椭圆与双曲线常见题型归纳(K12教育文档)

椭圆与双曲线常见题型归纳(word版可编辑修改)

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椭圆与双曲线常见题型归纳

一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系\"的综合型试题的分类求解 1。向量综合型

例1.在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,3),(0,3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线ykx1与C交于A,B两点。

（Ⅰ）写出C的方程; （Ⅱ)若OAOB,求k的值。

3)，，(03)为焦点,长半例1。 解:(Ⅰ）设P(x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，轴为2的椭圆．它的短半轴b22(3)21，

y2故曲线C的方程为x1．

422y21，x（Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足  4ykx1.消去y并整理得(k24)x22kx30， 故x1x22k3． ，xx12k24k24若OAOB，即x1x2y1y20． 而y1y2k2x1x2k(x1x2)1,

33k22k22210， 于是x1x2y1y22k4k4k41化简得4k210，所以k．

2

x2例2．设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点.

4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点,求PF1PF2的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围 例2．解:（Ⅰ）解法一:易知a2,b1,c3 椭圆与双曲线常见题型归纳(word版可编辑修改)

所以F13,0,F23,0，设Px,y,则

PF1PF23x,y,x213x,yxy3x133x28

44222因为x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值2 当x2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1PF2有最大值1 解法二：易知a2,b1,c3，所以F13,0,F223,0,设Px,y,则

22PF1PF2PF1PF2cosF1PF2PF1PF2PF1PF2F1F22PF1PF2

2212x3yx3y212x2y23(以下同解法一）

2（Ⅱ)显然直线x0不满足题设条件，可设直线l:ykx2,Ax1,y2,Bx2,y2， ykx2212联立x2，消去，整理得：ykx4kx30 24y14∴x1x24k1k24,x1x231k24

由4k4k34k230得：k或k

224又00A0B900cosA0B0OAOB0 ∴OAOBx1x2y1y20

8k2k21

4又y1y2kx12kx22kx1x22kx1x24 111k2k2k2

444

221333k2k210,即k24 ∴2k2 ∵

11k2k2443故由①、②得2k

33k2 或

22椭圆与双曲线常见题型归纳(word版可编辑修改)

x2例3． 设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点,B(0,1)．

4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点,求PF1PF2的最大值和最小值; (Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点,且BF1CF1，求的值； （Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求PBF1的周长的最大值.

例3．解：（Ⅰ)易知a2,b1,c3，所以F13,0,F23,0,设Px,y,则

PF1PF23x,y,x213x,yxy3x133x28

44222因为x2,2，故当x0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1PF2有最小值2 当x2，即点P为椭圆长轴端点时,PF1PF2有最大值 1 (Ⅱ）设C（x0，y0），B(0,1)F13,03(1)1 由BFCF得

11x022x0,y0，又4y01 所以有2670解得 7(10舍去)

（Ⅲ）因为｜PF1|＋｜PB｜＝4－｜PF2｜＋|PB|≤4＋｜PBF1周长≤4＋|BF2|＋|BF1｜≤8．

BF2|∴

所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,PBF1周长最值为8．

例4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(3,0) (1） 求双曲线C的方程；

大，最大

（2) 若直线l：ykx2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OAOB2(其中O为原点），求k的取值范围。

x2y2例4．解：（Ⅰ）设双曲线方程为221 (a0,b0).由已知得

abx22222a3,c2,再由ab2,得b1.故双曲线C的方程为y21.

3x2（Ⅱ)将ykx2代入y21得 (13k2)x262kx90.

3213k0,由直线l与双曲线交于不同的两点得

222(62k)36(13k)36(1k)0.1即k2且k21. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则

362k9xAxB,xx,由OAOB2得xAxByAyB2, AB13k213k2椭圆与双曲线常见题型归纳(word版可编辑修改)

而xAxByAyBxAxB(kxA2)(kxB2)(k21)xAxB2k(xAxB)2

962k3k27(k1)2k22.于是

13k213k23k13k273k29122,即0,解此不等式得k3. ② 223k13k13331由①、②得 k21. 故k的取值范围为(1,)(,1).

3332

x2y26例5．已知椭圆22（a＞b＞0)的离心率e，过点A(0,-b）和B（a,0)的直线与原点的

3ab距离为

3． 2（1)求椭圆的方程．

(2）已知定点E(—1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由． 例5．解析：（1）直线AB方程为：bx—ay-ab＝0． c6，a3，3a 依题意 解得 

3b1ab222abx2y21．…………………4分 ∴ 椭圆方程为 3ykx2，22(13k)x12kx90． （2）假若存在这样的k值，由2得2x3y30 ∴ (12k)236(13k2)0． ①

12kxx，1213k2 设C(x1，y1)、D(x2，y2),则 ②

9xx1213k2 …………………………………………8分 而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4．

要使以CD为直径的圆过点E（—1，0），当且仅当CE⊥DE时,则

y1y21，即x11x21椭圆与双曲线常见题型归纳(word版可编辑修改)

y1y2(x11)(x21)0．…………………………………………10分

∴ (k21)x1x22(k1)(x1x2)50． ③ 将②式代入③整理解得k 综上可知，存在k

77．经验证，k，使①成立． 667，使得以CD为直径的圆过点E．………………………13分 62．“中点弦型\"

x2y2例6.已知椭圆1，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同

43两点关于直线y4xm对称.

