(内容提要)-4--数值微积分

第四章 数值微分与数值积分

1. 差商型数值微分公式

（1）向前差商公式

（2）向后差商公式

（3）中心差商公式

2. 插值型数值微分

（1）两点数值微分公式（n1）一、基本内容提要

f'(x)f(xh)f(x)h

f'(x)f(x)f(xh)h

f'(x)f(xh)f(xh)2h

．96． 实用数值分析解题指导

过节点x0,x1x0h的插值型数值微分两点公式为

f'(x0)L'1(x0)f(x1)f(x0)h

f(x1)f(x0)h

f'(x1)L'1(x1)其截断误差为

R'1(x0)hhf''(0)R'1(x1)f''(1)22，

其中i(a,b)(i0,1)。

（2）三点数值微分公式

过节点xix0ih(i0,1,2)的插值型计算导数的三点公式为

1[3f(x0)4f(x1)f(x2)]2h 1[f(x0)f(x2)]2h

f'(x0)f'(x1)

第四章 数值微分与数值积分 ． 97 ．

f'(x2)1[f(x0)4f(x1)3f(x2)]2h

其截断误差为

h2R'2(x0)f'''(0)3

h2R'2(x1)f'''(1)6

h2R'2(x2)f'''(2)3 i(a,b) (i0,1,2)

（3）二阶数值微分公式

1[f(x0)2f(x1)f(x2)]2h (i0,1,2)

f''(xi)L''2(xi)住：此公式是三点公式。

3. 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式

ban ，取等距节点

将积分区间[a,b]n等分，步长

h

98． 实用数值分析解题指导

xiaih(i0,1,2,...n)

则柯特斯（Cotes）系数

C(n)(1)nknkk!(nk)!n0t(t1)(tk1)(tk1)(tn)dt牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式为

bn(n)

af(x)dx（ba）Ckf(xk)i0

又被称为N-C公式。

下面给出几种特殊的N-C求积公式。

（1）梯形求积公式：

C(1)(1)1当n1时，

0C12，相应的求积公式

bba

af(x)dx2[f(a)f(b)]

称为梯形求积公式。

(k0,1,,n)．

第四章 数值微分与数值积分 ． 99 ．

（2）辛普森（Simpson）公式

141(2)C1(2)C26，6，6，相应的求积公式为

当n2时，

(2)C0a（3）柯特斯（Cotes）公式

bf(x)dxbaba[f(a)4f()f(b)]62

当n4时，令

xkakba4，(k1,2,3,4)，求积公式

abf(x)dxba[7f(x0)32f(x1)12f(x2)32f(x3)7f(x4)]90

称为牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式。

4. 求积公式的代数精度 若求积公式

Akf(xk)af(x)dxi0bn

对任意次数不高于m次的多项式f(x)均精确成立，而对某个m1次的多项式不精确成立，则称该

．100． 实用数值分析解题指导

求积公式具有m次代数精度（Algebraic Accuracy）。

5. 复化梯形积分

ban，节点xkakh , ( k0, 1, ,n)在每个小区间

若将积分区间[a,b]n等分，步长

[xk, xk1] ( k0, 1, ,n1)上用梯形公式

ha并求和

bf(x)dxba[f(a)f(b)]2

abf(x)dxk0n1xk1xkf(x)dx

h [f(xk)f(xk1)]k02

n1h[f(a)f(b)2f(xk)]2k1

n1得到的公式

n1hTn[f(a)f(b)2f(xk)]2k1

第四章 数值微分与数值积分 ． 101 ．

称为复化梯形公式。

6. 复化辛普森（Simpson）积分 若将积分区间[a,b]分成n2m等分，步长

[x2k2, x2k] hban，节点xkakh (k0, 1, ,n)在每个小区间

上使用Simpson公式

abf(x)dxbaba[f(a)4f()f(b)]62

则有

x2kx2k2f(x)dx x2kx2k2[f(x2k2)4f(x2k1)f(x2k)]6

h[f(x2k2)4f(x2k1)f(x2k)]3

bax2kx2k2n2，对其求和可得

其中

hxaf(x)dxk1bmmx2k2k2f(x)dx

h[f(x2k2)4f(x2k1)f(x2k)]k13

．102． 实用数值分析解题指导

mmhm1[f(x2k)4f(x2k1)f(x2k)]3k0k1k1

mm1h[f(a)f(b)4f(x2k1)2f(x2k)]3k1k1

得到的公式

mm1hSn[f(a)f(b)4f(x2k1)2f(x2k)]3k1k1

则称为复化Simpson公式。

7. 龙贝格(Romberg)求积公式

Romberg积分是一种最典型的外推算法，是利用逐次分半的梯形序列算法得到的求积公式。下面对改公式进行详细的介绍：

T，经Richardson 外推

2k对积分

If(x)dxab，使用复化梯形公式并记

ba)k2 (k0,1,)

TnT(k)0I1(再根据Euler-Maclaurin公式，可得

第四章 数值微分与数值积分 ． 103 ．

R(f,T0(k))a1(ba2ba4ba2i)a()a()2ikkk222

1

2，由Richardson 外推公式得

取其中的

q

I2(ba)k2I2(ba12ba)()I1(k)(k1)(k)k14TT20220131()22

4T0(k1)T0(k)baI2(k)(k)(k)TT(k0,1,)，且有 321设，则1R(f,T1(k))O((ba4))2k

如此重复Richardson公式可得

Im1(ba)2k4mIm(baba)I()mk1k22m41

若记

Im1(ba)T(k)km，则上式可记为 2(k)Tm(k1)(k)4mTm1Tm14m1 (m1,2,3,,k0,1,2,)

．104． 实用数值分析解题指导

此式即为龙贝格(Romberg)求积公式。

8. 高斯(Gauss)求积公式

Gauss型求积公式是指具有2n1次代数精度的形如点x0,x1,x2,xn称为Gauss点。

Akf(xk)af(x)(x)dxk0bn插值型求积公式，其节

下面介绍几种常用的Gauss型求积公式：

（1）高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式

Akf(xk)1f(x)dxk01n

其Gauss点为Legendre多项式

1dn12n1Ln1(x)n1[(x1)]n12(n1)!dx (n0,1,2,)

的零点，求积系数为

221(xk)]2(1xk)[n (k0,1,n)

Ak

第四章 数值微分与数值积分 ． 105 ．

（2）高斯-切比雪夫（Gauss - Chebyshev ）求积公式

1f(x)n

1dx1x2Akf(xk)k0

其Gauss点及求积系数为

x2k1kcos2n2,Akn1 (k0,1,n)，（3）高斯-拉盖尔（Gauss - Laguerre ）求积公式

xn0ef(x)dxAkf(xk)k1

其Gauss点为Laguerre多项式

x

Ledn1xn1n1(x)dxn[(ex) (n0,1,2,)

的零点，求积系数为

[(n1)!]2Akxk[Ln1(xk)]2 (k0,1,n) (n0,1,2,)

．106． 实用数值分析解题指导

（4）高斯-埃尔米特（Gauss – Hermite）求积公式

e2xf(x)dxAkf(xk)k1n

其Gauss点为Hermite多项式

Hn(x)(1)nex2dndxn[(ex2) 2n1的零点，求积系数为 An!k[Hn1(xk)]2(n0,1,2,)

(k0,1,n)