第二章 基本初等函数(Ⅰ)
2.1 指数函数
2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)
学习目标
①进一步理解指数函数的图象和性质;
②熟练应用指数函数的图象和性质解决一些综合问题;
③通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
(复习指数函数的概念和图象.) 1.指数函数的定义
一般地,函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为 .
x2.指数函数y=a(a>0且a≠1)的图象与性质:
a>1 0问题:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性等性质,并完善上表.二、典例分析,性质应用
【例1】求下列函数的定义域、值域.
(1)y=0. ; (2)y=
【例2】比较下列各题中两值的大小.
2.53
(1)1.7与1.7;
-
-
.
(2)0.8
-0.1
与0.8
-0.2
;
(3)( )与( );
-
(4)( 与( ;
0.81.8
(5)(0.3)与(0.2)0.33.1
(6)1.7与0.9;
-0.3-0.3
;
(7) (a>0,且a≠1).
总结点评:
1.当底数相同且明确底数a与1的大小关系时: . 2.当底数相同但不明确底数a与1的大小关系时: . 3.当底数不同不能直接比较时: . 【例3】截止到1999年底,我们人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?
总结点评:
x类似上面例题,设原有量为N,平均增长率为p,则经过时间x后总量y=N(1+p)(x∈N).x形如y=ka(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)的函数称为指数型函数.
xxxx【例4】如图是指数函数①y=a,(x∈N)②y=b,③y=c,④y=d的图象,判断a,b,c,d与1的大小关系.
总结点评:
在同一坐标系中,不同底的指数函数在y轴右侧的图象越向上底越 .也可以用一个特殊值法来解决,即画一条直线 ,与每个图象交点的纵坐标即为相应指数函数的底数.
三、变式演练,深化提高
x-2
1.函数y=a+1(a>0,且a≠1)的图象必经过点 .
2.解不等式:( )>1.
x-1
3.方程2+x=3的实数解的个数为 .
xx4.已知y=4-3·2+3,当其值域为[1,7]时,x的取值范围是 . 5.已知
6.设0≤x≤2,求函数y= - -3·2+5的最大值和最小值.
x-x2
≤( ),求函数y=( )的值域.
x-2
x
四、反思小结,观点提炼
x1.本节课研究了指数函数的性质及其应用,关键是要记住a>1或0x2.本节课还涉及指数型函数,即形如y=ka(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1)的应用. 五、作业精选,巩固提高1.课本P59习题2.1A组第7,8题;P60习题2.1B组第1,4题.
2.已知a>b,ab≠0,下列不等式(1)a>b;(2)2>2
2
2
ab ;(3)
;(4) ;(5)( )<( )中恒成
a
b立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2xx3.若函数y=a+2a-1(a>0,且a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
4.已知函数
-
f(x)= (a>0,且
a≠1).
(1)求f(x)的定义域和值域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)讨论f(x)的单调性.
参
一、复习回顾,承上启下 y=ax(a>0,a≠1) R (1)R
(2)(0,+∞)
(3)(0,1)
(4)增 R 减 R
二、典例分析,性质应用
【例1】解:(1)由x-1≠0得x≠1, 所以函数定义域为{x|x≠1}. 由
≠0 -
得y≠1,
所以函数值域为{y|y>0,且y≠1}. (2)由5x-1≥0得x≥, 所以函数定义域为{x|x≥ }. 由 - ≥0得y≥1,
所以函数值域为{y|y≥1}.
x【例2】解:(1)y=1.7为增函数,且2.5<3,
2.53
所以1.7<1.7;
x(2)y=0.8为减函数,且-0.1>-0.2,
-0.1-0.2
所以0.8<0.8; (3)( )=( )>( ); (4)( - =( <( ;
(5)在同一坐标系中画出函数y=0.3与函数y=0.2的图象,知x取相同值-0.3-0.3-0.3
时,0.3<0.2;
0.3003.1
(6)1.7>1.7=1=0.9>0.9;
(7)若a>1时,y=a为增函数,且 ,所以 ;若0总结点评:1.直接用函数的单调性来解 2.要分情况讨论3.可借助中间数,间接比较上述两个数的大小
【例3】解:设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则 y=13(1+1%)x,
20
当x=20时,y=13(1+1%)≈16(亿).
答:经过20年后,我国人口数最多为16亿. 【例4】解:在图象上做一条直线x=1,其与四个图象分别交于A,B,C,D,交点的纵坐标分别为a,b,c,d,如图显然可得c>d>a>b.
总结点评:大 x=1
三、变式演练,深化提高 1.(2,2) 2.(-∞,1) 3.2
xxx
0.8
1.6
1.8
x
4.(-∞,0]∪[1,2] 5.[ ,16] 6.ymin=;ymax=.
五、作业精选,巩固提高 2.C 3.a=3或a=
4.解:(1)定义域为R,值域为(-1,1); (2)奇函数;
(3)a>1时,增区间为R,无减区间;0