yy1例6。解:设A(x1,y1),B(x2,y2)，AB的中点M(x0,y0)，kAB21,

x2x14而3x124y1212,3x224y2212,相减得3(x22x12)4(y22y12)0,

即y1y23(x1x2),y03x0，3x04x0m,x0m,y03m

m29m223231,即m而M(x0,y0)在椭圆内部，则

131343

例7。已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e3，焦距为23

(I）求该双曲线方程。

（II)是否定存在过点P(1,1)的直线l与该双曲线交于A,B两点，且点P是线段AB

的中点?若存在，请求出直线l的方程,若不存在，说明理由。

y2例7.（1）x1

22y2(2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线：ykx1k，代入方程x1得

2 (2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20)

xxk(1k)212x4x30，0 则12，解得 ,此时方程为k2222k 方程没有实数根。所以直线l不存在。

2

例8．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(0，22),F2(0，22），且离心率e （I）求椭圆的方程；

22。 31 (II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B,且线段AB中点的横坐标为,

2求直线l倾斜角的取值范围。

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y2x2c22例8．解:(I）设椭圆方程为221，由已知c22，又

a3aby2x21 …………………………4分 解得 a=3，所以b=1，故所求方程为 9 (II)设直线l的方程为ykxb(k≠0)代入椭圆方程整理得 (k29)x22kbxb290 ………………………… 5分

(2kb)24(k29)(b29)0 由题意得 …………………………7分 2kb1x1x22k9 解得 k3或k3 又直线l与坐标轴不平行 ………………………

2故直线l倾斜角的取值范围是 (，)(，) …………………………12分

3223

3．“弦长型\"

x2例9．直线y＝kx＋b与椭圆y21交于A、B两点，记△AOB的面积为S．

4 (I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大

y值； 程．

A （Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时,求直线AB的方例9(I）解：设点A的坐标为((x1,b)，点B的坐标为

x2由y21，解得x1,221b2 41所以Sb|x1x2|2b1b2b21b21

2OB(x2,b)，

x当且仅当b2时,．S取到最大值1． 2ykxb(Ⅱ）解：由x2得

2y14(4k21)x28kbx4b240

16(4k2b21) ①

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|AB｜＝1k|x1x2|1k又因为O到AB的距离d2216(4k2b21)2 ②

4k212S1 所以b2k21 ③ |AB||b|1k2③代入②并整理，得4k44k210

13解得，k2,b2，代入①式检验，△＞0

22 故直线AB的方程是

y26262626xxxx或y或y或y． 222222222

例10．已知向量m1 =（0,x），n1=（1,1）,m2 =（x，0），n2=（y，1)（其中x，y是实数），又设向量m= m1+2n2，n=m2－2n1，且m//n,点P(x，y）的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l:ykx1与曲线C交于M、N两点,当｜MN｜=

42时，求直线l的方程. 3例10解：（I）由已知，m(0,x)(2y2,2),(2y2,x2),

n(x,0)(2,2)(x2,2).…………………………………4分

m//n,2y2(2)(x2)(x2)0……………………………………5分

x2 即所求曲线的方程是：y21.……………………………7

2分

x22y1,（Ⅱ）由2消去y得:(12k2)x24kx0. ykx1.4k(x1,x2分别为M，N的横坐标).………………9分 212k4k4由|MN|1k2|x1x2|1k2||2, 2312k解得x1=0， x2=

解得:k1. ……………………………………………………11分

所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.…………………………12分

二．“基本性质型”

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x2y2例11．设双曲线C1的方程为221(a0,b0)，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1ab上的任一点，引QBPB,QAPA,AQ与BQ相交于点Q。 （1)求Q点的轨迹方程；

(2）设（1）中所求轨迹为C2，C1、C2的离心率分别为e1、e2，当e12时，求e2的取值范围。 例11。 解：(1)设P(x0,y0),Q(x,y) ∵A(a,0),B(a,0),QBPB,QAPA

yy0xaxa1y02x02y02y2y02b2021，∵221，∴2∴2， 2222yabx0axax0aay01x0axay2a2∴222，化简得：a2x2b2y2a4， xab经检验,点(a,0),(a,0)不合题意，∴点Q的轨迹方程为a2x2b2y2a4,(y0)

x2y2（2） 由（1）得C2的方程为241，

aab2a4a2a2a212be2111,

a2b2c2a2e1212∵e12，∴e221例12．P为椭圆

12，∴1e22。 2(2)1x2y21上一点，F1、F2为左右焦点,若F1PF260 259（1）求△F1PF2的面积; （2）求P点的坐标．

例12．［解析]：∵a＝5，b＝3c＝4 （1）设|PF1|t1，|PF2|t2，则t1t210 ①

2t12t22t1t2cos6082 ②，由①－②得t1t212

2

113t1t2sin601233 222（2）设P(x,y)，由SF1PF212c|y|4|y|得 4|y|33|y|33y33442SF1PF2,将y334 代入椭

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圆方程解得x5

134，P(51333或51333或51333或51333 ,)P(,)P(,)P(,)44444444

x2y24例13．已知双曲线与椭圆1共焦点,且以yx为渐近线，求双曲线方程．(12分)

49243x2y2例13 ［解析]：由椭圆1c5．

49244bx2y2设双曲线方程为221，则a3ab222a9 故所求双曲线方程为x2y21 2916b16ab25

例14.k代表实数，讨论方程kx22y280所表示的曲线。

y2x21为焦点在y轴的双曲线; 例14 。解:当k0时，曲线84k当k0时，曲线2y280为两条平行的垂直于y轴的直线；

x2y2当0k2时，曲线1为焦点在x轴的椭圆；

84k当k2时，曲线x2y24为一个圆；

y2x2当k2时，曲线1为焦点在y轴的椭圆。

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