信号与系统_奥本海姆_中文答案_chapter_4

4.10 (a) 解：x(t)1sintsint t令：x1(t)sint,x2(t)sint tX1(j)则：

j(1)j(1)

0,1X2(j)11，j2,20j,02 所以：X(j)20,其他sint4112（b）At2( )dtX(j)d3t224.11 证明： G(j)11j1X(j)H()Y(j) 33391j) 因为y(3t)Y(3311j)G(j) 所以y(3t)Y(39311即：g(t)y(3t)A,B3

331(1ejtej5t)x(t)非周期 24.13 (a) x(t)(b) Fx(t)h(t)X(j)H(j)

11()(2)(5)()(())ej2

jj则：x(t)h(t)F1X(j)H(j)1(1e10j)ej5t 10j因此：x(t)h(t)是周期的，周期为

2。 5(c) 由(b)可知，x(t)和h(t)都不是周期的，但卷积周期。这说明两个非周期信号的卷积

有可能是周期的。

4.14 解： 由条件2得：FAeu(t)2tA

2j所以：(1j)X(j)A

2j即：X(j)A11A()

(2j)(1j)1j2jx(t)A(ete2t)u(t)

由条件3知：

x(t)dt120A2(ete2t)2dt1

A212，由x(t)0A23 从而有x(t)23(ete2t)u(t)。

4.21 解 (a) [eatcows0tu]t(a), 01ajw

111X(jw)[]2aj(ww0)aj(ww0)eatu(t),a0(c)

stt,1cox(t)0,t111jt1jt1cost,t11,t1e,t1e,t1x(t)220,t10,t10,t1 0,t12sinwsinwsinwX(w)www(e)[te2tsin4t]u(t),e2tsin4tu(t)A(w)111[] 2j2j(w4)2j(w4)dA(w)j11X(w)j[]22dw2[2j(w4)][2j(w4)](g) 如图所示

dx(t)1,t1(t2)(t2)dt0,t1(t2)(t2)2cos2w;2sinw1,t1w 0,t1dx(t)2sinwA(w)2cos2w;而且A(0)0dtwA(w)2sinwX(w)A(0)(w)[cos2w]jwjww(a)X(jw)2sin[3(w2)]w2

2sin3w1,t34．22 解 w0,t3j2te,t3x(t)0,t3j,1w01,1w00,1w0(c) j(j)j,0w10,0w11,0w12sin20.5tj0.5tsin0.5tj0.5tsin0.5ta(t)je(j)etttw,1w0da(t)1sint1cost[] 2dtttw,0w1j3w,1w01sin(t3)1cos(t3)wej3w[]2t3(t3),0w1we1sin(t3)1cos(t3)x(t)[]t3(t3)21,2w11,1w2dX(w)(e) (w3)(w3)dw0,其他0,其他1j3t1j3tj1.5tsin0.5tsin0.5teeeej1.5t22ttcos3t2sin0.5tcos1.5tcos3tsintsin2tx(t)2jtjtjtjt2jtx(t)

4.24 解 (a) （1）说明x(t)是实奇的，满足的有a,d; （2）说明x(t)是实偶的,满足的有e,f; (3)存在a使得x(t+a)为实偶的； （4）说明x(0)=0,满足的有a,b,c,d,f;

(5) 说明

dx(t)dtt00,满足的有b,c,e,f;

(6)说明x(t)是离散的，满足的有b.

