概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： 试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是的。由性定义知。

P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=

或写成

X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况

0 1 101025 1212361025 1212362105 121236221 121236P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=

或写成

X Y 0 1 10945 12116610210 12116621010 121166211 1211660 1 3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。 X 0 1 2 3 Y 0 1 2 0 0 0 0 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为

30

P {X=0, Y=2 }=

22C2C24C71 356 356 35P {X=1, Y=1 }=

112C3C2C24C7121C3C2C24C722C3C24C7P {X=1, Y=2 }=P {X=2, Y=0 }=3 35P {X=2, Y=1 }=

211C3C2C24C722C3C24C712 35P {X=2, Y=2 }=3 35P {X=3, Y=0 }=

31C3C24C731C3C24C72 352 35P {X=3, Y=1 }=P {X=3, Y=2 }=0

k(6xy),0x2,2y45.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)

0,其它（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5}

（2）求P {X<1, Y<3}

（4）求P (X+Y≤4}

分析：利用P {(X, Y)∈G}=

G0x2,f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy再化为累次积分，其中Do(x,y)

2y4GDo解：（1）∵1f(x,y)dxdy0212k(6xy)dydx，∴k3 81 8（2）P(X1,Y3)01dx3128(6xy)dy（3）P(X1.5)P(X1.5,Y)（4）P(XY4)1.50dx127(6xy)dy 2832412(6xy)dy

00836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y 2dx4x （2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题）

X Y 0 1 2 x+y=4 1 31 0 5 36o 1

x 边缘分布律为 X 0

1 Y 0 1

Pi·

56

16

P·j

56

16

② 不放回抽样（第1题）

X Y 0 1 0 1

边缘分布为 X 0

1

Y 0

1

Pi·

516

6

P·j 56

16

（2）（X，Y ）的联合分布律如下

X Y 0 1 2 3

0 0 0 解： X的边缘分布律

3 0 0 Y的边缘分布律

X 0

1

2

3 Pi·

138 8 38 18 P·j 68

28

7.[五] 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

x解：f4.8y(2x)dy2.4x2(2x)0x1X(x)

f(x,y)dy00其它8.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f(x,y)ey,0xyy 求边缘概率密度。

x=y 0,其它.解:ff(x,y)dyxeydyex,x0X(x) 0,x02o 2x 9.[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)cxy,xy1 0,其它（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l=25f(x,y)dxdy1y0dyycxydxc1203y2dy42121cc4

y 32

o

1

Y

21212122xydyx(1x4),1x1X~fX(x)x4 80,其它5y21272dydxyY~fY(y)y4200y1 其它y=x2 x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互。 解：放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=

在放回抽样的情况下，X和Y是的 不放回抽样的情况：

25 365 365 361 36P {X=0, Y=0 } =P {X=0}=

10945 121166105 1261092105 121111116P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=

P {X=0}·P {Y=0} =

5525 6636P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}

∴ X和Y不

16.[十四] 设X，Y是两个相互的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为

1ye2,y0fY(y)2

0,y0.（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

2

1,x(0,1)解：（1）X的概率密度为fX(x)

0,其它y y=x2 D o 1 Y的概率密度为

1ye2,y0fY(y)2且知X, Y相互，

0,y0.于是（X，Y）的联合密度为

x 33

（2）由于a有实跟根，从而判别式4X4Y0

即：YX2 记D{(x,y)|0x1,0yx}

19.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

并设各周的需要量是相互的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为

Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的性可知：

∵

22z≥0

∴ 当z<0时，fz (z) = 0

当z>0时，由和的概率公式知

∴

z3ze,fz(z)60z0z0

z3ze,（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为fz(z)60 设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：

z与ξ相互

η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0， ∴当u<0， 当u>0时

所以η的概率密度为

z0z0

fη(u) = 0

22.[二十二] 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互，同分布，其概率密度为： 设N=min{X1，X2，X3，X 4}

P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}

=P {X>180}={1－p[X<180]}= (0.1587)=0.00063 27.[二十八] 设随机变量（X，Y）的分布律为

4

4

4

2X Y 0 1 2 3 0 0 0.01 0.01 0.01 1 0.01 0.02 0.03 0.02 2 0.03 0.04 0.05 0.04 3 0.05 0.05 0.05 0.06 4 0.07 0.06 0.05 0.06 5 0.09 0.08 0.06 0.05 （1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0}

34

（2）求V=max (X, Y )的分布律 （3）求U = min (X, Y )的分布律 解：（1）由条件概率公式 P{X2,Y2}P {X=2|Y=2}=

P{Y2} = =

同理

0.05

0.010.030.050.050.050.080.050.2 0.251 3P {Y=3|X=0}=

（2）变量V=max{X, Y }

显然V是一随机变量，其取值为 V：0 1 2 3 4 5

P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0

P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1}

=0.01+0.02+0.01=0.04

P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2}

+P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16

P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3}

+P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28

P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3}

=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24

P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ …… + P {X=5，Y=3}

=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28 （3）显然U的取值为0，1，2，3

P {U=0}=P {X=0，Y=0}+……+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}

+ …… + P {Y=0，X=5}=0.28

同理 P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17 或缩写成表格形式

（2） （3）

V Pk U Pk

0 1 2 3 4 5

0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28

0

1

2

3 0.17

0.28 0.30 0.25

（4）W=V+U显然W的取值为0，1，……8 P{W=0}=P{V=0 U=0}=0

P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}

35

∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能 上式中的P{V=0，U=1}=0，

又 P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=0.2 故 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}=0.2 P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1} = P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1}

=0.03+0.01+0.02=0.06

P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1} = P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1} + P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2} =P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3} + P{X=2，Y=2} =0.19

P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1}

+P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1} +P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} =0.24

P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2}

+P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2} +P{X=3，Y=3} =0.19

P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3}

=P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=0.6+0.6=0.12

P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=0.05 或列表为 W P

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05

[二十一] 设随机变量（X，Y）的概率密度为 （1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y) （3）求函数U=max (X, Y)的分布函数。 解：（1）1f(x,y)dydx100be(xy)dydxb[1e1]

∴ b （2）fX(x)1 11ef(x,y)dy

（3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {max(X,Y)u)=P {X ≤ u, Y ≤ u} =F (u, u)=

uuf(x,y)dxdy

u<0, FU (u) = 0

36