和算出来吗
【答案】6+4+2=12(块)或6×2=12（块）.
3．这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)
【答案】3×3×5-2×3=39(块)或3×3×3+6×2=39（块） 4. 用不同的方法数这两个图形各有多少个方块
?
?
【答案】(1)4+3+1=8(个)；(2)3×2+4=10(个).
5.将8个小立方块组成“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？
【答案】看着图，想象涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数它的上面.3面涂色的小立方体共有面涂色的小立方体共有
3个.
只有那些“粘
6个
.每个小立方体都有
.每个小立方体涂色面数都写在了
4个；5
1个；4面涂色的小立方体共有
数学故事
从一加到一百
高斯有许多有趣的故事，我们也许会怀疑故事的真实性，他总是要发薪水给工人
故事的第一手资料常来自高斯本人，但许多人都证实了他所谈的故事
因为他在晚年时总喜欢谈他小时候的事，. 高斯的父亲作泥瓦厂的工头，
每星期六“爸爸，
.在高斯三岁夏天时，有一次当他正要发薪水的时候，小高斯站了起来说：
.
你弄错了.”然后他说了另外一个数目.原来三岁的小高斯趴在地板上，一直暗地里跟着他爸爸计算该给谁
多少工钱.重算的结果证明小高斯是对的，这把站在那里的大人都吓的目瞪口呆
高斯常常带笑说，他在学讲话之前就已经学会计算了，还常说他问了大人字母如何发音后，就自己学着读起书来.
七岁时高斯进了小学
.大约在十岁时，老师在算数课上出了一道难题：
“把1到100的整数写下来，然
.这个难题当.但他错了，因.考完后，老
1＋100
后把它们加起来！”每当有考试时他们有如下的习惯：第一个做完的就把石板﹝当时通行，写字用﹞面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个一个落起来然难不倒学过算数级数的人，但这些孩子才刚开始学算数呢！老师心想他可以休息一下了为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了，同时说道：师一张张地检查着石板
.大部分都做错了，学生就吃了一顿鞭打
起来，额头都出了汗水，但高斯却静静坐着，对老师投来的，轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意只有一个数字：5050（用不着说，这是正确的答案以答案是
“答案在这儿！”其他的学生把数字一个个加.最后，高斯的石板被翻了过来，只见上面
101的数目，所
.）老师吃了一惊，高斯就解释他如何找到答案：
＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，49＋52＝101，50＋51＝101，一共有50对和为一样，把数目一对对地凑在一起
.
50×101＝5050.由此可见高斯找到了算术级数的对称性，然后就像求得一般算术级数合的过程