【课时训练】第43节 直线的方程
一、选择题
1．(2018广东深圳期末)过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角π
小4的直线方程是( )
A．x＝2C．x＝1【答案】A
3π
【解析】∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为4.则所求直线的
3πππ倾斜角为4－4＝2，斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.
2．(2019合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
0，][4A.
ππ0，](，π)[4∪2C.【答案】B
1
【解析】由直线方程可得该直线的斜率为－a2＋1，又13π
，π
－1≤－a2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是4.
π
，π)[B．4
ππ3π，)[，π)[D．42∪4
3πB．y＝1D．y＝2
[)3．(2018太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
1A.3
3C．－2
1B．－32D．3
【答案】B
【解析】依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有Error!解得
－3－1
1
a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为7＋5＝－3.
4．(2018深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
A B C D
【答案】B
【解析】当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0，选项B符合要求．
5．(2018衡水模拟)已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝3x＋2 B．y＝3x－2
1
C．y＝3x＋2【答案】A
1
【解析】∵直线x－2y－4＝0的斜率为2，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y＝3x＋2.故选A.
6．(2018河北保定模拟)已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为( )
A．4x－3y－3＝0C．3x－4y－4＝0【答案】D
【解析】由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线
1
1
l0：x－2y－2＝0的斜率为2，则tan α＝2，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝
B．3x－4y－3＝0D．4x－3y－4＝0D．y＝－3x＋2
2×
2tan α1－tan2α＝
1－
1
12
4
4
(2)2＝3.所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝3(x－1)，即
B．3D．6xy
4x－3y－4＝0.
7．(2018皖南八校联考)已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是( )
A．2C．4【答案】B
【解析】直线AB的方程为3＋4＝1，则3333
x＝3－4y，∴xy＝3y－4y2＝4(－y2＋4y)＝4[－(y－2)2＋4]≤3，即当P点的坐3，2
标为2时，xy取最大值3.
()二、填空题
8．(2018烟台模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
【答案】－24
k
k＝－24.
9．(2018江西上饶模拟)直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
【答案】(2，－2)
【解析】直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，由Error!解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点(2，－2)．
10．(2018山西运城模拟)一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角
k
kk
【解析】令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝－3.则有4－3＝2，所以
1
等于直线y＝3x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．
【答案】3x－y－3 3＝0
1
【解析】因为直线y＝3x的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k＝tan 60°＝3.
又该直线过点A(2，－3)，
故所求直线为y－(－3)＝3(x－2)，即3x－y－3 3＝0.
11．(2018广东广州调研)已知直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为________．
【答案】x＋y－2＝0
x
11
y
【解析】设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，直线l的方程为a＋b＝1，则ab·＋
a＋b＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·ab＝2＋b＋a≥2＋2ba＝4，
()11ab
当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
12．(2018湖南长沙统一模拟)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
【答案】5
【解析】易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10.
|PA|2＋|PB|2∴|PA|·|PB|≤三、解答题
13．(2018海南中学月考)(1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程；
(2)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若a＞－1，直线l与
2
＝5(当且仅当|PA|＝|PB|时取“＝”)．
x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．
【解】(1)设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b.
xy
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为a＋b＝1.
4－3∵点(4，－3)在直线上，∴a＋b＝1.若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y－7＝0.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.，0)((2)易求Ma＋1，N(0,2＋a)，∵a＞－1，
1a＋2
1[a＋1＋1]2
a＋1
∴S△OMN＝2·a＋1·(2＋a)＝2·
11＝2[(a＋1)＋a＋1＋2]≥2，
1
当且仅当a＋1＝a＋1，即a＝0时取等号．故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.
a＋2