(b)要求只满足（1）（4）（5），其余不满足。例如：

4.25 (a)x(t+1)是实偶的，则ejwX(w)为实偶的X(w)w(b)X(j0)(c)2x(0)x(t)dt7X(w)dw71,3t12sinw(d)a(t)ej2ww0,otherwiseX(w)ej2w22sinwdw2x(t)a(t)wt=07(e)X(w)dw2x(t)dt262(f)xe(t)ReX(w)xe(t)如下图所示

4.27解：(a) 设：x(t)y(t2)，

则：Fy(t)01jt1edtejtdt02j(cos1)

所以：X(j)2j(cos1)j(cosej2

(b) ak1(t)ejktdtxTT12kakX(j)

TT2k1)j4kTeT k4.31(a)H1(w)H2(w)1(w),jw52,2jw2H3(w);(1jw)2经计算得:Y1(w)Y2(w)Y3(w)X1(w)H1(w)X2(w)H2(w)X3(w)H3(w)jy(t)sint

[(w1)(w1)](b）例如：h4(t)0.5h1(t)0.5h2(t)可以证明当组合系数总和为1时，h1(t),h2(t),h3(t)的线性组合均符合题意4.32h(t)sin4(t1),(t1)sin4t1,w4t0,w4jw,w4eH(w)0,w4(a)x1(t)cos(6tcos(t22),

2)ejwjw[(w1)(w1)],e[(w6)(w6)]6Y1(w)X1(w)H(w)0X1(w)12y1(t)01(b)x2(t)()ksin3ktk021kX2(w)()[(w3k)(w3k)] jk02111jwY2(w)[e3j(w3)e3j(w3)]e[(w3)(w3)]j22j2y2(t)0.5sin3(t1)(c)x3(t)sin4(t1),(t1)sin4t1,w4t0,w4jwe,w4 H(w)0,w41,w4Y3(w)0,w4sin4ty3(t)tsin2t2),tsin2t1,w2t0,w2(d)x4(t)(w4,w0 1,w21,w218X4(w)20,w20,w2w4,w08sin2(t1)2y4(t)x4(t1)[](t1)4.34H(w)Y(w)jw421X(w)6w25jw2jw3jwdx(t)dy2(t)dy(t)(a)4x(t)6y(t)5,2dtdtdt(b)h(t)(2e2te3t)u(t)x(t)(e4tte4t)u(t)

3jwX(w)(4jw)20.50.5(c)Y(w)4jw2jwy(t)(0.5e4t0.5e2t)u(t)

4.35(a)ajwajwa2w2H(w),H(w)21, 2ajwajwawH(w)tg12w1w2tga2w2at2)cos(t)cos(3t)

2333(b)y(t)cos(4.36 解：(a) 由于Y(j)X(j)H(j)

22Y(j)1j4j93j因此：H(j) 212X(j)86j1j3j(b) H(j)311() 22j4j32t(ee4t)u(t) 2所以：h(t)(c ) 由于H(j)Y(j)93j X(j)86j(j)2所以关联该系统的输入和输出的微分方程为：

d2y(t)dy(t)dx(t)68y(t)39x(t) dt2dtdt1,1sint4.43解：设Y(j)F t0,1对g(t)x(t)costsint两边取傅立叶变换，其中1。 t12G(j)Fx(t)costY(j)Fx(t)cos2t1Y(j) 2211X(j)Fx(t)cos2tY(j)

22111X(j)X[j(2)]X[j(2)]Y(j)

442由于1时，X(j)0

所以X[j(2)]0，X[j(2)]0

1X(j)Y(j)。也就是说，存在一个LTI系统S，其单位冲激响2sintS应为：h(t)，有x(t)g(t)。

2t即：G(j)4.47

(a)he(t)h(t)h(t)2由于h(t)是实因果的，

H(w)H(w)H(w)H*(w)he(t)He(w)ReH(w)220,t0 h(t)he(0),t02h(t),t0e(b)He(w)ReH(w)coswhe(t)(t1)(t1)20,t0h(t)

2h(t)(t1),t0eh(t)(t1)h(t)h(t)2H(w)H(w)H(w)H*(w)ho(t)Ho(w)jImH(w)220,t0 h(t)不定,t02h(t),t0o(c)ho(t)当h(t)在t=0不包含任何奇异函数的话，H(w)jwth(t)edt将不因t=0这一点为任意有限值而改变，这时由上式知道，H(w)也可以完全由其虚部来确定。